Mostrar código-fonte de Topos

Na [[matemática]], '''topos elementares''' (ou brevemente '''topos''') podem ser analisados à base de diversas perspectivas. Do ponto de vista da [[teoria das categorias]], um topos é uma [[categoria (teoria das categorias)|categoria]] com limites finitos e "objetos de potência". Do ponto de vista da [[geometria algébrica]], topos assemelham-se a categorias de [[teoria dos feixes|feixes]], e, sendo "espaços generalizados", admitem conceitos de "pontos" e "morfismos geométricos". Do ponto de vista da [[lógica matemática]], topos são universos da [[lógica intuicionista]] de ordem superior, satisfazendo possíveis axiomas adicionais. Do ponto de vista da [[álgebra universal]], existem "topos classificadores", para teorias como a dos anéis.<ref name="maclaneProl">{{harv|Mac Lane|Moerdijk|1992|loc=§Prólogo}}</ref><ref name="nlabTopos">{{citar web |url=https://ncatlab.org/nlab/show/topos |titulo=topos – ''n''Lab |acessodata=12 de fevereiro de 2021}}</ref>

O conceito de topos elementar surgiu a partir de uma generalização de [[topos de Grothendieck]], como parte da pesquisa por [[William Lawvere]] e [[Myles Tierney]] em busca de uma fundação natural para matemática baseada em categorias.<ref name="tttNotasLawv">{{harv|Barr|Wells|2005|loc=§2.Notas}}</ref><ref name=Illusie2004>{{citar periódico|último =Illusie|primeiro =Luc|autorlink =Luc Illusie|título=What is...A Topos?|periódico=Notices of the AMS|ano=2004|volume=51|número=9|páginas=160–161|url=http://www.ams.org/notices/200409/what-is-illusie.pdf|acessodata=31 de maio de 2013}}</ref>

==Definição==
Antes de estudar topos, é necessário conhecimento em [[teoria das categorias]].

===Classificador de subobjetos===
O classificador de subobjetos é uma generalização do conceito de função característica de subconjunto.

Seja {{math|'''''E'''''}} uma categoria com [[produto fibrado|produtos fibrados]]. Define-se functor de subobjetos {{math|Sub : '''''E'''''<sup>op</sup> → '''Conj'''}} por:
:{{math|Sub ''E''}} é a coleção dos [[subobjeto]]s de {{math|''E''}},
:{{math|Sub (''f'' : ''F'' → ''E'')}} leva um subobjeto {{math|''m'' : ''A'' → ''E''}} ao subobjeto {{math|''f''<sup>*</sup> ''m'' : ''B'' → ''F''}}, onde
<math display="block">
\begin{matrix}
&B              & \to               & A \\
f^*m&\downarrow &                   & \downarrow&m \\
&F              & \underset{f}{\to} & E
\end{matrix}
</math>
é diagrama de produto fibrado.<ref name="tttSub">{{harv|Barr|Wells|2005|loc=§1.6}}</ref><ref name="maclaneSub">{{harv|Mac Lane|Moerdijk|1992|loc=§I.3}}</ref>

Um '''classificador de subobjetos''' para {{math|'''''E'''''}} é um morfismo {{math|vero : 1 → Ω}} (onde {{math|1}} é o objeto terminal), tal que para cada monomorfismo {{math|''m'' : ''A'' → ''E''}}, existe único morfismo {{math|car ''m'' : ''E'' → Ω}}, chamado '''morfismo característico''', tal que
<math display="block">
\begin{matrix}
&A           & \overset{()}{\to} & 1 \\
m&\downarrow &                   & \downarrow&\mathrm{vero} \\
&E            & \underset{\mathrm{car }m}{\to} & \Omega
\end{matrix}
</math>
é diagrama de produto fibrado. (Noutras palavras, para cada morfismo {{math|''x'' : ''X'' → ''E''}}, vale que {{math|car ''m'' ∘ ''x'' {{=}} vero ∘ ()}} se e só se existe {{math|''x''&prime; : ''X'' → ''A''}} tal que {{math|''x'' {{=}} ''m'' ∘ ''x''&prime;}}.)

