Limites e colimites

Na teoria das categorias, limites e colimites generalizam diversas construções, sendo produtos e coprodutos uns de seus mais simples casos particulares.

Definição

Sejam $J,C$ categorias, a primeira chamada categoria de índices, e functor $F:J\to C$. Aqui, para cada $c\in C$, denota-se por $\mathrm{\Delta }(c):J\to C$ o functor constante, definido por: $\mathrm{\Delta }(c)(i)=c$ para cada $i\in J$; $\mathrm{\Delta }(c)(u:i\to j)=1_c$ para cada $u$ morfismo em $J$.

Cones

Um cone do vértice $c\in C$ ao functor $F$ é uma transformação natural $\mathrm{\Delta }(c)\dot{\to }F$, e, dualmente, um cone de $F$ ao vértice $c$ é uma transformação natural $F\dot{\to }\mathrm{\Delta }(c)$. Em símbolos: $$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}(c,F)=\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{t}(\mathrm{\Delta }(c),F),$$ $$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}(F,c)=\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{t}(F,\mathrm{\Delta }(c)).$$

A condição de naturalidade para cones de $c$ a $F$ é $F(k)\circ {\lambda }_i={\lambda }_j$ para cada $k:i\to j$ em $J$, ou seja, $$\begin{array}{ccc}{}^{{\lambda }_i}& {}_{\nearrow }& F(i)\\ c& & \downarrow & F(k)\\ {}_{{\lambda }_j}& {}^{\searrow }& F(j)\end{array},$$ e cones de $F$ a $c$ satisfazem a condição dual.

Adicionalmente, temos functor $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}(-,F):C^{\mathrm{o}\mathrm{p}}\to 𝖲𝖾𝗍$ (e analogamente $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}(F,-):C\to 𝖲𝖾𝗍$); para cada $f:c\to d$, $\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}(f,F)$ leva uma transformação natural de componentes ${\lambda }_i:d\to F(i)$ a uma de componentes ${\lambda }_i\circ f:c\to F(i)$.

Limites e colimites

Em cada representação $${\mathrm{hom}}_{C^{\mathrm{o}\mathrm{p}}}(a,-)={\mathrm{hom}}_C(-,a)\cong \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}(-,F),$$ o objeto $a$ é chamado de limite de $F$; o correspondente elemento universal $\lambda \in \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}(a,F)$ é chamado cone limitante. Noutras palavras, $\lambda :\mathrm{\Delta }(a)\dot{\to }F$ é cone limitante se e só se, para cada outro cone $\mu :\mathrm{\Delta }(b)\dot{\to }F$, há precisamente uma seta $f:b\to a$ tal que ${\mu }_j={\lambda }_j\circ f$ para cada $j\in J$.

Dualmente, numa representação $${\mathrm{hom}}_C(a,-)\cong \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}(F,-),$$ o objeto $a$ é chamado de colimite de $F$, e o elemento universal $\lambda \in \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}(F,a)$ é chamado cone colimitante.

Limites e colimites são únicos a menos de isomorfismo (pelo Lema de Yoneda), e são denotados respectivamente por $\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}F$, $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}F$.

Exemplos

Um limite para um functor $F:J\to C$ é chamado:

• produto quando $J$ é categoria discreta (isto é, todos os seus morfismos são identidades). No caso de produtos binários, a representação acima se reduz a:$${\mathrm{hom}}_C(c,a\times b)\cong \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}(c,F)\cong {\mathrm{hom}}_C(c,a)\times {\mathrm{hom}}_C(c,b),$$onde $a,b$ são as imagens de $F$ nos dois objetos de $J$.
• objeto terminal quando $J$ é vazia. A representação acima se reduz a:$${\mathrm{hom}}_C(a,t)\cong \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}(a,F)\cong \star ,$$onde $\star$ é conjunto de exatamente um elemento.
• equalizador quando $J=\bullet \rightrightarrows \bullet$ (duas identidades, e outros dois morfismos paralelos que não são identidades).
• produto fibrado (ou pullback) quando $J=\bullet \to \bullet \leftarrow \bullet$.

Dualmente, um colimite para $F:J\to C$ é chamado:

• coproduto quando $J$ é discreta.
• objeto inicial quando $J$ é vazia.
• coequalizador quando $J=\bullet \rightrightarrows \bullet$.
• coproduto fibrado (ou pushout) quando $J=\bullet \leftarrow \bullet \to \bullet$.

Quando a categoria $C$ é uma pré-ordem,

• o limite de um functor $F:J\to C$ é o ínfimo $\underset{i\in J}{\inf }F(i)$.
• o colimite de um functor $F:J\to C$ é o supremo $\underset{i\in J}{\sup }F(i)$.

Existência

Categorias completas e cocompletas

Uma categoria $C$ é dita (pequeno-)completa se e só se, para cada categoria pequena $J$, todo functor $F:J\to C$ tem limite. Dualmente, $C$ é (pequeno-)cocompleta se e só se todo functor $F:J\to C$ tal que $J$ é categoria pequena tem colimite.

