Mostrar código-fonte de Problema de valor inicial

Em [[matemática]], um '''problema de valor inicial''' ou '''problema de condições iniciais''' ou '''problema de Cauchy''' é uma [[equação diferencial]] que é acompanhada do valor da função objetivo em um determinado ponto, chamado de '''valor inicial''' ou '''condição inicial'''. Em física, biologia e outras áreas, a modelagem de um sistema frequentemente resulta em um problema de valor inicial (também chamado de '''P.V.I.''') a ser solucionado; nesse contexto, a equação diferencial é uma equação evolutiva especificando como o sistema evoluirá ao longo do tempo dadas condições iniciais.

== Definição ==

Um problema de valor inicial ('''P.V.I.''') é uma equação diferencial da forma
:<math> \begin {cases}
y'(t) = f(t, y(t))\\
y(t_0) = y_0
\end{cases}</math>

Uma solução para um P.V.I. é uma função <math>y</math> que é solução da equação diferencial e satisfaz <math> y(t_0) = y_0 </math>.

Em dimensões superiores, a equação diferencial é substituída por uma família de equações <math>y_i'(t)=f_i(t, y_1(t), y_2(t), \dotsc,y_n(t))</math>, e <math>y(t)</math> é um vetor n-dimensional da forma <math>(y_1(t), y_2(t), \dotsc, y_n(t))</math>. Mais geralmente, <math> y </math> pode assumir valores em espaços de dimensão infinita, como o [[Espaço de Banach]] ou o espaço de [[Distribuição (matemática)| distribuições]].

P.V.I.s podem ser analisados em ordens superiores tratando as derivadas como uma função independente, e.g. <math>y''(t)=f(t,y(t),y'(t))</math>.

== Existência e unicidade de soluções ==

Para uma grande classe de P.V.I.s, a existência e unicidade de uma solução pode ser ilustrada através do uso de uma calculadora.

O [[teorema de Picard-Lindelöf]] garante a unicidade da solução em um intervalo que contém '''t<sub>0</sub>''' se '''f''' é continua em uma região contendo '''''t''<sub>0</sub>''' e '''''y''<sub>0</sub>''' e satisfaz a [[Função Lipschitz contínua|condição de Lipschitz]] na variável '''y'''.

A prova desse teorema provem de uma reformulação do problema como uma [[equação integral]] equivalente. A integral pode ser considerada como um operador que transforma uma função em outra, de modo que a solução é um [[ponto fixo]] do operador. O [[teorema do ponto fixo de Banach]] é evocado para mostrar que existe um único ponto fixo que é solução do P.V.I..

Uma prova antiga do teorema de Picard–Lindelöf constrói uma sequência de funções que convergem para a solução da equação integral, e assim, para a solução do P.V.I.. Essa construção é chamada às vezes de "''método de Picard''" ou "''método de aproximações sucessivas''".

[[Hiroshi Okamura]] obteve uma condição necessária e suficiente para a solução do P.V.I. ser única. Essa condição tem a ver com a existência de uma [[função de Lyapunov]] para o sistema de EDOs.

Em algumas situações, a função '''f''' não é de [[Função suave|classe C<sup>1</sup>]], ou mesmo Lipschitz continua, então o resultado usual garantindo a existência local de uma solução única não se aplica. No entanto, o [[teorema de existência de Peano]] prova que mesmo para '''f''' meramente contínua, existem soluções locais; porém não há garantia de unicidade.<ref>Coddington, Earl A.; Levinson, Norman (1955). ''Theory of ordinary differential equations.'' New York-Toronto-London: McGraw-Hill Book Company, Inc. (Teorema 1.3)</ref><ref>Robinson, James C. (2001). Infinite-dimensional dynamical systems: An introduction to dissipative parabolic PDEs and the theory of global attractors. Cambridge: Cambridge University Press. (Teorema 2.6)</ref>

== Exemplos ==
O problema de condição inicial
:<math> \begin{cases}
\frac{dy}{dx} = y\\
y(0)=2
\end{cases} </math>

=== Resolução ===
:<math> \frac{dy}{dx} = y </math>

:<math> \frac{dy}{dx} - y = 0 </math>

Pelo [[método do fator integrante]], multiplica-se esta equação por <math> e^{-x} </math>:
:<math> e^{-x} \frac{dy}{dx} - e^{-x} y = e^{-x} 0 </math>

O primeiro lado da equação pode ser simplificado usando a [[regra da cadeia]] <math> \frac{d(f \times g)}{dx} = \frac{df}{dx} \times g + f \times \frac{dg}{dx} </math>
:<math> \frac{d(y e^{-x})}{dx} = 0 </math>

Integrando os dois lados da equação, obtém-se:
:<math> y e^{-x} = c_1</math>

com <math> c_1 </math> constante.

