Mostrar código-fonte de Teorema da raiz complexa conjugada

Em [[matemática]], o '''teorema da raiz complexa conjugada''' estabelece que se ''P'' é um [[Função polinomial|polinômio]] em uma variável com [[coeficiente]]s [[Número real|reais]], e ''a''&nbsp;+&nbsp;''bi'' é uma [[Raiz (matemática)|raiz]] de ''P'' com ''a'' e ''b'' números reais, então seu [[Conjugado de um número complexo|complexo conjugado]] ''a''&nbsp;&minus;&nbsp;''bi'' é também uma raiz de ''P''.<ref>{{citar livro|título=Maynooth Mathematical Olympiad Manual|autor =Anthony G. O'Farell and Gary McGuire|páginas=104|capítulo=Complex numbers, 8.4.2 Complex roots of real polynomials|ano=2002|publicado=Logic Press |isbn=0954426908}} Preview available at [https://books.google.com/books?q=Maynooth+Mathematical+Olympiad+Manual&ots=xQ0hpAQkpc&sa=X&oi=print&ct=title Google books]</ref>

Disto segue (e do [[teorema fundamental da álgebra]]), que se o grau de um polinômio real é ímpar, o mesmo tem no mínimo uma raiz real.<ref name=Jeffrey>{{citar livro|título=Complex Analysis and Applications|autor =Alan Jeffrey|capítulo=Analytic Functions|páginas=22&ndash;23|ano=2005|publicado=CRC Press|isbn=158488553X}}</ref> Isto pode ser também provado usando o [[teorema do valor intermediário]].

==Exemplos e consequências==
*O polinômio ''x''<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;1&nbsp;=&nbsp;0 tem raízes ±''i''.
*Qualquer [[Matriz (matemática)|matriz]] real quadrada de grau ímpar tem no mínimo um [[autovalor]] real. Por exemplo, se a matriz é [[Matriz ortogonal|ortogonal]], então 1 ou &minus;1 é um autovalor.
*O polinômio
::<math> x^3 - 7x^2 + 41x - 87\, </math>
:tem raízes
::<math> 3,\, 2 + 5i,\, 2 - 5i,</math>
:e pode assim ser fatorado como
::<math> (x - 3)(x - 2 - 5i)(x - 2 + 5i).\,</math>
:Calculando o produto dos dois últimos fatores, as partes imaginárias são canceladas, resultando
::<math> (x - 3)(x^2 - 4x + 29).\,</math>
:Os fatores não-reais surgem em pares que quando multiplicados fornecem polinômios quadráticos com coeficientes reais. Como todo polinômio com coeficientes complexos pode ser fatorado em fatores de grau um (esta é uma maneira de estabelecer o [[teorema fundamental da álgebra]]), segue que todo polinômio com coeficientes reais pode ser fatorado em fatores de grau não maior que 2: justamente grau 1 e fatores quadráticos.

===Corolário sobre polinômios de grau ímpar===
Segue do presente teorema e do [[teorema fundamental da álgebra]] que se o grau de um polinômio real é ímpar, o mesmo tem necessariamente no mínimo uma raiz real.<ref name="Jeffrey"/>

Isto pode ser provado como segue.
*Desde que raízes complexas não-reais ocorrem em pares conjugados, existe um número par das mesmas;
*Mas um polinômio de grau ímpar tem número ímpar de raíze;
*Portanto algumas raízes devem ser reais.

==Prova simples==
Uma prova do teorema é como segue:<ref name=Jeffrey />

Considere o polinômio

:<math>P(z) = a_0 + a_1z + a_2z^2 + \cdots + a_nz^n</math>

onde todos os ''a''<sub>''r''</sub> são reais. Suponha que algum número complexo ''&zeta;'' seja uma raiz de ''P'', isto é ''P''(''&zeta;'')&nbsp;=&nbsp;0. É necessário mostrar que
: <math>P(\overline{\zeta}) = 0</math>

também deve ser satisfeito.

Se ''P''(''&zeta;'')&nbsp;=&nbsp;0, então

: <math>a_0 + a_1\zeta + a_2\zeta^2 + \cdots + a_n\zeta^n = 0\,</math>

que pode ser expresso na forma

: <math>\sum_{r=0}^n a_r\zeta^r = 0.</math>

Agora
: <math>P(\overline{\zeta}) = \sum_{r=0}^n a_r\left(\overline{\zeta}\right)^r</math>

e dada a propriedade de conjugação dos complexos

: <math>\sum_{r=0}^n a_r\left(\overline{\zeta}\right)^r = \sum_{r=0}^n a_r \overline{\zeta^r} = \sum_{r=0}^n \overline{a_r\zeta^r} = \overline {\sum_{r=0}^n a_r\zeta^r}.</math>

Como
: <math>\overline {\sum_{r=0}^n a_r\zeta^r} = \overline{0}</math>

segue que

: <math>\sum_{r=0}^n a_r\left(\overline{\zeta}\right)^r = \overline{0} = 0.</math>

Isto é,

: <math>P(\overline{\zeta}) = a_0 + a_1\overline{\zeta} + a_2\left(\overline{\zeta}\right)^2 + \cdots + a_n\left(\overline{\zeta}\right)^n = 0.</math>

{{Referências}}

[[Categoria:Teoremas em análise complexa]]
[[Categoria:Polinómios]]
[[Categoria:Teoremas em álgebra]]