Raiz quadrada de dois

A hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem 1 tem comprimento raiz quadrada de dois

A raiz quadrada de dois, denotada $\sqrt{2}$, é o único número real positivo cujo quadrado (ou seja, o resultado de sua multiplicação por si próprio) é dois: $\sqrt{2}\times \sqrt{2}=2$.

A raiz quadrada de dois é um número irracional, ou seja, não é possível encontrar dois números inteiros $a$ e $b$ tais que $\frac{a}{b}=\sqrt{2}.$

Acredita-se que $\sqrt{2}$ tenha sido o primeiro número irracional reconhecido como tal. Esta importante descoberta é atribuída a Hipaso de Metaponto, da escola de Pitágoras. De acordo com uma lenda, a demonstração teria custado a vida de seu descobridor, uma vez que contrariava as ideias predominantes entre os pitagóricos de que tudo era número (inteiro).

Um triângulo retângulo cujos catetos medem 1 tem hipotenusa com comprimento $\sqrt{2}$.

A fração Predefinição:Sfrac (≈ 1.4142857) por vezes é usada como uma boa aproximação racional com um denominador razoavelmente pequeno.

A sequência A002193 na Enciclopédia On-Line de Sequências Inteiras consiste nos dígitos da expansão decimal da raiz quadrada de 2, aqui truncada para 65 casas decimais:

Predefinição:Gaps

Notação

A raiz quadrada de dois pode ser escrita como:

• $\sqrt{2}$, lê-se "raiz quadrada de dois" ou "raiz de dois".
• $2^{\frac{1}{2}}$ ou $2^{1/2}$, lê-se "dois elevado a um meio" ou "dois a um meio".

Aproximação decimal da raiz quadrada de 2

Por ser um número irracional, $\sqrt{2}$ não pode ser expressa como um número finito de casas decimais, uma aproximação com 65 dígitos decimais é:

Predefinição:Gaps Predefinição:OEIS.

Uma aproximação fracionária para a raiz quadrada de 2 é 10/7 que, ao quadrado, fica 100/49, bem próximo de 2.

Sequência convergente a raiz quadrada de dois

Pode-se facilmente construir uma sequência de números racionais se aproximando (convergindo) para $\sqrt{2}$:

$\{\begin{array}{c}{x}_0=1\\ x_{n+1}=\frac{x_n}{2}+\frac{1}{x_n}\end{array}$

Esta recursão produz a sequência:

$1;\frac{3}{2};\frac{17}{12};\frac{577}{408};\frac{665857}{470832};\frac{886731088897}{627013566048}$

Ou, aproximadamente:

$1;1,5;1.416666667;1.414215686;1.414213562;1.414213562$

Observe que o método estabiliza a nona casa decimal após apenas cinco passos.

Inexistência de um número racional cujo quadrado seja 2

O matemático britânico Godfrey Harold Hardy em seu livro Em defesa de um matemático afirma que a demonstração da irracionalidade da raiz quadrada de dois é um dos teoremas de "primeira classe". E que "conserva a beleza e o frescor que tinha ao ser descoberto" há mais de dois mil anos.

A demonstração é simples e recorre ao método da prova por contradição. Ou seja, supomos que exista um número racional igual a raiz de 2, ou seja, que existem números inteiros positivos $a$ e $b$ tais que:

$\frac{a}{b}=\sqrt{2}$

ou, equivalentemente:

${\left(\frac{a}{b}\right)}^2=2$

Podemos supor que $a$ e $b$ não são ambos números pares, pois se fossem, poderíamos simplificar a fração até obter um dos termos da fração ímpar.

Agora, escrevemos:

${\left(\frac{a}{b}\right)}^2=\frac{a^2}{b^2}=2$

Então:

$a^2=2b^2$

Concluímos então que $a^2$ deve ser um número par, pois é dobro de $b^2$. E $a$ deve ser par também, pois o quadrado de um número ímpar é ímpar.

Temos então que $a$ é um número par e, portanto, é o dobro de algum número inteiro, digamos $c$:

$a=2c$

$(2c{)}^2=2b^2$

$4c^2=2b^2$

$2c^2=b^2$

Pelos motivos alegados anteriormente, $b$ deve ser um número par.

Concluímos, finalmente, que se a raiz quadrada de 2 fosse um número racional, então este número seria uma fração que não tem forma irredutível, já que tanto o numerador quanto o denominador da fração são pares. Isto é um absurdo e, portanto, não existe um racional cujo quadrado seja igual a 2, como queríamos demonstrar.

Aplicações

Tamanho de Papéis

Em 1786, o professor alemão de física Georg Christoph Lichtenberg descobriu que qualquer folha de papel cuja borda longa seja $\sqrt{2}$ vezes maior que sua borda curta poderia ser dobrada ao meio e alinhada com seu lado mais curto para produzir uma folha com exatamente as mesmas proporções como o original. Esta proporção de comprimentos do lado mais longo sobre o lado mais curto garante que o corte de uma folha ao meio ao longo de uma linha resulta em folhas menores tendo a mesma proporção (aproximada) da folha original. Quando a Alemanha padronizou os tamanhos de papel no início do século 20, eles usaram a proporção de Lichtenberg para criar a série "A" de tamanhos de papel. Hoje, a proporção (aproximada) dos tamanhos de papel em ISO 216 (A4, A0, etc.) é 1: $\sqrt{2}$

Ciências físicas

Existem algumas propriedades interessantes envolvendo a raiz quadrada de 2 nas ciências físicas:

• A raiz quadrada de dois é a razão de frequência de um intervalo de trítono em uma música de temperamento igual de doze tons.
• A raiz quadrada de dois forma a relação de f-stops em lentes fotográficas, o que, por sua vez, significa que a proporção das áreas entre duas aberturas sucessivas é 2.
• A latitude celestial (declinação) do Sol durante os pontos astronômicos de um quarto de dia cruzado é igual à inclinação do eixo do planeta dividido por $\sqrt{2}$

Ligações externas

• Predefinição:Link