Se $C$ tem todos os produtos pequenos e todos os equalizadores (de duplas de morfismos), então $C$ é completa. Com efeito, um limite de $F:J\to C$ é o domínio $d$ do equalizador: $$\begin{array}{ccc}& {}_f& \\ d\stackrel{e}{\to }\prod _{i\in J}F(i)& \rightrightarrows & \prod _{u:j\to k}F(k),\\ & {}^g& \end{array}$$ em que as duas setas paralelas são definidas por (abaixo, $p_{(-)}$ denota as projeções dos produtos): $$\begin{array}{c}{p}_u\circ f=p_k\\ p_u\circ g=F(u)\circ p_j\end{array}\text{ para cada seta }u:j\to k,$$ e o cone limitante tem componentes $p_i\circ e:d\to F(i)$ para cada $i\in J$.

Na categoria dos conjuntos

A categoria $𝖲𝖾𝗍$ dos conjuntos pequenos é pequeno-completa e pequeno-cocompleta. Há fórmulas explícitas para os limites e os colimites de um functor $F:J\to 𝖲𝖾𝗍$: $$\lim F\cong \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}(\star ,F)\cong \{f\in \prod _{i\in J}F(i)\mid \mathrm{\forall }(j,k\in J)\mathrm{\forall }(u:j\to k)F(u)(f(j))=f(k)\},$$ $$\mathrm{colim}F\cong \left(\coprod _{i\in J}F(i)\right)/\sim ,$$ onde $\sim$ é a menor relação de equivalência satisfazendo (abaixo, ${\iota }_j:F(j)\to \coprod _{i\in I}F(i)$ denota as inclusões no coproduto): $${\iota }_j(x)\sim {\iota }_k(F(u)(x))$$ para cada $x\in F(j)$ e $u:j\to k$.

Adjunção com o functor diagonal Δ

O functor $\mathrm{\Delta }:C\to C^J$ tem adjunto direito se e só se $C$ admite todos os limites indexados por $J$, e tem adjunto esquerdo se e só se $C$ admite todos os limites indexados por $J$:

${\mathrm{hom}}_{C^J}(\mathrm{\Delta }(c),F)\cong {\mathrm{hom}}_C(c,\lim F)$, ${\mathrm{hom}}_C(\mathrm{colim}F,c)\cong {\mathrm{hom}}_{C^J}(F,\mathrm{\Delta }(c))$.

Neste caso, $\mathrm{colim}⊣\mathrm{\Delta }⊣\lim$, isto é, os operadores limite e colimite podem ser estendidos a functores $C^J\to C$.

Functores e limites

Um functor $U:C\to D$:

• preserva os limites de $F:J\to C$ se e só se, para cada cone limitante $\lambda :\mathrm{\Delta }(c)\dot{\to }F$, também $U\lambda :\mathrm{\Delta }(U(c))\dot{\to }UF$ é cone limitante.
• reflete os limites de $F:J\to C$ se e só se, para cada cone $\lambda :\mathrm{\Delta }(c)\dot{\to }F$ tal que $U\lambda :\mathrm{\Delta }(U(c))\dot{\to }UF$ é cone limitante, também $\lambda$ é cone limitante.
• cria os limites de um functor $F:J\to C$ tal que $UF:J\to D$ tem limite se e só se $F:J\to C$ também tem limite, e $U$ preserva e reflete os limites de $F$.
• estritamente cria os limites de $F$ se e só se, para cada cone limitante $\mu :\mathrm{\Delta }(d)\dot{\to }UF$, há único $c\in C$ e cone $\lambda :\mathrm{\Delta }(c)\dot{\to }F$ tal que $\mu =U\lambda$, e ainda mais este $\lambda$ é cone limitante.

(Mac Lane usa o termo cria em vez de estritamente cria.) Há definições análogas para a preservação, reflexão e criação de colimites.

Um functor $U:C\to D$ é dito (pequeno-)contínuo (respectivamente cocontínuo) quando preserva todos os limites pequenos (respectivamente colimites pequenos).

Os functores ${\mathrm{hom}}_C(c,-):C\to 𝖲𝖾𝗍$ são sempre contínuos. Assim, têm-se isomorfismos: $${\mathrm{hom}}_C(c,\lim F)\cong \lim ({\mathrm{hom}}_C(c,F(-)))$$ $${\mathrm{hom}}_C(\mathrm{colim}F,c)\cong \lim ({\mathrm{hom}}_C(F(-),c))$$

Propriedades

Limites pontualmente

Um limite de um functor Predefinição:Math existe precisamente quando cada functor Predefinição:Math tem limite (onde Predefinição:Math é a aplicação em Predefinição:Math), e neste caso o limite é um functor Predefinição:Math tal que Predefinição:Math é limite de Predefinição:Math para cada Predefinição:Math.

Limites comutam

Seja functor Predefinição:Math tal que, para cada Predefinição:Math, Predefinição:Math tem limite. Então, esses limites formam um functor

Predefinição:Math,

que tem limite precisamente quando Predefinição:Math tem limite.

Em particular, quando os limites abaixo existem, há isomorfismo

Predefinição:Math.

Troca de limite com colimite

Para cada functor Predefinição:Math, há uma seta "canônica"

Predefinição:Math,

quando existem os limites e colimites adequados. Se Predefinição:Math é a categoria dos conjuntos, uma das situações nas quais essa seta é isomorfismo é quando Predefinição:Math é categoria finita e Predefinição:Math é categoria filtrada (isto é, cada functor Predefinição:Math com Predefinição:Math finita tem cone a algum objeto de Predefinição:Math); brevemente, limites finitos comutam com colimites filtrados na categoria dos conjuntos.

Bibliografia

• Predefinição:Citar livro
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Ligações externas

• Predefinição:Link