Topos

Na matemática, topos elementares (ou brevemente topos) podem ser analisados à base de diversas perspectivas. Do ponto de vista da teoria das categorias, um topos é uma categoria com limites finitos e "objetos de potência". Do ponto de vista da geometria algébrica, topos assemelham-se a categorias de feixes, e, sendo "espaços generalizados", admitem conceitos de "pontos" e "morfismos geométricos". Do ponto de vista da lógica matemática, topos são universos da lógica intuicionista de ordem superior, satisfazendo possíveis axiomas adicionais. Do ponto de vista da álgebra universal, existem "topos classificadores", para teorias como a dos anéis.

O conceito de topos elementar surgiu a partir de uma generalização de topos de Grothendieck, como parte da pesquisa por William Lawvere e Myles Tierney em busca de uma fundação natural para matemática baseada em categorias.

Definição

Antes de estudar topos, é necessário conhecimento em teoria das categorias.

Classificador de subobjetos

O classificador de subobjetos é uma generalização do conceito de função característica de subconjunto.

Seja Predefinição:Math uma categoria com produtos fibrados. Define-se functor de subobjetos Predefinição:Math por:

Predefinição:Math é a coleção dos subobjetos de Predefinição:Math,

Predefinição:Math leva um subobjeto Predefinição:Math ao subobjeto Predefinição:Math, onde

$$\begin{array}{cccc}& B& \to & A\\ f^{*}m& \downarrow & & \downarrow & m\\ & F& \underset{f}{\to }& E\end{array}$$ é diagrama de produto fibrado.

Um classificador de subobjetos para Predefinição:Math é um morfismo Predefinição:Math (onde Predefinição:Math é o objeto terminal), tal que para cada monomorfismo Predefinição:Math, existe único morfismo Predefinição:Math, chamado morfismo característico, tal que $$\begin{array}{cccc}& A& \stackrel{()}{\to }& 1\\ m& \downarrow & & \downarrow & \mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{o}\\ & E& \underset{\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}m}{\to }& \mathrm{\Omega }\end{array}$$ é diagrama de produto fibrado. (Noutras palavras, para cada morfismo Predefinição:Math, vale que Predefinição:Math se e só se existe Predefinição:Math tal que Predefinição:Math.)

Uma categoria Predefinição:Math com produtos fibrados admite classificador de subobjetos se e só se existe isomorfismo natural

Predefinição:Math.

Topos elementar

Um topos elementar (ou brevemente topos) é uma categoria Predefinição:Math que

• é finitamente completa,
• admite objetos exponenciais,
• e admite classificador de subobjetos.

Pode-se mostrar que, se Predefinição:Math é finitamente completa, e admite objetos de potência, isto é, existe functor Predefinição:Math tal que há isomorfismo natural

Predefinição:Math

em Predefinição:Math, então Predefinição:Math é um topos (isto é, também admite exponenciais); com efeito, assim como funções em teoria dos conjuntos são definidas como certas relações, o exponencial Predefinição:Math pode ser definido com um certo subobjeto de Predefinição:Math. Num topos, Predefinição:Math define os objetos de potência.

Exemplos

• A categoria dos conjuntos pequenos Predefinição:Math é um topos elementar. Mais geralmente, todo topos de Grothendieck é topos elementar.
• O produto de dois topos é um topos.
• A categoria dos conjuntos finitos é um topos elementar que não é topos de Grothendieck.
• O topos efetivo, essencialmente consistindo de "funções computáveis", é um topos elementar que não é topos de Grothendieck.

Propriedades

Topos gerais satisfazem várias propriedades similares a um "universo construtivo de conjuntos".

Para cada objeto Predefinição:Math de um topos Predefinição:Math, existe monomorfismo Predefinição:Math, admitindo logo morfismo característico

Predefinição:Math,

que é um análogo à relação de igualdade, no aspecto de que, dados morfismos Predefinição:Math, vale que

Predefinição:Math se e só se Predefinição:Math.

