Mostrar código-fonte de Raio de curvatura

{{mais fontes|data=janeiro de 2015}}
[[Ficheiro:Radius of curvature.svg|miniaturadaimagem|321x321px|Raio de curvatura e [[centro de curvatura]]]]
Na [[geometria diferencial]], o '''raio de curvatura''', {{Mvar|R}}, é o recíproco da [[curvatura]] . Para uma [[curva]], é igual ao [[Raio (geometria)|raio]] do [[Arco (matemática)|arco circular]] que melhor se aproxima da curva naquele ponto. Para [[superfície]]s, o raio de curvatura é o raio de um círculo que melhor se ajusta a uma [[seção normal]] ou a suas [[Raio terrestre|combinações]] .<ref>{{Citar web|url=http://mathworld.wolfram.com/RadiusofCurvature.html|titulo=Radius of Curvature|last=Weisstien|primeiro3=Eric|obra=Wolfram Mathworld|publicação=}}</ref><ref name=":0">{{Citar livro|url=https://books.google.com.ph/books?redir_esc=y&id=90mk7qPAvb4C&q=radius+of+curvature#v=snippet&q=page%20210&f=false|título=Differential Calculus|ultimo=Kishan|primeiro=Hari|data=2007|língua=en|isbn=9788126908202|publicação=Atlantic Publishers & Dist}}</ref><ref name=":12">{{Citar livro|título=Differential and Integral Calculus|ultimo=Love|primeiro=Clyde E.|ultimo2=Rainville|primeiro2=Earl D.|data=1962|localização=New York|língua=en|isbn=|edition=Sixth|publicação=MacMillan}}</ref>

== Definição ==
O '''raio de curvatura''' é uma magnitude que mede a [[curvatura]] de um objeto geométrico tal como uma linha curva, uma superfície ou mais genericamente uma [[variedade riemanniana|variedade diferenciável]] imersa em um [[espaço euclideano|espaço euclidiano]].

O raio de curvatura é matematicamente descrito por
:<math>R = \frac{1}{|k|}</math>
onde <math>k</math> é a curvatura de uma determinada função.<br />

Se a curva é dada em [[coordenadas cartesianas]] como <math>y = f(x)</math>, e diferenciável pelo menos duas vezes, então o raio de curvatura é dado por<ref>http://mathworld.wolfram.com/RadiusofCurvature.html</ref>
:<math>R = \left|\frac{(1 + y'^2)^{3/2}}{y''}\right|</math>
onde <math>y' = \frac{dy}{dx}</math> e <math>y'' = \frac{d^2y}{dx^2}</math>
<br />Caso a curva seja definida em [[equações paramétricas]] como <math>x(t)</math> e <math>y(t)</math>, então o raio de curvatura é dado por
:<math>R = \frac{(x'^2 + y'^2)^{3/2}}{|x'y'' - y'x''|}</math>
onde <math>y' = \frac{dy}{dt}</math> e <math>x' = \frac{dx}{dt}</math>, e também <math>x'' = \frac{d^2x}{dt^2}</math> e <math>y'' = \frac{d^2y}{dt^2}</math>
<br />
Em notação vetorial, pode-se interpretar a definição acima como
:<math>R =  \frac{\left|\mathbf{r'}\right|^3}{\left| \mathbf{r'}  \times \mathbf{r''} \right|}</math>
onde <math>\mathbf{r}</math> é uma [[Função vectorial|função vetorial]] definida por funções escalares de parâmetro <math>t</math> nas direções dos eixos de um sistema de coordenadas retangulares.

== Fórmula ==
Se {{Math|'''γ''' : ℝ → ℝ<sup>''n''</sup>}} é uma curva parametrizada em {{Math|ℝ<sup>''n''</sup>}} então o raio de curvatura em cada ponto da curva, {{Math|''ρ'' : ℝ → ℝ}}, é dado por <ref name=":12"/><math display="block">\rho = \frac{\left|\boldsymbol\gamma'\right|^3}{\sqrt{\left|\boldsymbol\gamma'\right|^2 \, \left|\boldsymbol\gamma''\right|^2 - \left(\boldsymbol\gamma' \cdot \boldsymbol\gamma''\right)^2}}</math> Como um caso especial, se {{Math|''f''(''t'')}} é uma função de {{Math|ℝ}} a {{Math|ℝ}}, então o raio de curvatura de seu [[gráfico]], {{Math|'''γ'''(''t'') {{=}} (''t'', ''f''(''t''))}}, é: <math display="block">\rho(t)=\frac{\left|1+\{[f(t)]'\}^2\right|^\frac32}{\left|f''(t)\right|}.</math> Derivação

