Mostrar código-fonte de Seno

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{{Trigonometria}}
[[Ficheiro:Sin.svg|thumb|Gráfico da função seno<ref>{{Citar web|url = http://omonitor.io/?q=plotar+sin(x)|titulo = Confira este exemplo e faça outros com <b>O Monitor</b>|acessodata = 2016-03-25|obra = omonitor.io}}</ref>, em função do ângulo em radianos]][[Ficheiro:seno.png|thumb|Em um círculo trigonométrico unitário, o seno do ângulo α é a medida do segmento de reta em vermelho.]]

O '''seno''' é uma [[função trigonométrica]]. Dado um [[triângulo retângulo]] com um de seus [[ângulo]]s internos igual a <math>\theta,</math> define-se <math>\operatorname{sen}(\theta)</math> como sendo a razão entre o [[cateto]] oposto a <math>\theta</math> e a [[hipotenusa]] deste [[triângulo]]. Ou seja:

<math display="block">\operatorname{sen}\,\theta= \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}</math>

[[Ficheiro:Semelhancafigurasen.PNG]]

Exemplo: Um triângulo retângulo cuja hipotenusa é de valor 10 e seus catetos são de valores 6 e 8. O seno do ângulo oposto ao lado de valor 6 é 6/10 , ou seja, '''0,6'''.

== Definição analítica ==
Pode-se definir função seno pela [[série de Taylor]]<ref name="Ahlfors">[[Lars Ahlfors]], ''Complex Analysis: an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable'', second edition, [[McGraw-Hill Book Company]], New York, 1966.</ref>:
<math display="block">\operatorname{sen} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad\mbox{ para todo } x</math><ref>{{Citar web|url = http://omonitor.io/?q=seriedetaylor+sin(x)|titulo = Confira este exemplo e faça outros com <b>O Monitor</b>|acessodata = 2016-03-25|obra = omonitor.io}}</ref>
Esta série possui [[raio de convergência]] infinito e as bem conhecidas propriedades da função seno podem ser demonstradas diretamente através dela.

Tal definição tem sentido tanto no conjunto dos [[números reais]] como no conjunto dos [[números complexos]], e desta maneira pode-se definir o seno de um número complexo <math> z = x+iy </math> como:

<math display="block">\operatorname{sen}(x+iy) = \operatorname{sen}(x)\cosh(y)+i\operatorname{senh}(y)\cos(x) </math>

Onde <math> i </math> é a unidade imaginária, <math>\operatorname{senh} </math> é a função [[seno hiperbólico]] e <math> \cosh </math> é a função [[cosseno hiperbólico]].

Além disso, o seno pode ser expresso como uma soma de exponenciais complexas, devido à [[Fórmula de Euler|relação de Euler]].

<math>e^{ix}=\cos(x)+i \operatorname{sen}(x)</math>

<math>e^{-ix}=\cos(x)-i \operatorname{sen}(x)</math>

<math>e^{ix}-e^{-ix}=2i \operatorname{sen}(x)
</math>

<math>\operatorname{sen}(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}</math>

A recíproca do seno é a [[cossecante]], e sua inversa é [[arco seno]].

== Aproximações ==
Uma lista de aproximações, das mais simples às mais complexas.

Todas as aproximações abaixo podem ser facilmente verificadas, por exemplo, no Wolfram Alpha[https://www.wolframalpha.com/]
=== Aproximações Superiores ===
<math>0\leq x \leq \frac{\pi}{2} \rightarrow f(x)\geq sin(x)</math>

<math>f(x) = 1</math>

<math>f(x) = x</math>

<math>f(x) = -\frac{4}{\pi^{2}}x^2+\frac{4}{\pi}x</math>

<math>f(x) = \frac{8}{4 x^{2} - 4 \pi x + 8 + \pi^{2}}</math>

<math>f(x) = \left(\frac{8}{\pi^{3}}-\frac{4}{\pi^{2}}\right)x^{3} + x</math>

=== Aproximações Inferiores ===
<math>0\leq x \leq \frac{\pi}{2} \rightarrow f(x)\leq sin(x)</math>

<math>f(x) = 0</math>

<math>f(x) = \frac{2}{\pi}x</math>

<math>f(x) = \left(\frac{4}{\pi^2}-\frac{2}{\pi}\right)x^{2}+x</math>

<math>f(x) = - \frac{1}{2}x^{2} + \frac{\pi}{2}x + 1 - \frac{\pi^{2}}{8}</math>

<math>f(x) = \frac{\pi x}{(\pi-2)x+\pi}</math>

<math>f(x) = - \frac{1}{6}x^{3} + x</math>

<math>f(x) = \left(\frac{4}{\pi^{2}}-\frac{16}{\pi^{3}}\right) x^{3} + \left(\frac{12}{\pi^{2}}-\frac{4}{\pi}\right) x^{2} + x
</math>

== História do nome "seno" ==
Foi através dos [[árabes]] que a [[trigonometria]] baseada na meia [[Corda (geometria)|corda]] de uma [[circunferência]], que foi apresentada pelos [[hindu]]s, chegou à [[Europa]].

Os árabes haviam traduzido textos de trigonometria do [[sânscrito]]. Os hindus tinham dado o nome de ''jiva'' à metade da corda, e os árabes a transformaram em ''jiba''. Na [[língua árabe]] é comum escrever apenas as [[consoantes]] de uma palavra, deixando que o leitor acrescente mentalmente as [[vogal|vogais]]. Desse modo, os [[tradutor]]es árabes registraram ''jb''. Na sua tradução do árabe para o [[latim]], [[Robert de Chester]] interpretou ''jb'' como as consoantes da palavra ''jaib'', que significa "[[baía]]" ou "[[enseada]]", e escreveu ''sinus'', que é o equivalente em latim.<ref name="Maor">Maor, Eli, ''[http://www.pupress.princeton.edu/books/maor/ Trigonometric Delights] {{Wayback|url=http://www.pupress.princeton.edu/books/maor/|date=20040404234808}}'', Princeton Univ. Press. (1998). Reprint edition (February 25, 2002): ISBN 0-691-09541-8.</ref> A partir daí, a jiba, ou meia corda hindu passou a ser chamada de ''sinus'', e, em [[língua portuguesa|português]], ''seno''.

{{referências|col=2}}

== Ver também ==
{{Commons category|Sine function}}

* [[Cosseno]]
* [[Seno cardinal]]
* [[Tangente]]

{{Funções}}

[[Categoria:Funções matemáticas]]
[[Categoria:Trigonometria]]

[[no:Trigonometriske funksjoner#Sinus, cosinus og tangens]]