Mostrar código-fonte de Produto de matrizes

Em matemática, o produto de duas [[Matriz (matemática)|matriz]]es é definido somente quando o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz. Se ''A'' é uma matriz m×n (A também pode ser denotada por <math>A_{m,n}</math>) e ''B'' é uma matriz n×p, então seu '''produto''' é uma matriz m×p<ref name=":0">{{citar livro|título=Álgebra Linear e suas aplicações|ultimo=Lay|primeiro=David C.|editora=LTC|ano=2015|local=Rio de Janeiro|páginas=|acessodata=17 de agosto de 2018}}</ref> definida como ''AB'' (ou por  ''A'' · ''B''). O elemento de cada entrada <math>c_{ij}</math> da matriz AB (o qual denotaremos por <math>(AB)_{ij}</math>)  é dado pelo produto da i-ésima linha de A com a j-ésima coluna de B<ref name=":3" />, ou seja,

<math display="block"> (AB)_{ij} = \sum_{r=1}^n a_{ir}b_{rj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj} </math>para cada par ''i'' e ''j'' com 1 ≤ ''i'' ≤ ''m'' e 1 ≤ ''j'' ≤ ''p''.

== Calculando diretamente a partir da definição ==
[[File:Matrix multiplication diagram.svg|left]]

A figura à esquerda mostra como calcular o elemento (1,2) e o elemento (3,3) de ''AB'' se ''A'' é uma [[matriz (matemática)|matriz]] 4×2, e ''B'' é uma matriz 2×3. Elementos de cada matriz são postos par a par na direcção das setas; cada par é multiplicado e os produtos são somados. A posição do número resultante em ''AB'' corresponde à linha e coluna que foi considerada.

<math display="block">(AB)_{1,2} = \sum_{r=1}^2 a_{1,r}b_{r,2} = a_{1,1}b_{1,2}+a_{1,2}b_{2,2}
</math>
<math display="block">(AB)_{3,3} = \sum_{r=1}^2 a_{3,r}b_{r,3} = a_{3,1}b_{1,3}+a_{3,2}b_{2,3}
</math>

== Propriedades ==
* Multiplicação de matrizes não é em geral [[Comutatividade|comutativa]], ou seja, ''AB'' ≠ ''BA'' (exceto em casos especiais). Eis um [[exemplo]]:

Sejam <math>A = \left[\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 2
\end{array}\right]</math> e <math>B = \left[\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right].</math> Note que 

<math display="block">A \cdot B = \left[\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 2
\end{array}\right]
\cdot
\left[\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right] =
\left[\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
2 & 0
\end{array}\right]
</math>

<math display="block">B \cdot A = \left[\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right]
\cdot
\left[\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 2
\end{array}\right] =
\left[\begin{array}{cc}
0 & 2 \\
1 & 0
\end{array}\right]
</math>
e AB ≠ BA.

Quando AB = BA, diz-se que A e B comutam<ref name=":1">{{citar livro|título=Matemática fundamental: uma nova abordagem|ultimo=José Ruy|primeiro=Giovanni|editora=FTD|ano=2002|local=São Paulo|páginas=|acessodata=17 de agosto de 2018}}</ref>.

* Embora a multiplicação de matrizes não seja comutativa, os [[determinante]]s de ''AB'' e ''BA'' são sempre iguais (se ''A'' e ''B'' são matrizes quadradas de dimensões iguais). Veja o artigo sobre [[determinante]]s para esclarecimento.
* O produto é associativo, ou seja<ref name=":0" />:

<math display="block">\left(AB\right)C=A\left(BC\right)\,.</math>

* O produto distribui sob a soma<ref name=":0" />:

<math display="block">\left(A+B\right)C=AC+BC</math>
<math display="block">C\left(A+B\right)=CA+CB\,.</math>

* Sejam A uma matriz de ordem m×n, B uma matriz de ordem n×p e <math>\alpha</math> um [[número real]], então vale que:

<math>(\alpha A)B = A(\alpha B) = \alpha (AB)</math><ref name=":2">{{citar livro|título=Álgebra Linear|ultimo=Steinbruch|primeiro=Alfredo|ultimo2=Winterle|primeiro2=Paulo|editora=Pearson|ano=1987|local=São Paulo|páginas=|acessodata=17 de agosto de 2018}}</ref>.

* Se A for uma matriz de ordem m×n, então vale que:

<math>A = AI_n = I_mA</math><ref name=":2" />, pois o número de colunas de A é igual ao número de linhas de <math>I_n.</math> De modo semelhante, o número de colunas de <math>I_m</math> é igual ao número de linhas da matriz A.

* Propriedade de [[matriz transposta|matrizes transpostas]]: <math>\left (AB \right )^T = B^TA^T</math> <ref name=":0" />.