Seja {{Math|'''γ'''}} como acima, e corrija {{Mvar|t}} . Queremos encontrar o raio {{Mvar|ρ}} de um círculo parametrizado que corresponda a {{Math|γ}} em suas derivadas zero, primeira e segunda em {{Mvar|t}} . Claramente, o raio não dependerá da posição {{Math|'''γ'''(''t'')}}, apenas da velocidade {{Math|'''γ'''′(''t'')}} e da aceleração {{Math|'''γ'''″(''t'')}} . Existem apenas três [[Produto escalar|escalares]] independentes que podem ser obtidos a partir de dois vetores {{Math|'''v'''}} e {{Math|'''w'''}}, a saber {{Math|'''v''' · '''v'''}}, {{Math|'''v''' · '''w'''}} e {{Math|'''w''' · '''w'''}} . Assim o raio de curvatura deve ser a função de três escalares |{{math|'''γ'''′(''t'')}}|<sup>2</sup>, | {{math|'''γ'''″(''t'')}}|<sup>2</sup> e {{math|'''γ'''′(''t'') · '''γ'''″(''t'')}}.<ref name=":13">{{Cite book|title=Differential and Integral Calculus|last=Love|first=Clyde E.|last2=Rainville|first2=Earl D.|date=1962|isbn=|edition=Sixth|authorlink=Clyde E. Love|authorlink2=Earl D. Rainville|publisher=MacMillan|location=New York|language=en}}</ref>

A equação geral para um círculo parametrizado em is {{Math|ℝ<sup>''n''</sup>}} é<math display="block">\mathbf{g}(u) = \mathbf a \cos h(u) + \mathbf b \sin h(u) + \mathbf c</math>onde {{Math|'''c''' ∈ ℝ<sup>''n''</sup>}} é o centro do círculo (irrelevante, pois desaparece nas derivadas), {{Math|'''a''','''b''' ∈ ℝ<sup>''n''</sup>}} são vetores perpendiculares de comprimento {{Mvar|ρ}} (ou seja, {{Math|'''a''' · '''a''' {{=}} '''b''' · '''b''' {{=}} ''ρ''}}<sup>2</sup> e  {{Math|'''a''' · '''b''' {{=}} 0}} ) {{Math|''h'' : ℝ → ℝ}} é uma função arbitrária que é duas vezes diferencial em {{Mvar|t}} .

Os derivados relevantes de {{Math|'''g'''}} calculam-se como<math display="block">\begin{align}
|\mathbf g'|^2 &= \rho^2 (h')^2 \\
\mathbf g' \cdot \mathbf g'' &= \rho^2 h' h'' \\
|\mathbf g''|^2 &= \rho^2 \left((h')^4 + (h'')^2 \right)
\end{align}</math>

Se agora igualarmos essas derivadas de {{Math|'''g'''}} às derivadas correspondentes de {{Math|'''γ'''}} at {{Mvar|t}}, obtemos<math display="block">\begin{align}
|\boldsymbol\gamma'(t)|^{2} &= \rho^2 h'^{\,2}(t) \\
\boldsymbol\gamma'(t) \cdot \boldsymbol\gamma''(t) &= \rho^2 h'(t) h''(t) \\
|\boldsymbol\gamma''(t)|^{2} &= \rho^2 \left(h'^{\,4}(t) + h''^{\,2}(t)\right)
\end{align}</math>

Essas três equações em três incógnitas ( {{Mvar|ρ}}, {{Math|''h''′(''t'')}} e {{Math|''h''″(''t'')}} ) podem ser resolvidas para {{Mvar|ρ}}, fornecendo a fórmula para o raio de curvatura:

<math>\rho(t) = \frac{\left|\boldsymbol\gamma'(t)\right|^{3}}{\sqrt{\left|\boldsymbol\gamma'(t)\right|^{2} \, \left|\boldsymbol\gamma''(t)\right|^{2} - \big(\boldsymbol\gamma'(t) \cdot \boldsymbol\gamma''(t)\big)^2}}</math>

ou, omitindo o parâmetro {{Mvar|t}} para facilitar a leitura,<math display="block">\rho = \frac{\left|\boldsymbol\gamma'\right|^3}{\sqrt{\left|\boldsymbol\gamma'\right|^2 \; \left|\boldsymbol\gamma''\right|^2 - \left(\boldsymbol\gamma' \cdot \boldsymbol\gamma''\right)^2}}.</math>

== Exemplos ==
[[Ficheiro:Ellipse evolute.svg|miniaturadaimagem|Uma elipse (vermelha) e sua [[Evoluta|evolução]] (azul). Os pontos são os vértices da elipse, nos pontos de maior e menor curvatura.]]