Uma categoria {{math|'''''E'''''}} com produtos fibrados admite classificador de subobjetos se e só se existe isomorfismo natural
:{{math|Sub(–) ≅ hom<sub>'''''E'''''</sub>(–, Ω)}}.<ref name="maclaneSub"/><ref name="streTopos">{{harv|Streicher|2004|loc=§12}}</ref>

===Topos elementar===
Um '''topos elementar''' (ou brevemente topos) é uma categoria {{math|'''''E'''''}} que
* é finitamente completa,
* admite objetos exponenciais,
* e admite classificador de subobjetos.<ref name="streTopos"/><ref name="maclaneTopos">{{harv|Mac Lane|Moerdijk|1992|loc=§IV.1}}</ref>

Pode-se mostrar que, se {{math|'''''E'''''}} é finitamente completa, e admite '''objetos de potência''', isto é, existe functor {{math|'''P''' : '''''E'''''<sup>op</sup> → '''''E'''''}} tal que há isomorfismo natural
:{{math|hom<sub>'''''E'''''</sub>(''A'', '''P''' ''B'') ≅ Sub(''A'' × ''B'')}}
em {{math|''A'', ''B''}}, então {{math|'''''E'''''}} é um topos (isto é, também admite exponenciais); com efeito, assim como funções em teoria dos conjuntos são definidas como certas relações, o exponencial {{math|''B''<sup>''A''</sup>}} pode ser definido com um certo subobjeto de {{math|'''P'''(''A'' × ''B'')}}. Num topos, {{math|'''P'''(''A'') :{{=}} Ω<sup>''A''</sup>}} define os objetos de potência.<ref name="maclanePot">{{harv|Mac Lane|Moerdijk|1992|loc=§IV.2}}</ref><ref name="tttPot">{{harv|Barr|Wells|2005|loc=§5.4}}</ref>

===Exemplos===
* A categoria dos conjuntos pequenos {{math|'''Conj'''}} é um topos elementar. Mais geralmente, todo [[topos de Grothendieck]] é topos elementar.
* O produto de dois topos é um topos.<ref name="maclaneProdTopos">{{harv|Mac Lane|Moerdijk|1992|loc=exercício V.8}}</ref>
* A categoria dos conjuntos finitos é um topos elementar que não é topos de Grothendieck.<ref name="maclaneTopos"/>
* O topos efetivo, essencialmente consistindo de "funções computáveis", é um topos elementar que não é topos de Grothendieck.<ref name="nlabEfe">{{citar web |url=https://ncatlab.org/nlab/show/effective+topos |titulo=effective topos – ''n''Lab |acessodata=12 de fevereiro de 2021}}</ref>

==Propriedades==
Topos gerais satisfazem várias propriedades similares a um "universo construtivo de conjuntos".

Para cada objeto {{math|''A''}} de um topos {{math|'''''E'''''}}, existe monomorfismo {{math|(id, id) : ''A'' → ''A'' × ''A''}}, admitindo logo morfismo característico
:{{math|[{{=}}] :{{=}} car (id, id) : ''A'' × ''A'' → Ω}},
que é um análogo à relação de igualdade, no aspecto de que, dados morfismos {{math|''x'', ''y'' : ''X'' → ''A''}}, vale que
:{{math|[{{=}}] ∘ (''x'', ''y'') {{=}} vero ∘ ()}} se e só se {{math|''x'' {{=}} ''y''}}.
Adjunção exponencial leva a morfismo
:{{math|[{{(}}{{)}}] : ''A'' → Ω<sup>''A''</sup>}}
análogo à formação de subconjuntos unitários, no aspecto de que
:{{math|ap ∘ ([{{(}}{{)}}] ∘ ''x'', ''y'') {{=}} vero ∘ ()}} se e só se {{math|''x'' {{=}} ''y''}}, para quaisquer {{math|''x'', ''y'' : ''X'' → ''A''}}.<ref name="streLogica">{{harv|Streicher|2004|loc=§13}}</ref><ref name="maclaneTopos"/>

