Mostrar código-fonte de Sequência

{{Outros significados||Sequência (desambiguação)}}
Em [[matemática]], uma '''sequência''' ou '''sucessão''' é uma função cujo [[Domínio (matemática)|domínio]] é um [[conjunto contável]] [[Ordem total|totalmente ordenado]]. Define-se o tamanho de uma sequência pelo número de elementos que esta possui, podendo existir sequências infinitas ou finitas.<ref>Introduction to Real Analysis - Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, página 53</ref>

A sequência também é caracterizada pelo comportamento de seus termos, podendo ser crescente, decrescente, não crescente ou não decrescente. As sequências também podem ser recorrentes, sendo cada termo definido por uma relação que envolve um ou mais termos anteriores. Exemplos conhecidos de sequência são as [[Progressão aritmética|progressões aritméticas]], [[Progressão geométrica|progressões geométricas]] e a [[sequência de Fibonacci]], sendo esta última uma sequência recorrente. A [[Análise Real|análise real]] inclui o estudo dos [[Limite_de_uma_sequência|limites]] de [[sequência de números reais|sequências de números reais]].

== Definição e notação ==
Uma sequência é um conjunto de números dispostos em uma ordem, onde cada número é chamado de termo. O termo é escrito da forma <math> a_n </math>, sendo <math>n</math> a posição ou ordem do termo. Essa ordem é definida segundo a [[Fórmula do termo geral|lei de formação da sequência]].<ref name="Ribeiro">{{citar livro|título = Matemática: ciência, linguagem e tecnologia|sobrenome = Ribeiro|nome = Jackson|edição = |local = São Paulo |editora = Scipione|ano = 2010|página = |isbn = 9788526277304}}</ref><ref name="Paiva">{{citar livro|título = Matemática: Paiva|sobrenome = Paiva|nome = Manoel Rodrigues|edição = |local = São Paulo |editora = Moderna|ano = 2010|página = |isbn = 9788516068318}}</ref><ref name="Nery">{{citar livro|título = Matemática para ensino médio: volume único|sobrenome = Nery|nome = Chico|edição = |local = São Paulo|editora = Saraiva|ano = 2001|página = |isbn = 8502035266}}</ref>

Em [[análise matemática]], diz-se uma sequência como uma função <math>f:A\subset\mathbb{N}\to B</math>, definida sobre um subconjunto <math>A</math> dos números naturais que toma elementos no conjunto <math>B</math>.<ref name=":0">LIMA, Elon Lages. Curso de análise. Rio de Janeiro: IMPA, 2004, 11ª ed., vol. 1, cap. 4, p. 100.</ref>

Para sequências, denota-se usualmente o valor de <math>f</math> em <math>n</math> por <math>f_n,</math> em vez de <math>f(n).</math> Este termo <math>f_n</math> é dito ser o <math>n</math>-ésimo termo da sequência. A notação <math>(f_n)_{n\in A}</math> é usada para denotar a sequência <math>f</math>, cujos índices são tomados no conjunto <math>A</math>. Quando o conjunto dos índices <math>A</math> está subentendido, normalmente escrevemos <math>(f_n)_{n}</math> ou, simplesmente, <math>(f_n)</math>. Por extenso, escrevemos <math>(f_n)_n = (f_1, f_2, f_3, \ldots)</math>. Observamos, ainda, que as notações <math>\ \{f_n\}_{n=1}^{\infty} </math> e <math>\{f_n\} </math> também são encontradas, embora estas se confundem com a notação usual para conjuntos.<ref>CATTAI, Adriano Pedreira. Análise matemática I. Universidade do Estado da Bahia (UNEB). 2º semestre 2008. Disponível em: <http://files.cattai.webnode.com/200000018-891b68b0de/analiseUM_cattai_uneb.pdf>. Acessado em: 16 de dezembro de 2014. Página 38.</ref><ref>{{citar livro|título = Teoria ingênua do conjuntos|sobrenome = Halmos|nome = Paul R.|edição = |local = Rio de Janeiro|editora = Editora Ciencia Moderna|ano = 2001|página = |isbn = 9788573931419}}</ref><ref name=":1">{{citar livro|título = Curso de Análise - Volume 1|sobrenome = Lima|nome = Elon Lages|edição = 14|local = |editora = IMPA|ano = 2013|página = |isbn = 9788524401183}}
</ref><ref name=":2">{{citar livro|título = Introdução à Análise Matemática|sobrenome = Ávila|nome = Geraldo|edição = |local = |editora = Edgard Blücher|ano = 1995|página = |isbn = 8521201680}}
</ref><ref name=":3">{{citar livro|título = Análise Matemática para Licenciatura|sobrenome = Ávila|nome = Geraldo Severo de Souza|edição = 3|local = São Paulo|editora = Blucher|ano = 2006|página = 73|isbn = 978-85-212-0395-7}}</ref>