=== Semicírculos e círculos ===
<math>y=\sqrt{a^2-x^2}, \quad y'=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}}, \quad y''=\frac{-a^2}{\left(a^2-x^2\right)^\frac32},\quad R=|-a| =a.</math>

Para um [[semicírculo]] de raio {{Mvar|a}} no semiplano inferior<math display="block"> y=-\sqrt{a^2-x^2}, \quad R=|a|=a.</math> O [[Circunferência|círculo]] de raio {{Mvar|a}} tem um raio de curvatura igual a {{Mvar|a}}.

=== Elipses ===
Em uma [[elipse]] com o eixo maior {{Math|2''a''}} e o eixo menor {{Math|2''b''}}, os [[Vértice (curva)|vértices]] no eixo principal têm o menor raio de curvatura de qualquer ponto, {{Math|''R'' {{=}} {{sfrac|''b''<sup>2</sup>|''a''}}}} ; e os vértices no eixo menor têm o maior raio de curvatura de qualquer ponto, {{Math|''R'' {{=}} {{sfrac|''a''<sup>2</sup>|''b''}}}} .
<br />

==Aplicações==
* [[Geometria diferencial]] , consulte [[equação de Cesàro]].
* Raio de curvatura da terra (aproximado por um elipsóide oblato), consulte [[Raio terrestre|Raio de curvatura da terra]].
* Equações de flexão de vigas.
* [[Lente]]s e [[Espelho esférico|espelhos esféricos]].

===Estresse em estruturas semicondutores===
O estresse na estrutura do [[semicondutor]] envolvendo filmes finos evaporados geralmente resulta da expansão térmica (estresse térmico) durante o processo de fabricação. O estresse térmico ocorre porque as deposições dos filmes geralmente são feitas acima da [[temperatura ambiente]].Após o resfriamento da temperatura de deposição para a temperatura ambiente, a diferença nos coeficientes de expansão térmica do substrato e do filme causa estresse térmico.

O estresse intrínseco resulta da microestrutura criada no filme à medida que os átomos são depositados no substrato. O estresse elástico resulta dos micro vazios no filme fino, devido à interação atraente dos átomos através dos vazios.<ref>{{cite web|url=http://flipchips.com/tutorial/process/controlling-stress-in-thin-films/|title=Controlling Stress in Thin Films|website=Flipchips.com|date=|accessdate=2016-04-22}}</ref><blockquote>O estresse nas estruturas de semicondutores de película fina resulta na flambagem das bolachas. O raio da curvatura da estrutura tensionada está relacionado ao tensor de tensão na estrutura e pode ser descrito pela fórmula de Stoney modificada.<ref>{{Citar web|url=http://www.qucosa.de/fileadmin/data/qucosa/documents/5126/data/Stoney.pdf|formato=PDF|titulo=On the determination of film stress from substrate bending : Stoney's formula and its limits|obra=Qucosa.de}}</ref> A topografia da estrutura tensionada, incluindo raios de curvatura, pode ser medida usando métodos de scanner óptico. As modernas ferramentas de scanner têm a capacidade de medir a topografia completa do substrato e medir os dois principais raios de curvatura, fornecendo a precisão da ordem de 0,1% para raios de curvatura de 90 metros ou mais.<ref>{{Citar web|autor=Peter Walecki|url=http://www.zebraoptical.com/ModelX.html|titulo=Model X|publicação=Zebraoptical.com}}</ref></blockquote>

== Ver também ==
* [[Dioptria]]
* [[Curvatura]]
* [[Torção de uma curva]]
* [[Triedro de Frenet]]
*[[Curva]]

{{Referências}}

== Leitura adicional ==
* {{Citar livro|título=Differential Geometry of Curves and Surfaces|ultimo=do Carmo|primeiro=Manfredo|ano=1976|isbn=0-13-212589-7}}

== Ligações externas ==

* [http://www.geom.uiuc.edu/zoo/diffgeom/surfspace/concepts/curvatures/prin-curv.html The Geometry Center: Principal Curvatures]
* [http://math.mit.edu/classes/18.013A/HTML/chapter15/section03.html 15.3 Curvature and Radius of Curvature]
* {{MathWorld|title=Principal Curvatures|urlname=PrincipalCurvatures}}
* {{MathWorld|title=Principal Radius of Curvature|urlname=PrincipalRadiusofCurvature}}
{{Curvatura}}

{{Esboço-geometria}}

{{DEFAULTSORT:Raio Curvatura}}
[[Categoria:Geometria diferencial]]