Objeto inicial

Na teoria das categorias, um objeto inicial de uma categoria $C$ é um objeto $s\in C$ tal que, para cada objeto $x\in C$, há exatamente um morfismo $s\to x$. Dualmente, um objeto terminal (ou final) de $C$ é um objeto $t\in C$ tal que, para cada objeto $x\in C$, há exatamente um morfismo $x\to t$. Um objeto zero é um objeto que é simultaneamente inicial e final.

Objetos iniciais (se existem na categoria) são únicos a menos de único isomorfismo; mais precisamente, se $s,s^{\prime }$ são ambos iniciais, há únicos morfismos $f:s\to s^{\prime },g:s^{\prime }\to s$, e $f\circ g=1_{s^{\prime }},g\circ f=1_s$ pela definição de objeto inicial. Dualmente, objetos terminais são únicos a menos de único isomorfismo.

Exemplos

• Na categoria $𝖲𝖾𝗍$ dos conjuntos, o objeto inicial é o conjunto vazio (a função $\mathrm{\varnothing }\to X$ é a função de gráfico vazio), e cada conjunto $\{x\}$ de um elemento é terminal.
• Na categoria $𝖦𝗋𝗉$ dos grupos, o grupo nulo é simultaneamente inicial e terminal, logo é um objeto zero.
• Conceitos da teoria das categorias, como functores representáveis, limites e colimites, podem ser expressos como objetos iniciais ou terminais numa categoria adequada.

Existência

O teorema de existência de objeto inicial de Freyd diz que, se $D$ é uma categoria pequeno-completa e com conjuntos $\mathrm{hom}$ pequenos, $D$ tem objeto inicial se e só se satisfaz:

Existe conjunto pequeno $I$ e família $\{k_i{\}}_{i\in I}$ de objetos de $D$, tal que, para cada $d\in D$, há morfismo $k_i\to d$ para algum $i\in I$.

Predefinição:Collapse top A parte "só se" segue da definição de objeto inicial.

Reciprocamente, seja $\{k_i\in D{\}}_{i\in I}$ como acima. Como $D$ é pequeno-completa e $I$ é pequeno, há produto $$w=\prod _{i\in I}{k}_i$$ em $D$. Já que ${\mathrm{hom}}_D(w,w)$ é pequeno, há equalizador $e:v\to w$ do conjunto de todos os morfismos $w\to w$.

$$\begin{array}{cccc}& & & f,g\\ u& \stackrel{e^{\prime }}{\to }& v& \rightrightarrows & d\\ s\uparrow & & \downarrow e& & \uparrow \\ w& & w& \stackrel{p_i}{\to }& k_i\end{array}$$

Para cada $d\in D$, há então alguma seta $v\to d$, a saber, uma composição da forma $v\stackrel{e}{\to }w\stackrel{p_i}{\to }{k}_i\to d$. Para mostrar que $v$ é inicial, basta mostrar que quaisquer setas $f,g:v\to d$ coincidem. Considere o equalizador $e^{\prime }:u\to v$ de $f,g$. Há seta $s:w\to k_j\to u$, logo $e\circ e^{\prime }\circ s:w\to w$. Já que $e$ é equalizador dos morfismos $w\to w$, $$(e\circ e^{\prime }\circ s)\circ e=1_w\circ e=e\circ 1_v.$$ Como equalizadores são monomorfismos, $e^{\prime }\circ s\circ e=1_v$. Então, de $f\circ e^{\prime }=g\circ e^{\prime }$, $$f=f\circ e^{\prime }\circ s\circ e=g\circ e^{\prime }\circ s\circ g=g,$$ como requerido. Predefinição:Collapse bottom

O teorema especial de existência de objeto inicial de Freyd diz que, se Predefinição:Math é categoria pequeno-completa, com conjuntos Predefinição:Math pequenos, tem família cosseparadora Predefinição:Math pequena e é tal que toda família de monomorfismos de mesmo contradomínio tem produto fibrado (noutras palavras, toda coleção de subobjetos tem ínfimo), então Predefinição:Math tem objeto inicial.

Predefinição:Collapse top Denote por Predefinição:Math o produto dos objetos em Predefinição:Math, e seja Predefinição:Math o produto fibrado de todos os monomorfismos para Predefinição:Math. Mostra-se que Predefinição:Math é objeto inicial.

Que Predefinição:Math é cosseparador equivale a que, para cada Predefinição:Math, a seta $$f_c:c\to \prod _{k\in T}\prod _{h:c\to k}k,$$ com componentes Predefinição:Math é monomorfismo. Também há a seta $$g:\prod _{k\in T}k\to \prod _{k\in T}\prod _{h:c\to k}k,$$ com componentes Predefinição:Math. Forma-se o produto fibrado: $$\begin{array}{ccc}r& \to & c\\ \downarrow & & \downarrow f_c\\ q& \stackrel{g}{\to }& \prod _{k\in T}\prod _{h:c\to k}k.\end{array}$$ Como Predefinição:Math é monomorfismo, Predefinição:Math também é monomorfismo; pela definição de Predefinição:Math, há seta Predefinição:Math, e, em particular, há seta Predefinição:Math. Se houvesse mais de uma seta Predefinição:Math, o equalizador entre elas seria um subobjeto próprio de Predefinição:Math, contradizendo a definição de Predefinição:Math. Portanto, há única seta Predefinição:Math. Predefinição:Collapse bottom

Ver também

• Matemática
• Ciência da computação

Ligações externas

• Categories, Types and Structures por Andrea Asperti e Giuseppe Longo
• Predefinição:Link

Bibliografia

• Predefinição:Citar livro
• Predefinição:Citar livro
• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician (2nd ed.). Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8.
• Barr, Michael & Wells, Charles, Category Theory for Computing Science, Prentice Hall, London, UK, 1990.
• Asperti, Longo, "Categories, Types, and Structures", The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, London, England.