Também, é possível definir {{math|[∧] : Ω × Ω → Ω}} como o morfismo característico do monomorfismo {{math|(vero, vero) : 1 → Ω × Ω}}; assim, {{math|[∧]}} é análogo à operação de conjunção em valores lógicos.<ref name="streLogica"/>

Dado monomorfismo {{math|''m'' : ''A'' → ''B''}}, existe transformação natural
:{{math|Sub(– × ''A'') → Sub(– × ''B'')}}
dada por composição com {{math|id × ''m''}}, que induz transformação natural
:{{math|hom(–, Ω<sup>''A''</sup>) → hom(–, Ω<sup>''B''</sup>)}}
e consequentemente morfismo {{math|∃<sub>''m''</sub> : Ω<sup>''A''</sup> → Ω<sup>''B''</sup>}}, com propriedades similares à operação de imagem de subconjuntos.<ref name="tttExMono">{{harv|Barr|Wells|2005|loc=§2.2}}</ref>

A '''condição de Beck–Chevalley interna''' diz que, dados monomorfismos {{math|''k'' : ''B''&prime; → ''B''}} e {{math|''m'' : ''C''&prime; → ''C''}}, de modo que
<math display="block">
\begin{matrix}
&C' & \overset{g'}{\to} & B' \\
m&\downarrow &          & \downarrow&k \\
&C  & \underset{g}{\to} & B
\end{matrix}
</math>
é diagrama de [[produto fibrado]], então o diagrama
<math display="block">
\begin{matrix}
&\Omega^{B'} & \overset{\Omega^{g'}}{\to} & \Omega^{C'} \\
\exists_k &\downarrow &                   & \downarrow&\exists_m \\
&\Omega^{B} & \underset{\Omega^{g}}{\to}  & \Omega^{C}
\end{matrix}
</math>
é comutativo, isto é,
:{{math|Ω<sup>''g''</sup> ∘ ∃<sub>''k''</sub> {{=}} ∃<sub>''m''</sub> ∘ Ω<sup>''g''&prime;</sup>}}.<ref name="tttExMono"/>

===Teorema de Paré===
Dado topos {{math|'''''E'''''}}, o [[mónade (teoria das categorias)#Teorema de monadicidade|teorema de monadicidade de Beck]] implica que o functor {{math|'''P''' {{=}} Ω<sup>(–)</sup> : '''''E'''''<sup>op</sup> → '''''E'''''}} é monádico. Em particular, topos também admitem todos os colimites finitos.<ref name="maclanePare">{{harv|Mac Lane|Moerdijk|1992|loc=§IV.5}}</ref><ref name="tttPare">{{harv|Barr|Wells|2005|loc=§5.1}}</ref>

Com isso é possível fatorar setas em topos, similarmente à fatoração de uma função como uma função sobrejetiva seguida de função injetiva (inclusão da imagem no contradomínio). Para seta {{math|''f'' : ''A'' → ''B''}}, seja {{math|''x'' : ''B'' → ''B''&prime;}} com {{math|''y'' : ''B'' → ''B''&prime;}} o [[soma amalgamada|pushout]] de {{math|''f''}} com {{math|''f''}}, que é colimite finito; seja {{math|''m'' : ''M'' → ''B''}} equalizador de {{math|''x''}} com {{math|''y''}}. Então, {{math|''f'' {{=}} ''m'' ∘ ''e''}} para único morfismo {{math|''e'' : ''A'' → ''M''}}, com {{math|''e''}} sendo epimorfismo; ainda mais, {{math|''m''}} é a '''imagem''' de {{math|''f''}}, isto é, o menor subobjeto de {{math|''B''}} pelo qual {{math|''f''}} se fatora.<ref name="maclaneFat">{{harv|Mac Lane|Moerdijk|1992|loc=§IV.6}}</ref>

