Pré-ordem

Predefinição:Sem notasEm matemática, mais especificamente em teoria da ordem, uma pré-ordem ou quase-ordem é uma relação binária reflexiva e transitiva. Toda ordem parcial ou relação de equivalência é também uma pré-ordem.

Definição formal

Seja A um conjunto e R uma relação binária sobre A (ou seja, R subconjunto de AxA). Então, R é uma pré-ordem sobre A se, e somente se, R é reflexiva e transitiva. Isto é:

$\mathrm{\forall }a\in A(aRa)$ (propriedade reflexiva)

$\mathrm{\forall }(a,b)\in A\times A(aRb\wedge bRc\Rightarrow aRc)$ (propriedade transitiva)

Muitas vezes é usada a notação de par ordenado. Neste caso, escreveríamos: $(A,R)$ é uma pré-ordem.

Exemplos

• Todo espaço topológico finito gera uma pré-ordem nos seus pontos, na qual x ≤ y se, e somente se, x pertence a toda vizinhança de y.
• Sobre os arcos de um grafo orientado, a relação ser acessível por é uma pré-ordem. Se o digrafo é acíclico, essa relação vira uma ordem.
• Em um anel comutativo, a relação divide é uma pré-ordem.
• Seja $M$ um monoide. Definimos a relação $\le$ em $M$ como

$x\le y⟺(\mathrm{\exists }z\in M)(xz=y)$.

Assim, $(M,\le )$ é uma pré-ordem.

• A relação definida por $x\le y⟺\mathrm{\exists }f:x\to y$, injetora.
• Dada uma relação de pré-ordem $(X,\lesssim )$, então, $\mathrm{\forall }Y\subset X(Y,\lesssim )$ também é uma pré-ordem.
• Uma categoria com no máximo um morfismo de algum objeto $x$ para algum outro objeto $y$ é uma pré-ordem. Neste sentido, categorias "generalizam" pré-ordens aceitando mais do que uma relação entre objetos: cada morfismo é uma relação de pré-ordem diferente.
• Considere o conjunto ${}^{\mathbb{N}}\mathbb{N}$ de todas as funções do conjunto dos números naturais $\mathbb{N}$ em $\mathbb{N}$. Definimos a relação ${⩽}^{*}$ para ${}^{\mathbb{N}}\mathbb{N}$ como

$f{⩽}^{*}g⟺(\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N})(\mathrm{\forall }n⩾N)(f(n)⩽g(n))$

(considerando $⩽$ como a ordem natural de $\mathbb{N}$).

Então $({}^{\mathbb{N}}\mathbb{N},{⩽}^{*})$ é uma pré-ordem.

Usos

• Toda pré-ordem pode gerar uma topologia, Topologia de Alexandrov e, de fato, toda pré-ordem admite uma bijeção com uma topologia de Alexandrov neste conjunto.
• Pré-ordens podem ser usadas para definir álgebras interiores.
• Pré-ordens induzem a semântica de Kripke para certos tipos de lógicas modais.

Esquema de temas relacionados

Teoria da ordem Bem ordenado Ordem total Parcialmente ordenado Pré-ordenado Relação reflexiva Relação transitiva Relação antissimétrica Relação total Relação bem-fundada

Ver também

• Relação de ordem - pré-ordem que é também antissimétrica.
• Relação de equivalência - pré-ordem que é também uma relação simétrica.
• Ordem total - pré-ordem que é também total e antissimétrica.
• Lema de Newman

Bibliografia

• Predefinição:Citation