Mostrar código-fonte de Teoria das distribuições

{{Ver desambig|redir=Distribuição (matemática)||Distribuição}}
{{Sem notas|Este artigo|ci|data=Abril de 2011}}
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O termo '''distribuição''' é uma generalização do termo [[função (matemática)|função]]. A teoria foi desenvolvida em meados do {{séc|XX}} por [[Laurent Schwartz]]<ref>{{Citar periódico |url=http://www.numdam.org/item/?id=AIF_1957__7__1_0 |título=Théorie des distributions à valeurs vectorielles. I |data=1957 |acessodata=2024-01-10 |periódico=Annales de l'Institut Fourier |ultimo=Schwartz |primeiro=Laurent |paginas=1–141 |lingua=fr |doi=10.5802/aif.68 |issn=1777-5310}}</ref>, que por sua genialidade recebeu a [[Medalha Fields]].

== Motivação ==
A teoria das distribuições foi desenvolvida  a fim de manipular determinadas [[Singularidade matemática|singularidades]] que surgem na [[física matemática]]. Por exemplo, a distribuição [[delta de Dirac]] é adequada para descrever conceitos da [[física teórica]], como uma massa puntual ou uma [[carga elétrica]]. De uma [[função densidade]] tridimensional de uma massa concentrada unitária é necessário que a mesma seja nula em todos os pontos, com exceção de um único ponto, no qual a função é infinita, tal que a [[integral]] volumétrica da função densidade seja unitária. Não existe função ordinária que satisfaça esta propriedade da função densidade. No entanto, sendo a integral interpretada como um [[funcional]], é possível descrever a densidade como uma distribuição delta de Dirac.

Atualmente distribuições são indispensáveis em diversos ramos da matemática, física e eletrotécnica, por exemplo na teoria das [[Equação diferencial parcial|equações diferenciais parciais]], bem como em [[Análise harmónica|análise de Fourier]].

== Definições ==
=== Definição de distribuições ===
Uma distribuição é uma [[transformação linear]] [[Função contínua|contínua]] de uma função teste nos [[Número complexo|números complexos]]. Isto significa que uma distribuição é uma transformação que associa a toda função teste um número. O conjunto das distribuições com suas correspondentes relações é portanto o [[espaço dual]] topológico do espaço das funções teste.

=== Notação ===
De acordo com a definição, uma distribuição associa a toda função teste um número
:<math> T: \phi \to T(\phi) := (T,\phi)</math>
Na última equação <math>(T,\phi)</math> é uma notação para o valor que a distribuição associa à função teste <math> \phi </math>. Diz-se: a distribuição ''T'' é aplicada sobre <math> \phi </math>.

=== Exemplos ===
*Seja <math>\Omega \subseteq \R</math> e <math> f \in C(\Omega)</math>, tal que para toda função teste <math>\phi \in C_c^\infty(\Omega)</math> a expressão <math>\int_{-\infty}^\infty f(x) \phi(x) d x</math> seja uma distribuição no espaço <math>\mathcal{D}'(\Omega)</math>.
*Seja <math>x_0 \in \Omega \subseteq \R^n</math> e <math>\alpha \in \N^n</math>. Então para todo <math>\phi \in C_c^\infty(\Omega)</math> a derivada parcial <math>(\partial_x^\alpha \phi)(x_0)</math> é também um distribuição em <math>\mathcal{D}'(\Omega)</math>.
*o [[valor principal de Cauchy]] da função <math>\frac{1}{x}</math> pode ser interpretado como a distribuição <math>T</math>
:<math>\forall \phi \in C_c^\infty: \ T(\phi) := PV-\int_{-\infty}^\infty \frac{\phi(x)}{x} d x</math>.

== Funções teste ==
Dentre os diversos espaços de funções teste serão descritos aqui três deles.

Seja
:<math> C_c^{\infty}(\Omega) = \{ \phi \in C^{\infty}(\Omega,\mathbb{C}) \,|\, \operatorname{supp}\,\phi \mathrm{~um~subconjunto~compacto~de~} \Omega \} </math>
o conjunto das funções infinitamente diferenciáveis com [[suporte compacto]], ou seja, que fora de um domínio compacto são nulas.

=== Funções teste para distribuições gerais ===
Para o primeiro espaço de funções teste, denotado por <math> {\mathcal D}(\Omega) </math>, é necessário um critério de convergência. Uma seqüência
<math> (\phi_j)_{j\in \mathbb{N}} </math>
com
<math>\phi_j \in C_c^\infty(\Omega)</math>
converge ao valor <math>\phi</math>, quando existe um conjunto compacto
<math>K \subset \Omega</math>
com
<math>\operatorname{supp}(\phi_j) \subset K </math>
para todo <math>j</math> e
:<math>
\lim_{j \rightarrow \infty} \sup_{x\in K}
\left|
\frac{\partial^\alpha}{\partial x^\alpha}
\left( \phi_j (x) - \phi(x) \right)
\right| = 0
</math>
para todo multi-índice <math>\alpha \in \N^n</math>. O espaço <math>C_c^\infty(\Omega)</math> juntamente com este critério de convergência fornece um [[espaço convexo local]], denotado por <math> {\mathcal D}(\Omega) </math>.

=== Funções teste para distribuições com suporte compacto ===
Um outro espaço de funções teste é o espaço das [[Função suave|funções suaves]] <math>C^\infty(\Omega)</math>. Este espaço, juntamente com a seguinte família de semi-normas e a [[Topologia (matemática)|topologia]] induzida é denotado por <math>\mathcal{E}(\Omega)</math>. A família de semi-normas é expressa por
:<math> \phi \mapsto \sum_{|\alpha|\leq m} \sup_{x\in K} \left| \frac{\partial^\alpha}{\partial x^\alpha} \phi(x) \right|.</math>
Esta norma induz uma topologia convexa local

== Referências ==
<references />

==Bibliografia==
*[[Israel Gelfand]]: ''Verallgemeinerte Funktionen (Distributionen)''. Bände I - III (1958 mit G.E. Schilow), IV (1960 mit N.J. Wilenkin), V (1962 mit M.I. Graev und N.J. Wilenkin), VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin (Ost).
*[[Michael James Lighthill]]: ''An introduction to Fourier analysis and generalised functions'', [[Cambridge University Press]], Cambridge 2003, ISBN 0-521-09128-4.
*Joseph Wloka: ''Grundräume und Verallgemeinerte Funktionen'', Lecture Notes in Mathematics '''82''', Springer-Verlag 1968, ISBN 3-540-04250-4.
*{{Citar livro|título=Topics in functional analysis and applications|ultimo=Kesavan|primeiro=Srinivasan|data=1989|editora=Wiley Eastern|edicao=1. publ|local=New Delhi u.a}}

{{Controle de autoridade}}

{{DEFAULTSORT:Teoria Distribuicoes}}
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