Adjunção exponencial leva a morfismo

Predefinição:Math

análogo à formação de subconjuntos unitários, no aspecto de que

Predefinição:Math se e só se Predefinição:Math, para quaisquer Predefinição:Math.

Também, é possível definir Predefinição:Math como o morfismo característico do monomorfismo Predefinição:Math; assim, Predefinição:Math é análogo à operação de conjunção em valores lógicos.

Dado monomorfismo Predefinição:Math, existe transformação natural

Predefinição:Math

dada por composição com Predefinição:Math, que induz transformação natural

Predefinição:Math

e consequentemente morfismo Predefinição:Math, com propriedades similares à operação de imagem de subconjuntos.

A condição de Beck–Chevalley interna diz que, dados monomorfismos Predefinição:Math e Predefinição:Math, de modo que $$\begin{array}{cccc}& C^{\prime }& \stackrel{g^{\prime }}{\to }& B^{\prime }\\ m& \downarrow & & \downarrow & k\\ & C& \underset{g}{\to }& B\end{array}$$ é diagrama de produto fibrado, então o diagrama $$\begin{array}{cccc}& {\mathrm{\Omega }}^{B^{\prime }}& \stackrel{{\mathrm{\Omega }}^{g^{\prime }}}{\to }& {\mathrm{\Omega }}^{C^{\prime }}\\ {\mathrm{\exists }}_k& \downarrow & & \downarrow & {\mathrm{\exists }}_m\\ & {\mathrm{\Omega }}^B& \underset{{\mathrm{\Omega }}^g}{\to }& {\mathrm{\Omega }}^C\end{array}$$ é comutativo, isto é,

Predefinição:Math.

Teorema de Paré

Dado topos Predefinição:Math, o teorema de monadicidade de Beck implica que o functor Predefinição:Math é monádico. Em particular, topos também admitem todos os colimites finitos.

Com isso é possível fatorar setas em topos, similarmente à fatoração de uma função como uma função sobrejetiva seguida de função injetiva (inclusão da imagem no contradomínio). Para seta Predefinição:Math, seja Predefinição:Math com Predefinição:Math o pushout de Predefinição:Math com Predefinição:Math, que é colimite finito; seja Predefinição:Math equalizador de Predefinição:Math com Predefinição:Math. Então, Predefinição:Math para único morfismo Predefinição:Math, com Predefinição:Math sendo epimorfismo; ainda mais, Predefinição:Math é a imagem de Predefinição:Math, isto é, o menor subobjeto de Predefinição:Math pelo qual Predefinição:Math se fatora.

Como aplicação, existem uniões (supremos) de subobjetos. Com efeito, dados monomorfismos Predefinição:Math e Predefinição:Math, o morfismo Predefinição:Math admite alguma imagem Predefinição:Math. Vale que Predefinição:Math é o supremo de Predefinição:Math e Predefinição:Math na ordem de subobjetos de Predefinição:Math. Esta definição induz morfismo

Predefinição:Math

análogo à operação de disjunção em valores lógicos.

Topos de morfismos

Dado topos Predefinição:Math, e objeto Predefinição:Math seu, denote por Predefinição:Math a categoria de setas em Predefinição:Math de contradomínio Predefinição:Math. (Noutras palavras, é a categoria vírgula Predefinição:Math.)

Então, Predefinição:Math é um topos. Para cada Predefinição:Math em Predefinição:Math, objeto de potência Predefinição:Math pode ser construído como o pullback $$\begin{array}{ccc}D& ⟶& X\\ \downarrow & & \downarrow & [\{\}]\\ X\times 𝐏Y& \underset{[\{\}]\times {\mathrm{\exists }}_f}{\to }𝐏X\times 𝐏X\underset{\vee }{\to }& 𝐏X\end{array}$$ onde Predefinição:Math é induzido pela união de subobjetos, e onde Predefinição:Math (sendo que Predefinição:Math não precisa ser monomorfismo) é análogo à operação de imagem de subconjuntos. (Para melhor entendimento, é útil tratar objetos de Predefinição:Math como "famílias Predefinição:Math-indexadas de objetos de Predefinição:Math".)