== Sequências infinitas ==
Uma sequência numérica infinita é uma função <math>f: \mathbb{N}\to B</math>, cujo domínio é o conjunto dos número naturais.<ref name=":1">{{citar livro|título = Curso de Análise - Volume 1|sobrenome = Lima|nome = Elon Lages|edição = 14|local = |editora = IMPA|ano = 2013|página = |isbn = 9788524401183}}
</ref><ref name=":2">{{citar livro|título = Introdução à Análise Matemática|sobrenome = Ávila|nome = Geraldo|edição = |local = |editora = Edgard Blücher|ano = 1995|página = |isbn = 8521201680}}
</ref><ref name=":3">{{citar livro|título = Análise Matemática para Licenciatura|sobrenome = Ávila|nome = Geraldo Severo de Souza|edição = 3|local = São Paulo|editora = Blucher|ano = 2006|página = 73|isbn = 978-85-212-0395-7}}</ref> Com menos formalidade, uma sequência infinita é uma sequência em que todo termo possui um sucessor. Alguns exemplos são:

* a sequência de números pares (2, 4, 6,...);
* a sequência de [[Número primo|números primos]] (2, 3, 5, 7,...);
* a sequência de aproximações por falta para <math>\pi</math> (3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1416,...);
* a sequência constante (1, 1, 1, 1, 1,...).

== Sequências bi-infinitas ==
No estudo de dinâmica simbólica,<ref>{{citar livro|nome = Douglas|sobrenome = Lind|título = An Introduction To Symbolic Dynamics and Coding|ano = 1996|isbn = 978-0521551243|nome2 = Brian|sobrenome2 = Marcus}}</ref> é usado o conceito de uma sequência bi-infinita: uma sequência que é indexada não por <math>\mathbb{N}</math>, mas por <math>\mathbb{Z}</math>. Assim, usa-se a notação <math>(x_k)_{k\in\mathbb{Z}}</math>para se referir a sequência <math>(\ldots,x_{-2},x_{-1},x_0,x_1,x_2,\ldots)</math>. Também usa-se a notação mais compacta <math>\ldots x_{-2}x_{-1}.x_0x_1x_2\ldots</math> com um ponto separando a parte com índices negativos da parte com índices naturais.

== Sequência limitada==
Uma sequência é chamada limitada quando existem números reais <math>A</math> e <math>B</math> onde todos os termos de <math>x_n</math> possuem valores entre esses dois números, ou seja, <math> A \le x_n \le B </math> para todo <math>n</math>. Quando os valores <math>A</math> e <math>B</math> são simétricos (<math>A=-C</math> e <math>B=C</math>), ou seja, <math> -C \le x_n \le C </math>, o intervalo <math>x_n</math> é chamado de simétrico. Uma sequência é limitada superiormente (ou limitada à direita) quando se tem um número real <math>B</math> tal que <math> x_n \le B </math>, de modo que todos os termos pertencem ao intervalo <math> (-\infty, B] </math>. Da mesma forma, <math> x_n </math> é limitada inferiormente (ou limitada à esquerda) quando se tem um número real <math>A</math> tal que <math> A \le x_n </math>, de modo que todos os termos pertencem ao intervalo <math> [A, +\infty) </math>. Se a sequência não é limitada, diz-se que ela é ilimitada.<ref name=":1"/>

