Teorema da raiz complexa conjugada

Em matemática, o teorema da raiz complexa conjugada estabelece que se P é um polinômio em uma variável com coeficientes reais, e a + bi é uma raiz de P com a e b números reais, então seu complexo conjugado a − bi é também uma raiz de P.

Disto segue (e do teorema fundamental da álgebra), que se o grau de um polinômio real é ímpar, o mesmo tem no mínimo uma raiz real. Isto pode ser também provado usando o teorema do valor intermediário.

Exemplos e consequências

• O polinômio x² + 1 = 0 tem raízes ±i.
• Qualquer matriz real quadrada de grau ímpar tem no mínimo um autovalor real. Por exemplo, se a matriz é ortogonal, então 1 ou −1 é um autovalor.
• O polinômio

$x^3-7x^2+41x-87$

tem raízes

$3,2+5i,2-5i,$

e pode assim ser fatorado como

$(x-3)(x-2-5i)(x-2+5i).$

Calculando o produto dos dois últimos fatores, as partes imaginárias são canceladas, resultando

$(x-3)(x^2-4x+29).$

Os fatores não-reais surgem em pares que quando multiplicados fornecem polinômios quadráticos com coeficientes reais. Como todo polinômio com coeficientes complexos pode ser fatorado em fatores de grau um (esta é uma maneira de estabelecer o teorema fundamental da álgebra), segue que todo polinômio com coeficientes reais pode ser fatorado em fatores de grau não maior que 2: justamente grau 1 e fatores quadráticos.

Corolário sobre polinômios de grau ímpar

Segue do presente teorema e do teorema fundamental da álgebra que se o grau de um polinômio real é ímpar, o mesmo tem necessariamente no mínimo uma raiz real.

Isto pode ser provado como segue.

• Desde que raízes complexas não-reais ocorrem em pares conjugados, existe um número par das mesmas;
• Mas um polinômio de grau ímpar tem número ímpar de raíze;
• Portanto algumas raízes devem ser reais.

Prova simples

Uma prova do teorema é como segue:

Considere o polinômio

$P(z)=a_0+a_{1}z+a_2{z}^2+\cdots +a_n{z}^n$

onde todos os a_r são reais. Suponha que algum número complexo ζ seja uma raiz de P, isto é P(ζ) = 0. É necessário mostrar que

$P(\bar{\zeta })=0$

também deve ser satisfeito.

Se P(ζ) = 0, então

$a_0+a_1\zeta +a_2{\zeta }^2+\cdots +a_n{\zeta }^n=0$

que pode ser expresso na forma

$\sum _{r=0}^n{a}_r{\zeta }^r=0.$

Agora

$P(\bar{\zeta })=\sum _{r=0}^n{a}_r{\left(\bar{\zeta }\right)}^r$

e dada a propriedade de conjugação dos complexos

$\sum _{r=0}^n{a}_r{\left(\bar{\zeta }\right)}^r=\sum _{r=0}^n{a}_r\overline{{\zeta }^r}=\sum _{r=0}^n\overline{a_r{\zeta }^r}=\overline{\sum _{r=0}^n{a}_r{\zeta }^r}.$

Como

$\overline{\sum _{r=0}^n{a}_r{\zeta }^r}=\bar{0}$

segue que

$\sum _{r=0}^n{a}_r{\left(\bar{\zeta }\right)}^r=\bar{0}=0.$

Isto é,

$P(\bar{\zeta })=a_0+a_1\bar{\zeta }+a_2{\left(\bar{\zeta }\right)}^2+\cdots +a_n{\left(\bar{\zeta }\right)}^n=0.$