Objeto exponencial
Na teoria das categorias, um objeto exponencial é um objeto que representa o conjunto de morfismos entre dois objetos, de modo que generaliza a ideia de espaço funcional.
Definição
Dados objetos Predefinição:Math numa categoria Predefinição:Math com todos os produtos binários, um objeto exponencial é um objeto Predefinição:Math junto a uma seta universal Predefinição:Math do functor Predefinição:Math ao objeto Predefinição:Math. Noutras palavras, para cada objeto Predefinição:Math e seta Predefinição:Math, existe única seta Predefinição:Math tal que Predefinição:Math.[1]
Uma categoria é dita cartesiana fechada quando tem todos os produtos finitos (inclusive o objeto terminal) e cada dupla de objetos tem um correspondente objeto exponencial. Neste caso, há adjunção de duas variáveis em particular, Predefinição:Math estende-se a um functor Predefinição:Math.[2][3]
Exemplos
- A categoria dos conjuntos é cartesiana fechada: Predefinição:Math é o conjunto de funções de Predefinição:Math a Predefinição:Math, e Predefinição:Math.[2]
- A categoria dos módulos sobre um anel comutativo fixo não precisa ser cartesiana fechada, mas satisfaz uma condição similar na qual o produto Predefinição:Math é substituído pelo produto tensorial.[2] (É então uma categoria monoidal fechada.[4])
- A categoria dos espaços de Hausdorff compactamente gerados é cartesiana fechada. (Um espaço topológico Predefinição:Math é dito compactamente gerado quando, para cada subconjunto Predefinição:Math cuja interseção com cada subconjunto compacto de Predefinição:Math é fechada, Predefinição:Math é fechado.)[3][5]
Categoria localmente cartesiana fechada
Uma categoria Predefinição:Math é dita ser localmente cartesiana fechada quando, para cada objeto Predefinição:Math de Predefinição:Math, a categoria Predefinição:Math é cartesiana fechada. (Aqui Predefinição:Math denota a categoria vírgula Predefinição:Math, isto é, a categoria cujos objetos são setas de contradomínio Predefinição:Math, e cujas setas Predefinição:Math são setas Predefinição:Math de Predefinição:Math tais que Predefinição:Math.)[6]
Seja Predefinição:Math categoria localmente cartesiana fechada (em particular, admitindo produtos fibrados). Para cada morfismo Predefinição:Math de Predefinição:Math, existe functor Predefinição:Math dado por pullback; isto é, Predefinição:Math leva um morfismo
de Predefinição:Math ao morfismo
onde no diagrama o quadrado inferior e o retângulo exterior são diagramas de produto fibrado.
Neste caso, existem duas adjunções
onde o functor Predefinição:Math é chamado de soma dependente e o functor Predefinição:Math é chamado de produto dependente. O functor Predefinição:Math é definido por composição com Predefinição:Math. No caso particular em que Predefinição:Math é objeto terminal Predefinição:Math de Predefinição:Math, caso em que Predefinição:Math é isomorfa a Predefinição:Math, o functor Predefinição:Math é dado por levar Predefinição:Math ao objeto Predefinição:Math, onde é diagrama de produto fibrado, em que Predefinição:Math é transposta da identidade Predefinição:Math pela adjunção exponencial.
A origem dos nomes soma dependente e produto dependente pode ser explicada no caso particular Predefinição:Math. A categoria Predefinição:Math é equivalente à categoria de famílias de conjuntos indexadas por Predefinição:Math; com efeito, uma função Predefinição:Math corresponde à família das pré-imagens
enquanto que uma família Predefinição:Math corresponde à projeção
do coproduto (união disjunta). Por meio dessa equivalência, Predefinição:Math torna-se functor de troca de índices,
já Predefinição:Math e Predefinição:Math tornam-se os functores
estes são somas e produtos de membros da família, cujos índices dependem de Predefinição:Math.[7][6]