== Sequência de números reais ==
{{AP|Sequência de números reais}}
Em [[análise matemática]], uma '''sequência de números reais''' é uma [[função real]] cujo domínio é o [[conjunto]] dos [[números naturais]]. Isto é, uma [[sequência de números reais]] <math>(a_n)_n</math> é uma [[função (matemática)|função]] <math>a: \mathbb{N} \to \mathbb{R}</math>. O estudo destas sequências traz resultados importantes para o estudo de funções reais.<ref name=":1">{{citar livro|título = Curso de Análise - Volume 1|sobrenome = Lima|nome = Elon Lages|edição = 14|local = |editora = IMPA|ano = 2013|página = |isbn = 9788524401183}}
</ref><ref name=":2">{{citar livro|título = Introdução à Análise Matemática|sobrenome = Ávila|nome = Geraldo|edição = |local = |editora = Edgard Blücher|ano = 1995|página = |isbn = 8521201680}}
</ref> São exemplos de sequências reais:

*<math>\left(\frac{1}{n}\right)_n = \left(1,~\frac{1}{2},~\frac{1}{3},~\ldots,~\frac{1}{n},~\ldots\right)</math>;
*<math>(2n-4)_n = (-2,~0,~2,~\ldots,~2n-4,~\ldots)</math>;
*<math>(1,~-1,~1,~\ldots,~(-1)^{n+1},~\ldots)</math>;

===Limite de uma Sequência===
{{AP|[[Limite de uma sequência]]}}

Uma sequência pode ser definida como convergente ou divergente. Quando se afirma que uma sequência é convergente, significa que ela possui um limite, ou seja, existe um número real <math>L</math> que, na medida em que o índice <math>n</math> cresce, os termos de <math>x_n</math> vão se tornando mais próximos desse número real <math>L</math>. Quando não há limite finito, diz-se que a sequência diverge.<ref name=":1"/><ref name=":2"/>

* Sequências monótonas

As sequências monótonas são todas as sequências crescentes, não-decrescentes, decrescentes e não-crescentes<ref name=":1" />:
* Sequência crescente: quando <math> x_n < x_{n+1} </math>, ou seja, <math> x_1 < x_2 < x_3 < ... < x_n < x_{n+1} < ... </math>, para todo <math> n
 </math>;
* Sequência não-decrescente: quando <math> x_n \le x_{n+1} </math>, ou seja, <math> x_1 \le x_2 \le x_3 \le ... \le x_n \le x_{n+1} \le ... </math>, para todo <math> n
 </math>;
* Sequência decrescente: quando <math> x_n > x_{n+1} </math>, ou seja, <math> x_1 > x_2 > x_3 > ... > x_n > x_{n+1} > ... </math>, para todo <math> n
 </math>;
* Sequência não-crescente: quando <math> x_n \ge x_{n+1} </math>, ou seja, <math> x_1 \ge x_2 \ge x_3 \ge ... \ge x_n \ge x_{n+1} \ge ... </math>, para todo <math> n
 </math>.

Nota-se que uma sequência decrescente, pela definição, é uma sequência não-crescente. Da mesma forma, uma sequência crescente é uma sequência não-decrescente.

===Exemplos===
* <math> a_n = (0,1,2,3,4,5,...) </math> é crescente, pois <math> 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ... </math>;
* <math> a_n = (5,4,3,2,1,0,...) </math> é decrescente, pois <math> 5 < 4 < 3 < 2 < 1 < 0 < ... </math>;
* <math> a_n = (1,1,2,2,3,3,...) </math> é não decrescente, pois <math> 1 \le 1 \le 2 \le 2 \le 3 \le 3 \le ... </math>;
* <math> a_n = (-1,-1,-2,-2,-3,-3,...) </math> é não crescente, pois <math> -1 \ge -1 \ge -2 \ge -2 \ge -3 \ge -3 \ge ... </math>.