Isolando y, obtém-se então infinitas soluções para a equação diferencial, por causa da arbitrariedade de <math> c_1 </math>:
:<math> y(x) = c_1 e^{x}  </math>

Porém, só existe uma única solução que satisfaz as condições iniciais:
:<math> y(0) = c_1 e^{0}  </math>

:<math> 2 = c_1   </math>

Portanto, a solução (única) do P.V.I. é:
:<math> y(x) = 2 e^{x}  </math>

=== Oscilador harmônico ===

No caso de um [[sistema massa-mola]] sem [[atrito]] e sem força externa atuando, ao aplicar-se a [[Leis de Newton#Segunda lei de Newton|segunda lei de Newton]], obtém-se a seguinte relação:

:<math> m a(t) = -k x(t) </math>

Ou seja:

:<math> m \frac{d^2x(t)}{dt^2} = -k x(t) </math>

Onde <math>\textstyle m</math> é a massa do oscilador, <math>\textstyle x</math> é o deslocamento dessa massa em relação ao ponto de equilíbrio e <math>\textstyle k</math> é a constante da mola.

Um dos métodos de se achar a solução dessa equação diferencial é usar [[transformada de Laplace]]. Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação, obtém-se o seguinte:

:<math> m \mathcal{L}\left\{{\frac{d^2x(t)}{dt^2}} \right\} = -k \mathcal{L}\{x(t)\} </math>

Usando as [[Transformada de Laplace#Propriedades|propriedades da transformada de Laplace]], a equação segue escrita como:

:<math> m \left(s^2\mathcal{L}\{x(t)\} - sx(0) - \frac{dx}{dt}(0)\right) = -k \mathcal{L}\{x(t)\} </math>

De onde pode-se isolar o termo <math> \mathcal{L}\{x(t)\} </math>:

:<math> m s^2\mathcal{L}\{x(t)\} - m s x(0) - m \frac{dx}{dt}(0) =  -k \mathcal{L}\{x(t)\} </math>

:<math> m s^2\mathcal{L}\{x(t)\} + k \mathcal{L}\{x(t)\} = m s x(0) + m \frac{dx}{dt}(0) </math>

:<math> (m s^2 + k) \mathcal{L}\{x(t)\} = m s x(0) + m \frac{dx}{dt}(0) </math>

:<math> \mathcal{L}\{x(t)\} = \frac{m s x(0) + m \frac{dx}{dt}(0)}{m s^2 + k} </math>

:<math> \mathcal{L}\{x(t)\}(m s^2 + k) = m s x(0) + m \frac{dx}{dt}(0) </math>

:<math> \mathcal{L}\{x(t)\} = \frac{m s x(0) + m \frac{dx}{dt}(0)}{m s^2 + k} </math>

Aplicando a [[Transformada de Laplace#Transformada de Laplace Inversa|transformada inversa de Laplace]], obtém-se:

:<math> \mathcal{L}^{-1}\left\{\mathcal{L}\{x(t)\}\right\} = \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{m s x(0) + m \frac{dx}{dt}(0)}{m s^2 + k}\right\} </math>

:<math> x(t) = x(0) \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{ms}{ms^2 + k}\right\} + \frac{dx}{dt}(0) \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{m}{ms^2 + k}\right\} </math>

:<math> x(t) = x(0) \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s}{s^2 + \frac{k}{m}}\right\} + \frac{dx}{dt}(0)\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^2 + \frac{k}{m}}\right\}</math>

Utilizando uma [[Transformada de Laplace#Tabela de Transformadas de Laplace selecionadas|tabela de transformadas]], a equação se escreve:

:<math> x(t) = x(0) cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right) + \sqrt{\frac{m}{k}} \frac{dx}{dt}(0)sin\left(\sqrt{\frac{k}{m}}t\right) </math>

Logo, é necessário definir as condições iniciais <math> x(0) </math> e <math> \frac{dx}{dt}(0) </math>.

