Mostrar código-fonte de Teorema da comparação de Rauch

{{Sem notas|data=setembro de 2021}}
Em geometria riemanniana, o '''Teorema da Comparação de Rauch''', provado em 1951 por Harry Rauch, é um resultado fundamental que relaciona a curvatura seccional de uma [[variedade riemanniana]] com a taxa com a qual suas geodésicas se afastam. Intuitivamente, ele diz que para maiores curvaturas as geodésicas se afastam menos, enquanto para curvaturas menores elas se afastam mais, e no caso de curvaturas negativas nunca vão se encontrar. Essa visão é traduzida via Campos de Jacobi e pontos conjugados, comparando com os espaço-forma R^n, H^n e S^n, onde esses campos são bem conhecidos.

==Enunciado do Teorema==
Sejam <math>M</math>, <math>\widetilde{M}</math> variedades riemannianas e sejam <math>\gamma : [0, T] \to M</math> e <math>\widetilde{\gamma} : [0,T] \to \widetilde{M}</math> segmentos geodésicos parametrizados pelo comprimento de arco tais que <math>\widetilde{\gamma}(0)</math> não tem pontos conjugados ao longo de <math>\widetilde{\gamma}</math>. Sejam ainda <math>J</math>, <math>\widetilde{J}</math> campos de Jacobi normais respectivamente ao longo de <math>\gamma</math> e <math>\widetilde{\gamma}</math> tais que <math>J(0) = \widetilde{J}(0) = 0</math> e <math>|D_t J(0)| = |\widetilde{D}_t \widetilde{J}(0)|</math>. Suponha adicionalmente que as curvaturas seccionais de <math>M</math> e <math>\widetilde{M}</math> satisfazem <math>K(\Pi) \leq \widetilde{K}(\widetilde{\Pi})</math> sempre que <math>\Pi \subset T_{\gamma(t)} M</math> é um plano contendo <math>\dot{\gamma}(t)</math> e <math>\widetilde{\Pi} \subset T_{\tilde{\gamma}(t)} \widetilde{M}</math> é um plano contendo <math>\dot{\widetilde{\gamma}}(t)</math>. Então <math>|J(t)| \geq |\widetilde{J}(t)|</math> para todo <math>t \in [0, T]</math>.

[[Categoria:Topologia (matemática)]]
==Referências==
*do Carmo, M.P. ''Riemannian Geometry'', Birkhäuser, 1992.
* Lee, J. M., ''Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature'', Springer, 1997.