Como aplicação, existem uniões (supremos) de subobjetos. Com efeito, dados monomorfismos {{math|''m'' : ''M'' → ''A''}} e {{math|''n'' : ''N'' → ''A''}}, o morfismo {{math|⟨''m'', ''n''⟩ : ''M'' + ''N'' → ''A''}} admite alguma imagem {{math|''p'' : ''P'' → ''A''}}. Vale que {{math|''p''}} é o supremo de {{math|''m''}} e {{math|''n''}} na ordem de subobjetos de {{math|''A''}}. Esta definição induz morfismo
:{{math|[∨] : Ω × Ω → Ω}}
análogo à operação de disjunção em valores lógicos.<ref name="maclaneFat"/>

===Topos de morfismos===
Dado topos {{math|'''''E'''''}}, e objeto {{math|''X''}} seu, denote por {{math|'''''E'''''/''X''}} a categoria de setas em {{math|'''''E'''''}} de contradomínio {{math|''A''}}. (Noutras palavras, é a [[categoria vírgula]] {{math|id<sub>'''''E'''''</sub> ↓ (• ↦ ''X'')}}.)

Então, {{math|'''''E'''''/''X''}} é um topos.<ref name="maclaneFatia">{{harv|Mac Lane|Moerdijk|1992|loc=§IV.7}}</ref> Para cada {{math|''f'' : ''Y'' → ''X''}} em {{math|'''''E'''''/''X''}}, objeto de potência {{math|'''P''' ''f'' : ''D'' → ''X''}} pode ser construído como o pullback
<math display="block">
\begin{matrix}
D          & \longrightarrow & X \\
\downarrow &      & \downarrow& [\{\}] \\
X\times \mathbf{P}Y & \underset{[\{\}]\times\exists_f}{\to} \mathbf{P}X\times \mathbf{P}X \underset{\vee}{\to} & \mathbf{P}X
\end{matrix}
</math>
onde {{math|∨ : '''P''' ''X'' × '''P''' ''X'' → '''P''' ''X''}} é induzido pela união de subobjetos, e onde {{math|∃<sub>''f''</sub>}} (sendo que {{math|''f''}} não precisa ser monomorfismo) é análogo à operação de imagem de subconjuntos. (Para melhor entendimento, é útil tratar objetos de {{math|'''''E'''''/''X''}} como "famílias {{math|''X''}}-indexadas de objetos de {{math|'''''E'''''}}".)<ref name="maclaneFatiaPot">{{harv|Mac Lane|Moerdijk|1992|loc=exercício IV.7}}</ref>

Em particular, cada {{math|'''''E'''''/''X''}} é cartesiana fechada, logo {{math|'''''E'''''}} é [[objeto exponencial#Categoria localmente cartesiana fechada|localmente cartesiana fechada]]. Isto implica, para cada {{math|''k'' : ''Y'' → ''X''}}, a existência de adjunções
:{{math|Σ<sub>''k''</sub> ⊣ ''k''<sup>*</sup> ⊣ Π<sub>''k''</sub>}}
onde {{math|''k''<sup>*</sup> : '''''E'''''/''X'' → '''''E'''''/''Y''}} é functor de pullback por {{math|''k'' : ''Y'' → ''X''}}. Por sua vez, isto implica que pullbacks num topos preservam epimorfismos e se distribuem em coprodutos, por exemplo.<ref name="maclaneFatia"/>

==Linguagem de Mitchell–Bénabou==
{{Artigo principal|Linguagem de Mitchell–Bénabou}}
A linguagem de Mitchell–Bénabou é uma linguagem formal que permite facilitar a demonstração de propriedades de topos. Com ela é possível tratar os objetos e morfismos de um topos como se fossem conjuntos e funções num universo satisfazendo as regras da lógica intuicionista de ordem superior.