'''Observações:'''

* No caso das matrizes, se AB = 0, não necessariamente A = 0 ou B = 0<ref name=":1" />, pois podemos ter

<math>A = \left[\begin{array}{cc}

2 & 1 \\

0 & 0

\end{array}\right]


</math> e <math>B = \left[\begin{array}{cc}

0 & 2 \\

0 & -4


\end{array}\right] 

</math> 

tais que 

<math>A \cdot B = \left[\begin{array}{cc}

2 & 1 \\

0 & 0

\end{array}\right]

\cdot

\left[\begin{array}{cc}

0 & 2 \\

0 & -4

\end{array}\right] =

\left[\begin{array}{cc}

0 & 0 \\

0 & 0

\end{array}\right].
</math>

Mas se tivermos A.0, então o resultado necessariamente será 0 (0 denota a [[matriz nula]])<ref name=":3">{{citar livro|título=Álgebra Linear|ultimo=Lipschutz|primeiro=Seymour|ultimo2=Lipson|primeiro2=Marc Lars|editora=Bookman|ano=2011|edicao=4|local=Porto Alegre|páginas=432|acessodata=17 de agosto de 2018}}</ref>.

* A lei do cancelamento não é válida, pois se A ≠ 0 e AB = AC, pode acontecer que B ≠ C<ref name=":1" />. O caso a seguir ilustra isso:

Sejam <math>A = \left[\begin{array}{cc}

5 & 3 \\

0 & 0

\end{array}\right]


,</math> <math>B = \left[\begin{array}{cc}

1 & 0 \\

-1 & 0


\end{array}\right] 

</math> e <math>C = \left[\begin{array}{cc}

-1 & 0 \\

\frac{7}{3} & 0


\end{array}\right] 

.</math> 

Note que AB = AC, pois

<math>\left[\begin{array}{cc}

5 & 3 \\

0 & 0

\end{array}\right] 
\cdot 
\left[\begin{array}{cc}

1 & 0 \\

-1 & 0

\end{array}\right] 

=

\left[\begin{array}{cc}

5 & 3 \\

0 & 0

\end{array}\right]
\cdot 
\left[\begin{array}{cc}

-1 & 0 \\

\frac{7}{3} & 0

\end{array}\right] 
</math>

<math>\Rightarrow \left[\begin{array}{cc}

2 & 0 \\

0 & 0

\end{array}\right] 

=

\left[\begin{array}{cc}

2 & 0 \\

0 & 0

\end{array}\right]
 
</math>

porém B ≠ C.

== Definições importantes de matrizes derivadas das propriedades da multiplicação ==
* Uma matriz quadrada A de ordem ''n'' é inversível se tiver uma [[matriz inversa|inversa]] <math>A^{-1}</math> de tal maneira que sua multiplicação resulte na [[matriz identidade]], ou seja, <math>A*A^{-1}=I_n.</math>
*Neste caso, vale a comutatividade e <math>A^{-1}*A=I_n</math><ref name=":0" />.

== Algoritmos para a multiplicar matrizes eficientemente ==
{{Não resolvido|ciência da computação|Qual é o algoritmo mais rápido para a multiplicação de matrizes?}}
O [[tempo de execução]] da multiplicação de matrizes quadradas, se efetuada de forma intuitiva, é <math>O( n^3 ).</math> O tempo de execução para a multiplicação de matrizes retangulares (uma matriz ''m×p'' e outra ''p''×''n'') é ''O''(''mnp''), no entanto, existem algoritmos mais eficientes, tais como o [[algoritmo de Strassen]], concebido por [[Volker Strassen]] em 1969, e chamado frequentemente de "multiplicação rápida de matrizes". Ele baseia-se em uma forma de multiplicar matrizes 2×2 que exige apenas 7 multiplicações (em vez das 8 usuais), em troca de fazer algumas oprerações de adição e [[subtração]]. A aplicação recursiva desse método produz um algoritmo cujo custo multiplicativo é <math>O( n^{\log_{2}7}) \approx O(n^{2.807}).</math> O algoritmo de Strassen é mais complexo se comparado com o algoritmo intuitivo, e ele carece de [[estabilidade numérica]]. Mesmo assim, está disponível em diversas bibliotecas, tais como [[BLAS]], em que sua eficiência é significativamente maior para matrizes de dimensão ''n'' > 100<ref>Press 2007, p.&nbsp;108.</ref>, e é muito útil para matrizes grandes sobre domínios exatos tais como [[Corpo finito|corpos finitos]], em que a estabilidade numérica não é um problema.

{{Referências|Notas e referências}}

== Referências ==
* {{Citation | last1=Press | first1=William H. | last2=Flannery | first2=Brian P. | last3=Teukolsky | first3=Saul A. | author3-link=Saul Teukolsky | last4=Vetterling | first4=William T. | title=[[Numerical Recipes|Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing]] | publisher=[[Cambridge University Press]] | edition=3rd | isbn=978-0-521-88068-8 | year=2007}}.

==Ligações externas==
*{{Link||2=http://rosettacode.org/wiki/Matrix_multiplication?uselang=pt |3=Multiplicação de matrizes |4=- implementações em várias linguagens de programação, no [[Rosetta Code]]}}

{{Álgebra linear}}

{{Esboço-matemática}}

{{DEFAULTSORT:Produto Matrizes}}
[[Categoria:Matrizes]]

[[de:Matrix (Mathematik)#Matrizenmultiplikation]]