== Sequências definidas recursivamente ==
Diz-se que uma sequência <math>(a_n)</math> está [[Definição recursiva|recursivamente definida]] quando são dados o seu primeiro termo <math>a_1</math> e uma lei explícita que relaciona seu <math>n</math>-ésimo termo, <math>n > 1,</math> com um ou mais termos anteriores, i.e., é explicitamente dada uma função <math>a_n = f(a_1,a_2,\ldots,a_{n-1})</math>, Em outras palavras, uma sequência recursivamente definida é aquela em que seu termo é dado em função de um ou mais termos anteriores a ele.<ref name=":2">{{citar livro|título = Introdução à Análise Matemática|sobrenome = Ávila|nome = Geraldo|edição = |local = |editora = Edgard Blücher|ano = 1995|página = |isbn = 8521201680}}
</ref> Sequências definidas recursivamente são, também, chamadas de sequências indutivas ou recorrentes.

Abaixo são apresentadas algumas sequências recorrentes comumente estudas.

=== Progressão Aritmética ===
{{principal|Progressão aritmética}}Em uma progressão aritmética (P.A.), cada termo é igual à soma do termo anterior com uma constante denominada "razão da P.A.". Essa razão é geralmente representada pela letra <math>r</math>. Escreve-se, então: <math>a_n = a_1 + (n-1)r</math> ou <math>a_n = a_{n-1} + r</math>, onde <math>a_1</math> e <math>r</math> são constantes previamente definidas.

; Exemplos
* <math>a_{1}=1, r=1: (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...) \Leftrightarrow a_n=a_{n-1}+1, a_1=1, n=2, 3, ...</math>
* <math>a_{1}= -3, r = 5: (-3,2,7,12,17,22,27,...) \Leftrightarrow a_n=a_{n-1}+5, a_1=-3, n=2, 3, ...</math>
* <math>a_{1} = 13, r = -3: (13,10,7,4,1,-2,-5...) \Leftrightarrow a_n=a_{n-1}-3, a_1=13, n=2, 3, ...</math>

=== Progressão Geométrica ===
{{principal|Progressão geométrica}}
Em uma progressão geométrica (P.G.), cada termo é igual ao produto do termo anterior por uma constante denominada "razão da P.G.". Ou seja, <math>(a_n)_n</math> é uma progressão geométrica quando <math>a_n = a_{n-1}q</math>, <math>n > 1</math>, tendo sido dados o primeiro termo <math>a_1</math> e a razão <math>q</math>.

; Exemplos
* <math>a_{1}=1, q=1: (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,...) \Leftrightarrow a_n=a_{n-1}1, a_1=1, n=2, 3, ...</math>
* <math>a_{1}=3, q=-1: (3,-3,3,-3,3,-3,3,-3,...) \Leftrightarrow a_n=a_{n-1}(-1), a_1=3, n=2, 3, ...</math>
* <math>a_{1} = 16, q = -\frac{1}{2}: (16,-8,4,-2,1,\frac{-1}{2},\frac{1}{4}...) \Leftrightarrow a_n=a_{n-1}\left(-\frac{1}{2}\right), a_1=16, n=2, 3, ...</math>

=== Sequência de Fibonacci ===
{{principal|Sequência de Fibonacci}}
[[Ficheiro:Nautilus of Fibonacci.gif|thumb|Espiral baseada na [[sequência de Fibonacci]].]]
A sequência de Fibonacci <math>(f_n)_n</math> é definida por <math>f_1=0</math>, <math> f_2=1</math> e <math>f_n=f_{n-2}+f_{n-1}</math>, para<math>n=3,4,5,...</math>, ou seja:
:::<math>(f_n)_n = (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...)</math>

