Functor representável

Em teoria das categorias, dada categoria $C$, uma representação para um functor $F:C\to 𝖲𝖾𝗍$ é um objeto $c\in C$ junto a um isomorfismo natural $${\mathrm{hom}}_C(c,-)\cong F,$$ em que ${\mathrm{hom}}_C$ denota o functor hom. Um functor representável é um functor $F:C\to 𝖲𝖾𝗍$ admitindo representação.

Elementos universais

Um elemento universal de um functor $F:C\to 𝖲𝖾𝗍$ é um objeto $c\in C$, junto a um elemento $x\in F(c)$, tais que, para cada $d\in C,y\in F(d)$, há único morfismo $f:c\to d$ em $C$ com $F(f)(x)=y$. Noutras palavras, um elemento universal é um objeto inicial na categoria de elementos de $F$.

Representações do functor $F$ correspondem biunivocamente a elementos universais de $F$. Com efeito, se $\psi :{\mathrm{hom}}_C(c,-)\cong F$, tem-se que $c\in C,{\psi }_c(1_c)\in F(c)$ é um elemento universal; se $c\in C,x\in F(c)$ é elemento universal, $${\psi }_d=(f:c\to d)\mapsto F(f)(x):{\mathrm{hom}}_C(c,d)\cong F(d)$$ é uma representação; e essas correspondências são inversas uma a outra.

Setas universais

Sejam $a$ objeto de um categoria $D$ e functor $S:C\to D$. Uma seta universal $u:a\to S(c)$ de $a$ ao functor $S$ é um elemento universal $c\in C,u\in {\mathrm{hom}}_D(a,S(c))$ do functor ${\mathrm{hom}}_D(a,S(-)):C\to 𝖲𝖾𝗍$; noutras palavras, para cada $c^{\prime }\in C$ e seta $u^{\prime }:a\to S(c^{\prime })$, há único $f:c\to c^{\prime }$ tal que $u^{\prime }=S(f)\circ u$: $$\begin{array}{ccc}a& \stackrel{u}{\to }& S(c)\\ & \searrow & \downarrow & S(f)\\ u^{\prime }& & S(c^{\prime })\end{array}$$

Dualmente, uma seta universal $u:S(c)\to a$ do functor $S$ até $a$ é um elemento universal $c\in C,u\in {\mathrm{hom}}_D(S(c),a)$ do functor ${\mathrm{hom}}_D(S(-),a):C^{\mathrm{o}\mathrm{p}}\to 𝖲𝖾𝗍$.

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