Como um exemplo básico, dados morfismos {{math|''f'' : ''A'' → ''C''}} e {{math|''g'' : ''B'' → ''C''}} num topos {{math|'''''E'''''}}, a fórmula
:{{math|''x'' : ''A'', ''y'' : ''B'' ⊢ (''f'' ''x'' {{=}} ''g'' ''y'') : Ω}}
é interpretada como um morfismo {{math|''A'' × ''B'' → Ω}}, que é precisamente o morfismo característico da inclusão do produto fibrado {{math|''A'' ×<sub>''C''</sub> ''B'' → ''A'' × ''B''}}.<ref name=streLingPull>{{harv|Streicher|2004|loc=§13}}</ref>

==Modalidade de Lawvere–Tierney==
Uma '''modalidade''' (ou '''topologia''') de Lawvere–Tierney num topos {{math|'''''E'''''}} é um morfismo {{math|''j'' : Ω → Ω}} em {{math|'''''E'''''}} tal que {{math|''j'' ∘ vero {{=}} vero}}, {{math|''j'' ∘ ''j'' {{=}} ''j''}} e {{math|''j'' ∘ [∧] {{=}} [∧] ∘ (''j'' × ''j'')}}.<ref name=maclaneLawTie>{{harv|Mac Lane|Moerdijk|1992|loc=§V.1}}</ref>

Num topos de pré-feixes {{math|'''Conj'''<sup>'''''C'''''<sup>op</sup></sup>}}, as modalidades de Lawvere–Tierney estão em correspondência biunívoca com as [[topos de Grothendieck|topologias de Grothendieck]]. Com efeito, uma topologia de Grothendieck {{math|''J''}} pode ser levada a {{math|''j'' : Ω → Ω}} tal que {{math|''j''<sub>''C''</sub>(''S'')}} é o {{math|''J''}}-fecho de {{math|''S''}}, isto é, a família das setas {{math|''g'' : ''D'' → ''C''}} tais que {{math|''g''<sup>*</sup> ''S'' ∈ ''J''(''D'')}}; por outro lado, uma modalidade {{math|''j'' : Ω → Ω}} pode ser levada a {{math|''J''}} tal que {{math|''J''(''C'')}} consiste precisamente das peneiras {{math|''S''}} (isto é, membros de {{math|Ω(''C'')}}) tais que {{math|''j''<sub>''C''</sub>(''S'')}} é a peneira máxima. Esta equivalência sugere as definições abaixo.<ref name=maclaneLawTieGroth>{{harv|Mac Lane|Moerdijk|1992|loc=§V.4}}</ref>

Cada subobjeto {{math|''A'' → ''E''}} admite fecho {{math|''A''<sup>−</sup> → ''E''}}, dado por ser subobjeto caracterizado por {{math|''j'' ∘ ''χ''}}, onde {{math|''χ'' : ''E'' → Ω}} é morfismo característico de {{math|''A'' → ''E''}}. Esta operação de fecho tem as propriedades {{math|''A'' ⊆ ''A''<sup>−</sup>}}, {{math|(''A''<sup>−</sup>)<sup>−</sup> {{=}} ''A''<sup>−</sup>}} e {{math|(''A'' ∩ ''B'')<sup>−</sup> {{=}} ''A''<sup>−</sup> ∩ ''B''<sup>−</sup>}}. Um monomorfismo {{math|''A'' → ''E''}} é dito ser ''denso'' quando o fecho {{math|''A''<sup>−</sup>}} é o maior subobjeto de {{math|''E''}}.