=== Circuito RLC com pulso de amplitude <math>\textstyle V_{0} </math> ===

A equação que descreve tal circuito é dada por:
[[Ficheiro:Potencial de um impulso unitário.jpg|thumb|400x400px|Potencial a um pulso unitário de amplitude 100V]]
:<math> V(t) = V_{0}(u(t - a) - u(t - b))</math>

Onde <math>\textstyle u(t) </math> é a função de heaviside

:<math>\textstyle V(t) </math> é dada pela [[Leis de Kirchhoff#Leis de Kirchhoff para circuitos elétricos|Lei das malhas Kirchhoff]] como:

:<math> V(t) = L\frac{di(t)}{dt} + Ri(t) + \frac{1}{C}q(t) </math>

Dados <math>\textstyle L = 1H </math>, <math>\textstyle R = 2\Omega </math> e <math>\textstyle C = 1F </math> temos:

:<math> \frac{di(t)}{dt} + 2i(t) + q(t) = V_{0}(u(t - a) - u(t - b)) </math>

Derivando ambos os lados da equação em relação ao tempo, obtemos:

:<math> \frac{d^2i(t)}{dt^2} + 2\frac{di(t)}{dt} + i(t) = V_{0}(\delta(t - a) - \delta(t - b)) </math>

No passo anterior utilizamos o fato de que a derivada da função de heaviside <math>\textstyle u(t) </math> é a função delta de Dirac <math>\textstyle \delta(t) </math>, ou seja:

:<math> \frac{du(t)}{dt} = \delta(t) </math>

Também lançamos mão dos seguintes conceitos de [[eletromagnetismo]]:

:<math> q(t) = \int_{0}^{t}i(t)dt </math>

:<math>\frac{dq(t)}{dt} = i(t) - i(0) = i(t) </math>

Onde utilizamos nossa primeira condição inicial: <math>\textstyle i(0) = 0 </math>.

Aplicando a [[transformada de Laplace]] em ambos os lados da equação:

:<math> \mathcal{L}\left\{\frac{d^2i(t)}{dt^2}\right\} + 2\mathcal{L}\left\{\frac{di(t)}{dt}\right\} + \mathcal{L}\{i(t)\} = V_{0}(\mathcal{L}\{\delta(t - a)\} - \mathcal{L}\{\delta(t - b)\}) </math>

:<math> s^2\mathcal{L}\{i(t)\} - si(0) - \frac{di}{dt}(0) + 2s\mathcal{L}\{i(t)\} - 2i(0) + \mathcal{L}\{i(t)\} = V_{0}(e^{-as} - e^{-bs})</math>

Devido as condições iniciais, <math>\textstyle i(0) = 0 </math> e <math>\textstyle \frac{di}{dt}(0) = 0 </math> a equação se reduz a:

:<math> s^2\mathcal{L}\{i(t)\} + 2s\mathcal{L}\{i(t)\} + \mathcal{L}\{i(t)\} = V_{0}(e^{-as} - e^{-bs})</math>

Isolando <math>\textstyle \mathcal{L}\{i(t)\}</math>:

:<math> \mathcal{L}\{i(t)\}(s^2 + 2s + 1) = V_{0}(e^{-as} - e^{-bs})</math>

:<math> \mathcal{L}\{i(t)\} = \frac{V_{0}(e^{-as} - e^{-bs})}{(s^2 + 2s + 1)}</math>

Manipulamos a equação de modo a chegar no formato de uma expressão [[Transformada de Laplace#Tabela de Transformadas de Laplace selecionadas|tabelada]]:
[[Ficheiro:Corrente devido a um potencial de impulso unitário.jpg|thumb|400x400px|Corrente devido a um pulso unitário entre t = 1 e t = 2 com V0 = 100V]]
<math> \mathcal{L}\{i(t)\} = V_{0}e^{-as}\frac{1}{(s + 1)^2} - V_{0}e^{-bs}\frac{1}{(s + 1)^2}</math>

Aplicando a [[Transformada de Laplace#Transformada de Laplace Inversa|transformada inversa]]:

:<math> i(t) = V_{0}\mathcal{L}^{-1}\left\{e^{-as}\frac{1}{(s + 1)^2}\right\} - V_{0}\mathcal{L}^{-1}\left\{e^{-bs}\frac{1}{(s + 1)^2}\right\} </math>

Consultando uma [[Transformada de Laplace#Tabela de Transformadas de Laplace selecionadas|tabela de transformadas de Laplace]], obtemos o resultado:

:<math> i(t) = V_{0}u(t-a)(t-a)e^{-(t-a)} - V_{0}u(t-b)(t-b)e^{-(t-b)} </math>

Onde utilizamos a [[Transformada de Laplace#Propriedades|propriedade]] do deslocamento no eixo t e deslocamento no eixo s

== Ver também ==
*[[Teorema de Picard-Lindelöf]], estabelece soluções para certos problemas de valor inicial.
*[[Problema de condições de fronteira]]

{{referências}}

[[Categoria:Equações diferenciais]]