=== Método para extração da raiz quadrada ===
[[Imagem:Raiz quadrada.gif|thumb|354x354px|Exemplo ilustrativo do método da raiz quadrada]]
Um método numérico para extração da [[raiz quadrada]] pode ser elaborado a partir de uma sequência recorrente. Dado um número positivo qualquer <math>c</math>, com o objetivo de encontrar um número <math>x</math> positivo tal que <math>x^2 = c</math>, supõe-se que é conhecida apenas uma aproximação <math>\tilde{x} > 0</math> para <math>x</math>. Nota-se que:
:<math>\tilde{x}\frac{c}{\tilde{x}} =c</math>

e, observa-se que:
# <math>\sqrt{c}</math> é um valor entre <math>\tilde{x}</math> e <math>\frac{c}{\tilde{x}}</math>;
# se a aproximação <math>\tilde{x}</math> aumenta de valor, então o fator <math>\frac{c}{\tilde{x}}</math> diminui e vice-versa;
# <math>x</math> é solução de <math>x^2 = c</math>, se <math>x = \frac{c}{x}</math>.

Destas observações, infere-se que uma boa aproximação para <math>\sqrt{c}</math> pode ser obtida tomando-se a média aritmética entre <math>\tilde{x}</math> e <math>\frac{c}{\tilde{x}}</math>, ou seja:
:<math>a_1=\frac{1}{2}(\tilde{x}+\frac{c}{\tilde{x}})</math>.
Agora, <math>a_1</math> é uma nova aproximação de <math>x</math> e, repetindo o argumento acima, temos que a média:
:<math>a_2=\frac{1}{2}(a_1+\frac{c}{a_1})</math>
é uma aproximação para <math>x</math> ainda melhor que <math>a_1</math>.

Seja, então, <math>(a_n)</math> a sequência definida recursivamente por:
:<math>a_1=\tilde{x},\quad a_n=\frac{1}{2}(a_{n-1}+\frac{c}{a_{n-1}}), n=2, 3, ...</math>.

Pode-se mostrar que <math>(a_n)</math> converge para <math>\sqrt{c}</math>. Esta sequência tem origem na Mesopotâmia (séc. XVIII a.C.) e é talvez o método mais eficiente para extração da raiz quadrada.<ref name=":2"/>

==Subsequência==
{{principal|Subsequência}}
Uma subsequência é uma sequência gerada da exclusão de termos de uma determinada sequência de números reais.<ref name=":2"/> Pode-se citar como exemplos:

:* A sequência de números pares é uma subsequência da sequência dos números naturais;
:* A sequência de números inteiros é uma subsequência da sequência dos [[Número racional|números racionais]].

Nota-se que uma subsequência de uma sequência é uma restrição dessa sequência a um subconjunto infinito do conjunto dos números naturais. Ou seja, ao se restringir os índices dos termos da subsequência obtém-se uma nova sequência retirada da sequência de origem.

== Ver também ==
* [[Progressão aritmética]]
* [[Progressão geométrica]]
*[[Sequência de Cauchy]]
*[[Sequência convergente]]
* [[Sequência de Farey]]
* [[Sequência de Fibonacci]]
* [[Sequência de Thue-Morse]]
* [[Sequência de Golomb]]

{{Referências}}

== Bibliografia ==
* Ávila, Geraldo Severo de Souza. ''Análise matemática para licenciatura''. Edgard Blucher. ISBN 85-212-0295-4
* [[Elon Lages Lima|Lima, Elon Lages]]. ''Análise real''. Rio de Janeiro: IMPA.
* Rudin, W. ''Principles of Mathematical Analysis''. 2 ed. New York, McGraw-Hill, 1964.
* Michael Spivak. ''Calculus''. Publish or Perish, 2008. ISBN 978-0-914098-91-1.

{{Séries (matemáticas)}}
{{Portal3|Matemática}}

{{DEFAULTSORT:Sequência Matemática}}
[[Categoria:Sucessões]]
[[Categoria:Matemática]]