Mostrar código-fonte de Raiz quadrada de dois

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[[Imagem:Square root of 2 triangle.png|thumb|200px|A hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem 1 tem comprimento raiz quadrada de dois]]

A '''raiz quadrada de dois''', denotada <math>\sqrt{2}</math>,  é o único [[número real]] positivo cujo quadrado (ou seja, o resultado de sua multiplicação por si próprio) é [[dois]]: <math>\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2</math>.

A raiz quadrada de dois é um [[número irracional]],<ref name="vitruvio.arquitetura.9.i.4">[[Vitrúvio]], ''De Architetura'', Livro IX, ''Introdução'', 4 [http://penelope.uchicago.edu/Thayer/E/Roman/Texts/Vitruvius/9*.html <nowiki>[em linha]</nowiki>]</ref><ref group="Nota">No texto, Vitrúvio escreve que a determinação de um número que corresponde à diagonal de um quadrado com lado igual a dez [[Pé romano|pés]] não pode ser feita por números, o que, segundo interpretação de [[Bill Thayer]], editor do site LacusCurtius, significa que não pode ser feita por uma fração com números inteiros.</ref> ou seja, '''não''' é possível encontrar dois [[números inteiros]] <math>a</math> e <math>b</math> tais que <math>\frac{a}{b}=\sqrt{2}.</math>

Acredita-se que <math>\sqrt{2}</math> tenha sido o primeiro [[número irracional]] reconhecido como tal. Esta importante descoberta é atribuída a [[Hipaso de Metaponto]], da [[Escola pitagórica|escola de Pitágoras]]. De acordo com uma lenda, a demonstração teria custado a vida de seu descobridor, uma vez que contrariava as ideias predominantes entre os pitagóricos de que ''tudo era número (inteiro)''.<ref>Kurt von Fritz, [http://www.jstor.org/pss/1969021 "The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum"], Annals of Mathematics, 1945.</ref>

Um [[triângulo retângulo]] cujos [[cateto]]s medem '''1''' tem [[hipotenusa]] com comprimento <math>\sqrt{2}</math>.

A fração {{sfrac|99|70}} (≈ '''1.4142'''857) por vezes é usada como uma boa aproximação racional com um denominador razoavelmente pequeno.

A sequência [https://oeis.org/A002193 A002193] na [[OEIS|Enciclopédia On-Line de Sequências Inteiras]] consiste nos dígitos da expansão decimal da raiz quadrada de 2, aqui truncada para 65 casas decimais:<ref>{{citar web|título=A002193 - OEIS|url=https://oeis.org/A002193|acessodata=2020-08-10|website=oeis.org}}</ref>

:{{gaps|1.41421|35623|73095|04880|16887|24209|69807|85696|71875|37694|80731|76679|73799|}}

== Notação ==
A raiz quadrada de dois pode ser escrita como:
* <math>\sqrt{2}</math>, lê-se "raiz quadrada de dois" ou "raiz de dois".
* <math>2^{\frac{1}{2}}</math> ou <math>2^{1/2}</math>, lê-se "dois elevado a um meio" ou "dois a um meio".

== Aproximação decimal da raiz quadrada de 2 ==
Por ser um número irracional, <math>\sqrt{2}</math> não pode ser expressa como um número finito de casas decimais, uma aproximação com 65 dígitos decimais é:
:{{gaps|1,41421|35623|73095|04880|16887|24209|69807|85696|71875|37694|80731|76679|73799...}} {{OEIS|A002193}}.

Uma aproximação fracionária para a raiz quadrada de 2 é 10/7 que, ao quadrado, fica 100/49, bem próximo de 2.

== Sequência convergente a raiz quadrada de dois ==
Pode-se facilmente construir uma [[Sequência numérica|sequência]] de [[Número racional|números racionais]] se aproximando (convergindo) para <math>\sqrt{2}</math>:

:<math>\left\{
\begin{array}{l}
x_0=1\\
x_{n+1}=\frac{x_n}{2}+\frac{1}{x_n}
\end{array}\right.</math>

Esta [[recursão]] produz a sequência:
:<math>1; ~~\frac{3}{2};~~ \frac{17}{12}; ~~\frac{577}{408};~~ \frac{665857}{470832};~~ \frac{886731088897}{627013566048} </math>
Ou, aproximadamente:
:<math>1;~~ 1,5;~~ 1.416666667;~~ 1.414215686;~~ 1.414213562;~~ 1.414213562</math>

Observe que o método estabiliza a nona casa decimal após apenas cinco passos.

