Teorema de Cantor

Predefinição:Mais fontes Na teoria dos espaços métricos completos, o teorema de Cantor, em referência ao matemático alemão Georg Cantor, possui fundamental importância.

Sua particularização na reta real recebe o nome de teorema dos intervalos encaixantes.

Enunciado

Seja ${\left\{F_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ uma seqüência de conjuntos fechados limitados não-vazios encaixados, ou seja, $F_{n+1}\subseteq F_n$. Assuma, ainda, que $\text{diam}(F_n)\to 0$, ou seja, que o diâmetro dos conjuntos esteja convergindo para zero. O diâmetro é definido como:

$\text{diam(F)}=\underset{x,y\in F}{\sup }d(x,y)$

Então a intersecção $\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{F}_n$ é não vazia. Mais ainda, esta intersecção é formada por apenas um ponto.

Demonstração

Como cada $F_n$ é não-vazio, podemos escolher um ponto $x_n$ pertencente a ele:

$x_n\in F_n$

Como $x_{n+k}\in F_{n+k}\subseteq F_n$, temos que toda a seqüência $\{x_j{\}}_{j=n}^{\mathrm{\infty }}$ está contida em $F_n$.

Mas $\{x_j{\}}_{j=n}^{\mathrm{\infty }}$ é uma Sucessão de Cauchy, pois:

$\text{d}(x_n,x_{n+k})\le \text{diam}(F_n)\to 0$, pois $x_n,x_{n+k}\in F_n$.

Dado que toda Sucessão de Cauchy é convergente num espaço métrico completo, existe um ponto limite $x$ tal que:

$x_n\to x$

Como os conjuntos $F_n$ são fechados e o limite de uma seqüência é invariante por cortes finitos, temos:

$x\in F_n,\mathrm{\forall }n$

Assim $x\in \bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{F}_n$.

Para provar que $x$ é, de fato, o único elemento pertencente à intersecção, considere, por absurdo que existam mais de um ponto nela, ou seja:

$x,y\in \bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{F}_n$, com $x\ne y$

O fato que $x\ne y$ implica $d(x,y)>0$

Escolha $N$ tal que:

$\text{diam}(F_n)<d(x,y)$

Da definição de diâmetro e do fato que $x,y\in F_n$, deve valer:

$d(x,y)\le \text{diam}(F_n)<d(x,y)$, um absurdo.

Aplicações

• É utilizado na demonstração do teorema da categoria de Baire.