Em particular, cada Predefinição:Math é cartesiana fechada, logo Predefinição:Math é localmente cartesiana fechada. Isto implica, para cada Predefinição:Math, a existência de adjunções

Predefinição:Math

onde Predefinição:Math é functor de pullback por Predefinição:Math. Por sua vez, isto implica que pullbacks num topos preservam epimorfismos e se distribuem em coprodutos, por exemplo.

Linguagem de Mitchell–Bénabou

Predefinição:Artigo principal A linguagem de Mitchell–Bénabou é uma linguagem formal que permite facilitar a demonstração de propriedades de topos. Com ela é possível tratar os objetos e morfismos de um topos como se fossem conjuntos e funções num universo satisfazendo as regras da lógica intuicionista de ordem superior.

Como um exemplo básico, dados morfismos Predefinição:Math e Predefinição:Math num topos Predefinição:Math, a fórmula

Predefinição:Math

é interpretada como um morfismo Predefinição:Math, que é precisamente o morfismo característico da inclusão do produto fibrado Predefinição:Math.

Modalidade de Lawvere–Tierney

Uma modalidade (ou topologia) de Lawvere–Tierney num topos Predefinição:Math é um morfismo Predefinição:Math em Predefinição:Math tal que Predefinição:Math, Predefinição:Math e Predefinição:Math.

Num topos de pré-feixes Predefinição:Math, as modalidades de Lawvere–Tierney estão em correspondência biunívoca com as topologias de Grothendieck. Com efeito, uma topologia de Grothendieck Predefinição:Math pode ser levada a Predefinição:Math tal que Predefinição:Math é o Predefinição:Math-fecho de Predefinição:Math, isto é, a família das setas Predefinição:Math tais que Predefinição:Math; por outro lado, uma modalidade Predefinição:Math pode ser levada a Predefinição:Math tal que Predefinição:Math consiste precisamente das peneiras Predefinição:Math (isto é, membros de Predefinição:Math) tais que Predefinição:Math é a peneira máxima. Esta equivalência sugere as definições abaixo.

Cada subobjeto Predefinição:Math admite fecho Predefinição:Math, dado por ser subobjeto caracterizado por Predefinição:Math, onde Predefinição:Math é morfismo característico de Predefinição:Math. Esta operação de fecho tem as propriedades Predefinição:Math, Predefinição:Math e Predefinição:Math. Um monomorfismo Predefinição:Math é dito ser denso quando o fecho Predefinição:Math é o maior subobjeto de Predefinição:Math.

Um objeto Predefinição:Math é dito ser separado (respectivamente, feixe) para a modalidade Predefinição:Math quando, para cada monomorfismo denso Predefinição:Math, composição com Predefinição:Math induz função

Predefinição:Math

que é uma injeção (respectivamente bijeção). Denota-se por Predefinição:Math a subcategoria plena de Predefinição:Math consistindo dos feixes.

Como no caso de topos de Grothendieck, Predefinição:Math é fechada em limites finitos, e também exponenciações Predefinição:Math, para Predefinição:Math qualquer. Também, Predefinição:Math é um topos, cujo classificador de subobjetos é Predefinição:Math, onde Predefinição:Math é a fatoração de Predefinição:Math em epimorfismo seguido de monomorfismo.

Também, é possível provar a existência de feixificação Predefinição:Math (o adjunto esquerdo da inclusão Predefinição:Math). Para cada objeto Predefinição:Math, a fórmula

Predefinição:Math

na linguagem de Mitchell–Bénabou é interpretada como um morfismo Predefinição:Math, classificando subobjeto Predefinição:Math; assim, Predefinição:Math é feixificação de Predefinição:Math. (A aplicação de Predefinição:Math a valores lógicos indica sua relação com a lógica modal.)

Um exemplo de modalidade é a dupla negação Predefinição:Math, também chamada de modalidade densa. Neste caso, Predefinição:Math é sempre um topos satisfazendo a lógica clássica. (Compare com a tradução da dupla negação.)

Bibliografia

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