== Inexistência de um número racional cujo quadrado seja 2 ==
O [[matemático]] britânico [[Godfrey Harold Hardy]] em seu livro ''Em defesa de um matemático'' afirma que a [[demonstração]] da irracionalidade da raiz quadrada de dois é um dos [[teorema]]s de "primeira classe". E que "conserva a beleza e o frescor que tinha ao ser descoberto" há mais de dois mil anos.

A demonstração é simples e recorre ao método da [[prova por contradição]]. Ou seja, supomos que exista um número racional igual a raiz de 2, ou seja, que existem números inteiros positivos <math>a</math> e <math>b</math> tais que:
:<math>\frac{a}{b}=\sqrt{2}</math>
ou, equivalentemente:
:<math>\left(\frac{a}{b}\right)^2=2</math>
Podemos supor que <math>a</math> e <math>b</math> não são ambos [[número par|números pares]], pois se fossem, poderíamos simplificar a fração até obter um dos termos da fração ímpar.

Agora, escrevemos:
:<math>\left(\frac{a}{b}\right)^2=\frac{a^2}{b^2}=2</math>
Então:
:<math>a^2=2b^2</math>

Concluímos então que <math>a^2</math> deve ser um [[número par]], pois é dobro de <math>b^2</math>. E <math>a</math> deve ser par também, pois o quadrado de um número ímpar é ímpar.

Temos então que <math>a</math> é um número par e, portanto, é o dobro de algum número inteiro, digamos <math>c</math>:
:<math>a=2c</math>
:<math>(2c)^2=2b^2</math>
:<math>4c^2=2b^2</math>
:<math>2c^2=b^2</math>
Pelos motivos alegados anteriormente, <math>b</math> deve ser um número par.

Concluímos, finalmente, que se a raiz quadrada de 2 fosse um número racional, então este número seria uma fração que não tem forma irredutível, já que tanto o numerador quanto o denominador da fração são pares. Isto é um absurdo e, portanto, não existe um racional cujo quadrado seja igual a 2, como queríamos demonstrar.

== Aplicações ==
=== Tamanho de Papéis ===
Em 1786, o professor alemão de física [[Georg Christoph Lichtenberg]]<ref name=":0"/> descobriu que qualquer folha de papel cuja borda longa seja <math>\sqrt{2}</math> vezes maior que sua borda curta poderia ser dobrada ao meio e alinhada com seu lado mais curto para produzir uma folha com exatamente as mesmas proporções como o original. Esta proporção de comprimentos do lado mais longo sobre o lado mais curto garante que o corte de uma folha ao meio ao longo de uma linha resulta em folhas menores tendo a mesma proporção (aproximada) da folha original. Quando a [[Alemanha]] padronizou os [[Tamanho de papel|tamanhos de papel]] no início do século 20, eles usaram a proporção de Lichtenberg para criar a [[ISO 216|série "A" de tamanhos de papel]].<ref name=":0">{{citar livro|título=The Book: A Cover-to-Cover Exploration of the Most Powerful Object of Our Time|último=Houston|primeiro=Keith|publicado=W. W. Norton & Company|ano=2016|isbn=978-0393244809|páginas=324}}</ref> Hoje, a proporção (aproximada) dos tamanhos de papel em ISO 216 (A4, A0, etc.) é 1: <math>\sqrt{2}</math>

=== [[Ciência física|Ciências físicas]] ===
Existem algumas propriedades interessantes envolvendo a raiz quadrada de 2 nas [[Ciência física|ciências físicas]]:

* A raiz quadrada de dois é a razão de frequência de um intervalo de [[trítono]] em uma música de [[temperamento igual]] de doze tons.
* A raiz quadrada de dois forma a relação de f-stops em lentes fotográficas, o que, por sua vez, significa que a proporção das áreas entre duas [[Abertura (óptica)|aberturas]] sucessivas é 2.
* A [[latitude]] celestial (declinação) do Sol durante os pontos astronômicos de [[Roda do Ano|um quarto de dia]] cruzado é igual à inclinação do eixo do [[planeta]] dividido por <math>\sqrt{2}</math>

{{Notas e referências}}

==Ligações externas==
*{{link|en|2=http://www.gutenberg.org/etext/129|3=Cinco milhões de casas decimais da raiz quadrada de 2}}

{{Portal3|Matemática}}

{{DEFAULTSORT:Raiz Quadrada Dois}}
[[Categoria:Números reais]]
[[Categoria:Números algébricos]]