Produto categorial

Diagrama comutativo do produto categorial

O produto categorial é uma generalização categorial do produto cartesiano.

Seja C uma categoria e sejam $a$ e $b$ dois objetos da categoria C. O produto categorial de $a$ e $b$ é um objeto $a\times b$, junto a dois morfismos $p_a:a\times b\to a$ e $p_b:a\times b\to b$, tal que para qualquer objeto $c$ da categoria e para quaisquer morfismos $f:c\to a$ e $g:c\to b$ existe exatamente um $h:c\to a\times b$ tal que o diagrama da figura ao lado comuta, isto é: $$\{\begin{array}{c}{p}_a\circ h=f\\ p_b\circ h=g\end{array}.$$

Os morfismos $p_a$ e $p_b$ são chamados projeções. Podemos chamar o objeto $c$ junto com as setas $f$ e $g$ de pré-produto.

Sendo um caso particular do limite em teoria das categorias, produtos (se existem) são únicos a menos de isomorfismo.

Exemplos

• O produto na categoria $𝖲𝖾𝗍$ dos conjuntos coicide com o produto cartesiano usual.
• O produto na categoria $𝖳𝗈𝗉$ dos espaços topológicos é o produto cartesiano com a topologia produto.

Produtos de maior aridade

Pode-se considerar produtos para mais do que dois objetos. Seja $\{a_i{\}}_{i\in I}$ família de objetos em $C$. Um produto dessa família é um objeto $\prod _{i\in I}{a}_i$, junto a uma família de morfismos $p_j:\prod _i{a}_i\to a_j$, tal que, para cada outra família de morfismos $\{f_j:c\to a_j{\}}_{j\in I}$, há único $f:c\to \prod _i{a}_i$ com $p_j\circ f=f_j$ para cada índice $j\in I$.

Ver também

• Matemática
• Ciência da computação

Ligações externas

• Categories, Types and Structures por Andrea Asperti e Giuseppe Longo
• Predefinição:Link

Bibliografia

• Predefinição:Citar livro
• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician (2nd ed.). Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8.
• Barr, Michael & Wells, Charles, Category Theory for Computing Science, Prentice Hall, London, UK, 1990.
• Asperti, Longo, "Categories, Types, and Structures", The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, London, England.