Mostrar código-fonte de Polo (análise complexa)

{{mais notas|data=abril de 2020}}
[[Ficheiro:Gamma abs2.png|right|thumb|O valor absoluto da [[função gama]]. A imagem mostra que a função torna-se infinita nos pólos (à esquerda). À direita, a função gamma não possui polos: ela apenas cresce rapidamente.]]
Em [[análise complexa]], um '''polo''' de um [[função holomorfa]] é um certo tipo de [[singularidade matemática|singularidade]] que se comporta como um singularidade do tipo <math>\frac{1}{z^n} </math> no ponto <math>z=0 </math>.

Em particular, em um polo ''a'' de uma função  ''f'', ''f''(''z'') tende ao infinito as conforme ''z'' se aproxima de ''a''.{{sfn|Ahlfors|1979|p=127}}

== Definição ==
Formalmente, suponha que <math>\Omega </math> é um [[conjunto aberto|subconjunto aberto]] do [[plano complexo]] <math>\mathbb{C}</math>, <math>a</math> é um elemento de <math>\Omega</math> e <math>f:\Omega_a\to\mathbb{C} </math> é uma [[função holomorfa]]. Se existir uma função holomorfa <math>g:\Omega\mapsto \mathbb{C} </math> e um inteiro não negativo <math>n</math> tal que
:<math> f(z) = \frac{g(z)}{(z-a)^n}</math>
para todo <math>z </math> em <math>\Omega_a </math>, então ''a'' é denominada um '''polo de ''f'''''. O menor número ''n'' satisfazendo a condição acima é chamada '''ordem do polo'''. Um polo de ordem 1 é chamado '''polo simples'''. Um polo de ordem 0 é uma [[singularidade removível]].

Da definição acima, várias caracterizações equivalentem podem ser deduzidas:

Como ''g'' é uma [[função analítica]], ''f'' pode ser expressa como:

<math>f(z) = \frac{a_{-n}}{ (z - a)^n } + \cdots + \frac{a_{-1}}{ (z - a) } + \sum_{k \geq 0} a_k (z - a)^k.</math>

Esta é uma [[série de Laurent]] com uma '''parte principal''' finita. A função holomórfica <math>\sum_{k\geq 0}a_k(z-a)^k </math> (em <math>\Omega </math>) é chamada a ''parte regular'' de <math>f </math>. Então, o ponto ''a'' é um polo de ordem ''n'' de <math>f </math> [[se e somente se]] todos os termos da expansão da série de Laurent de <math>f </math> em torno de ''a'' de abaixo do grau −''n'' desaparecem e o termo de grau −''n'' não é nulo.

{{Referências}}

== Bibliografia ==
* {{citar livro|nome=Lars|sobrenome=Ahlfors|autorlink=Lars Ahlfors|título= Complex Analysis (3ª ed)|editora=[[S&P Global|McGraw-Hill Book Company]]|ano=1979|local=|língua=inglês|url=|ref=harv}}

== Ligações externas ==
* [[Eric W. Weisstein]], [http://mathworld.wolfram.com/Pole.html Pole] no [[MathWorld]].
* {{Link||2=http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/SingularityZeroPoleMod.html |3=Module for Zeros and Poles by John H. Mathews}}

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{{Controle de autoridade}}

{{DEFAULTSORT:Polo (Analise Complexa)}}
[[Categoria:Análise complexa]]