Mostrar código-fonte de Teste da razão

{{Sem fontes|data=agosto de 2021}}
Em [[Matemática]], o '''teste da razão''' ou '''critério d'Alembert''' é um teste para saber a convergência ou não de uma [[Série (matemática)|série]].

Seja <math>\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}</math> uma [[série (matemática)|série]] de termos positivos.

Fazendo-se <math>\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=L</math>

Se

* <math> L<1 \!</math>, a série é absolutamente convergente (portanto convergente);
* <math> L>1 \!</math> ou <math> L = \infty\!</math> ou  <math>\! L = 1^+ \!</math>, a série é divergente;
* <math> L=1^- \!</math>, o teste é inconclusivo.

== Exemplo ==
Seja:
<math>a_n=\frac{n+1}{n!}</math>

Classificar <math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n</math>

a) <math>a_n=\frac{n+1}{n!} > 0</math>

b) <math>\frac{n+1}{n!}</math> tende para zero quando <math>n</math> tende para infinito, pois  <math>n!</math> cresce muito mais rapidamente que <math>n</math>.

c) Aplicando o critério de d'Alembert:

<math>L=\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty}\frac{\frac{n+2}{(n+1)!}}{\frac{n+1}{n!}} = \lim_{n \to \infty}\frac{n+2}{(n+1)!}\frac{n!}{(n+1)}=\lim_{n \to \infty}\frac{(n+2)}{(n+1)^2}=</math>
<math>=\lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)+1}{(n+1)^2}

= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)^2}\right)=0</math>

e como <math>L<1</math>, a série <math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n</math> converge.

{{DEFAULTSORT:Teste Razao}}
[[Categoria:Testes de convergência]]
[[Categoria:Jean le Rond d’Alembert]]

[[it:Criteri di convergenza#Criterio del rapporto (o di d'Alembert)]]