Um objeto {{math|''G'' ∈ '''''E'''''}} é dito ser ''separado'' (respectivamente, ''feixe'') para a modalidade {{math|''j''}} quando, para cada monomorfismo denso {{math|''m'' : ''A'' → ''E''}}, composição com {{math|''m''}} induz função
:{{math|hom(''E'', ''F'') → hom(''A'', ''F'')}}
que é uma injeção (respectivamente bijeção). Denota-se por {{math|Fx<sub>''j''</sub> '''''E'''''}} a subcategoria plena de {{math|'''''E'''''}} consistindo dos feixes.<ref name=maclaneLawTieFeixe>{{harv|Mac Lane|Moerdijk|1992|loc=§V.2}}</ref>

Como no caso de topos de Grothendieck, {{math|Fx<sub>''j''</sub> '''''E'''''}} é fechada em limites finitos, e também exponenciações {{math|(_)<sup>''E''</sup>}}, para {{math|''E'' ∈ '''''E'''''}} qualquer. Também, {{math|Fx<sub>''j''</sub> '''''E'''''}} é um topos, cujo classificador de subobjetos é {{math|''r'' ∘ vero : 1 → Ω<sub>''j''</sub>}}, onde {{math|Ω → Ω<sub>''j''</sub> → Ω}} é a fatoração de {{math|''j''}} em epimorfismo seguido de monomorfismo.

Também, é possível provar a existência de feixificação {{math|'''a''' : '''''E''''' → Fx<sub>''j''</sub> '''''E'''''}} (o adjunto esquerdo da inclusão {{math|Fx<sub>''j''</sub> '''''E''''' → '''''E'''''}}). Para cada objeto {{math|''E'' ∈ '''''E'''''}}, a fórmula
:{{math|''f'' : ''E'' → Ω<sub>''j''</sub> ⊢ ''j'' (∃ (''e'' : ''E''), ∀ (''x'' : ''E''), ''f'' ''x'' {{=}} ''r'' (''x'' {{=}} ''e''))}}
na linguagem de Mitchell–Bénabou é interpretada como um morfismo {{math|''χ'' : (Ω<sub>''j''</sub>)<sup>''E''</sup> → Ω}}, classificando subobjeto {{math|''F'' → (Ω<sub>''j''</sub>)<sup>''E''</sup>}}; assim, {{math|''F''}} é feixificação de {{math|''E''}}.
(A aplicação de {{math|''j''}} a valores lógicos indica sua relação com a [[lógica modal]].)<ref name=maclaneLawTieFeixif>{{harv|Mac Lane|Moerdijk|1992|loc=§V.3}}</ref>

Um exemplo de modalidade é a dupla negação {{math|''j'' {{=}} [¬] ∘ [¬]}}, também chamada de modalidade densa. Neste caso, {{math|Fx<sub>¬¬</sub> '''''E'''''}} é sempre um topos satisfazendo a lógica clássica. (Compare com a [[tradução da dupla negação]].)<ref name=maclaneDuplaNeg>{{harv|Mac Lane|Moerdijk|1992|loc=§VI.1}}</ref><ref name=goldblattModal>{{citar periódico |último=Goldblatt |primeiro=Robert |data=2003 |título=Mathematical modal logic: A view of its evolution |periódico=Journal of Applied Logic |volume=1 |doi=10.1016/S1570-8683(03)00008-9}}</ref>

{{Referências}}
==Bibliografia==
* {{citation |ultimo1=Mac Lane |primeiro1=Saunders |ultimo2=Moerdijk |primeiro2=Ieke |data=1992 |titulo=Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory |edicao=1 |editora=Springer |series=Universitext |isbn=978-0-387-97710-2}}
* {{citation |ultimo1=Barr |primeiro1=Michael |ultimo2=Wells |primeiro2=Charles |data=2005 |titulo=Toposes, Triples and Theories |url=http://tac.mta.ca/tac/reprints/articles/12/tr12abs.html |journal=Reprints in Theory and Applications of Categories}}
* {{citation |ultimo=Streicher |primeiro=Thomas |titulo=Introduction to Category Theory and Categorical Logic |data=2004 |url=https://www2.mathematik.tu-darmstadt.de/~streicher/CTCL.pdf |acessodata=12 de fevereiro de 2021}}

{{esboço-matemática}}
{{Teoria das categorias}}

[[Categoria:Teoria das categorias]]