Polinómios de Bernstein

Em matemática, um polinômio de Bernstein é um polinômio da forma:

$B_i^n(x)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})x^i(1-x{)}^{n-i}$

O conjunto $\{B_i^n{\}}_{i=0}^n$ forma uma base para os polinômios de grau até n. Isto é, se $P(x)$ é um polinômio de grau menor ou igual a n, então pode ser escrito na forma:

$P(x)=\sum _{i=0}^n{\beta }_i(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})x^i(1-x{)}^{n-i}$

Estes polinômios foram estudados por Sergei Natanovich Bernstein e utilizados para dar uma prova construtiva do teorema de Stone-Weierstrass.

Exemplo

Gráfico dos polinômios de Berstein de grau 3

No caso dos polinômios de grau $3$ a base é composta de:

• $B_0^3(x)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{0})x^0(1-x{)}^{3-0}=(1-x{)}^3$
• $B_1^3(x)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1})x^1(1-x{)}^{3-1}=3x(1-x{)}^2$
• $B_2^3(x)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2})x^2(1-x{)}^{3-2}=3x^2(1-x)$
• $B_3^3(x)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3})x^3(1-x{)}^{3-3}=x^3$

Todo polinômio de grau 3 pode ser escrito nesta base como:

$P(x)=c_0{B}_0^3(x)+c_1{B}_1^3(x)+c_2{B}_2^3(x)+c_3{B}_3^3(x)$

Propriedades fundamentais

Estes polinômios possuem propriedades importantes:

• Partição da unidade:

$\sum _{i=0}^n{B}_i^n(x)=1$,

• Não-negatividade no intervalo de 0 a 1:

$B_i^n(x)\ge 0,\in [0,1]$,

• Relação de recorrência:

$B_i^n(x)=(1-x)B_i^{n-1}(x)+x{B}_{i-1}^{n-1}(x)$.

• Simetria:

$B_i^n(x)=B_{n-i}^n(1-x)$

• Produto:

$B_i^n(x)B_j^m(x)$ $=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{j})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{i+j})}{B}_{n+m}^{i+j}(x)$

• Derivada:

$\frac{d}{dx}{B}_i^n(x)=n(B_{i-1}^{n-1}(x)-B_i^{n-1}(x))$ ficando bem convencionado que $B_i^n(x)=0\text{ se }i<0\text{ ou }i>n$

• Representação em grau superior:

$B_i^n(x)=\frac{n+1-i}{n+1}{B}_i^{n+1}(x)+\frac{i+1}{n+1}{B}_{i+1}^{n+1}(x)$

• Pontos de máximo:

$B_i^n(x)$ assume valor máximo no intervalo $[0,1]$ em $x=\frac{i}{n}$. Este máximo é local se $0<i<n$.

A segunda destas propriedades é óbvia. Para demonstrar a primeira, escreva:

$[x+(1-x){]}^n=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})x^i(1-x{)}^{n-i}$

A terceira pode ser provada simplesmente substituindo a definição e simplificando os binômios usando a fórmula do triângulo de Pascal. As demais também são mostradas por simples verificação.

Representação de $x^k$

Para obter uma representação de $x^k$ como polinômio de Bernstein, escreva:

$(u+v{)}^n=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})u^i{v}^{n-i}$

Agora diferencie em relação a $u$ e multiplique por u/n para obter:

$u(u+v{)}^{n-1}=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})\frac{i}{n}{u}^i{v}^{n-i}$

se fizermos $u=x$ e $v=1-x$, temos:

$x=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})\frac{i}{n}{x}^i(1-x{)}^{n-i}=\sum _{i=0}^n\frac{i}{n}{B}_i^n(x),n\ge 1$

Se tivéssemos diferenciado duas vezes em relação a u, teríamos tido:

$u^2(u+v{)}^{n-2}=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})\frac{i(i-1)}{n(n-1)}{u}^i{v}^{n-i}$

e teríamos obtido:

$x^2=\sum _{i=2}^n\frac{i(i-1)}{n(n-1)}{B}_i^n(x),n\ge 2$

Ou ainda, poderiamos expandir o argumento de forma a obter para $k\le n$:

$x^k=\sum _{i=k}^n\frac{i(i-1)\dots (i-k+1)}{n(n-1)\dots (n-k+1)}{B}_i^n(x),n\ge 3$

Polinômio de Bernstein associado a uma função

Seja $f(x):[0,1]\to ℝ$, o polinômio de Bernstein de grau n associado a $f(x)$ é dado por:

$P_n(x)=\sum _{i=0}^{n}f\left(\frac{i}{n}\right)B_i^n(x)$

Se $f(x)$ for uma função contínua, então $P_n(x)$ converge uniformemente para $f(x)$ quando n tende a infinito. Este fato é provado em teorema de Stone-Weierstrass.

${\displaystyle }$

Veja também

• Interpolação polinomial
• Binómio de Newton
• Teorema de Stone-Weierstrass