Mostrar código-fonte de Teorema de Cantor

{{mais fontes|data=novembro de 2011}}
Na teoria dos [[espaço completo|espaços métricos completos]], o '''teorema de Cantor''', em referência ao [[matemático]] alemão [[Georg Cantor]], possui fundamental importância.<ref>{{Citar periódico |url=http://dx.doi.org/10.5860/choice.186185 |titulo=Set theory: with an introduction to real point sets |data=2015-01-21 |acessodata=2022-11-05 |jornal=Choice Reviews Online |número=06 |paginas=52–3145-52-3145 |doi=10.5860/choice.186185 |issn=0009-4978}}</ref><ref>{{Citar web|ultimo=de Araújo|primeiro=Carlos César|url=http://www.gregosetroianos.mat.br/logic_tc/Links/index_lnk_1.html|titulo=O Teorema de Cantor|data=2003-07-24|acessodata=2022-11-05|website=Gregos e Troianos}}</ref>

Sua particularização na [[números reais|reta real]] recebe o nome de '''teorema dos intervalos encaixantes'''.

== Enunciado ==
Seja <math>\left\{F_n\right\}_{n=1}^{\infty}</math> uma seqüência de [[conjunto fechado|conjuntos fechados]] [[conjunto limitado|limitados]] [[conjunto vazio|não-vazios]] encaixados, ou seja, <math>F_{n+1}\subseteq F_n</math>. Assuma, ainda, que <math>\mbox{diam}(F_n)\to 0</math>, ou seja, que o [[diâmetro]] dos conjuntos esteja convergindo para zero. O diâmetro é definido como:
:<math>\mbox{diam(F)}=\sup_{x,y\in F}d(x,y)</math>

Então a [[intersecção]] <math>\bigcap_{n=1}^{\infty}F_n</math> é não vazia. Mais ainda, esta intersecção é formada por apenas um ponto.

== Demonstração ==
Como cada <math>F_n</math> é não-vazio, podemos escolher um ponto <math>x_n</math> pertencente a ele:
:<math>x_n\in F_n</math>

Como <math>x_{n+k}\in F_{n+k}\subseteq F_n</math>, temos que toda a '''seqüência''' <math>\{x_j\}_{j=n}^{\infty}</math> está contida em <math>F_n\,</math>.

Mas <math>\{x_j\}_{j=n}^{\infty}</math> é uma [[Sucessão de Cauchy]], pois:
:<math>\mbox{d}(x_n,x_{n+k}) \leq \mbox{diam}(F_n)\to 0</math>, pois <math>x_n,x_{n+k} \in F_n</math>.

Dado que toda [[Sucessão de Cauchy]] é convergente num [[espaço métrico completo]], existe um '''ponto limite''' <math>x</math> tal que:
:<math>x_n\to x</math>
Como os conjuntos <math>F_n</math> são [[conjunto fechado|fechados]] e o limite de uma seqüência é [[invariante]] por '''cortes finitos''', temos:
:<math>x\in F_n, \forall n</math>

Assim <math>x\in \bigcap_{n=1}^{\infty}F_n</math>.

Para provar que <math>x\,</math> é, de fato, o único elemento pertencente à [[intersecção]], considere, por absurdo que existam mais de um ponto nela, ou seja:
:<math>x,y\in \bigcap_{n=1}^{\infty}F_n</math>, com <math>x\neq y\,</math>
O fato que <math>x\neq y\,</math> implica <math>d(x,y)>0\,</math>

Escolha <math>N\,</math> tal que:
:<math>\mbox{diam}(F_n)<d(x,y)\,</math>
Da definição de diâmetro e do fato que <math>x,y \in F_n</math>, deve valer:
:<math>d(x,y)\leq \mbox{diam}(F_n) < d(x,y)</math>, um absurdo.

== Aplicações ==
* É utilizado na demonstração do [[teorema da categoria de Baire]].

{{referencias}}
{{Lógica}}
{{Teoria dos conjuntos}}
{{Portal3|Matemática}}

{{DEFAULTSORT:Teorema Cantor}}
[[Categoria:Análise matemática]]
[[Categoria:Topologia (matemática)]]
[[Categoria:Georg Cantor]]