Adjunção (teoria das categorias)

Diagrama comutativo da condição de naturalidade de Predefinição:Math

$$\begin{array}{cccc}& {\mathrm{hom}}_D(F(c),d)& \cong & {\mathrm{hom}}_C(c,G(d))\\ k\circ -\circ F(h)& \downarrow & & \downarrow & G(k)\circ -\circ h\\ & {\mathrm{hom}}_D(F(c^{\prime }),d^{\prime })& \cong & {\mathrm{hom}}_C(c^{\prime },G(d^{\prime }))\end{array}$$

Na teoria das categorias, uma adjunção $(F,G,\varphi ):C\rightharpoonup D$ é uma tripla consistindo de dois functores $F:C\to D$, $G:D\to C$ e uma família de isomorfismos $${\varphi }_{c,d}:{\mathrm{hom}}_D(F(c),d)\cong {\mathrm{hom}}_C(c,G(d))$$ natural em $(c,d)$; a condição de naturalidade é expressa por

$G(k)\circ {\varphi }_{c,d}(f)\circ h={\varphi }_{c^{\prime },d^{\prime }}(k\circ f\circ F(h))$ para cada $f:F(c)\to d$, $k:d\to d^{\prime }$ e $h:c^{\prime }\to c$,

ou equivalentemente por

$k\circ {\varphi }_{c,d}^{-1}(g)\circ F(h)={\varphi }_{c^{\prime },d^{\prime }}^{-1}(G(k)\circ g\circ h)$ para cada $g:c\to G(d)$, $k:d\to d^{\prime }$ e $h:c^{\prime }\to c$.

Nesse caso, $F$ é dito adjunto esquerdo a $G$, e $G$ é dito adjunto direito a $F$, e escreve-se $F⊣G$.

Segundo Saunders Mac Lane, "functores adjuntos são onipresentes". Com efeito, vários conceitos da matemática, como grupos livres, corpo de quocientes e completação de espaços métricos são casos particulares do conceito de adjunção.

Unidade e counidade

Dada adjunção $(F,G,\varphi ):C\rightharpoonup D$, a unidade e a counidade são, respectivamente, transformações naturais $\eta :1\dot{\to }GF$, $ϵ:FG\dot{\to }1$, com componentes: $${\eta }_c={\varphi }_{c,F(c)}(1_{F(c)}):c\to G(F(c))$$ $${ϵ}_d={\varphi }_{G(d),d}^{-1}(1_{G(d)}):F(G(d))\to d$$ para cada $c\in C,d\in D$. Têm-se as igualdades

${\varphi }_{c,d}(f)=G(f)\circ {\eta }_c$ para cada $f:F(c)\to d$,

além de

${\varphi }_{c,d}^{-1}(g)={ϵ}_d\circ F(g)$ para cada $g:c\to G(d)$.

Isto implica as identidades triangulares, isto é, os dois diagramas abaixo comutam: $$\begin{array}{ccccccc}F& \stackrel{F\eta }{\to }& FGF& & GFG& \stackrel{\eta G}{\leftarrow }& G\\ & {}_1\searrow & \downarrow ϵF& & Gϵ\downarrow & {\swarrow }_1\\ & & F& & G\end{array}$$

Caracterizações alternativas

Por setas universais

Seja functor $G:D\to C$. Supõe-se que, para cada $c\in C$, há objeto $f_c\in D$ e seta universal ${\eta }_c:c\to G(f_c)$ de $c$ ao functor $G$, isto é, representação $$G(-)\circ {\eta }_c:{\mathrm{hom}}_D(f_c,-)\cong {\mathrm{hom}}_C(c,G(-)).$$ Então, existe única adjunção $(F,G,\varphi ):C\rightharpoonup D$ tal que $F(c)=f_c$ para cada $c\in C$ e tal que ${\eta }_c$ são as componentes da unidade.

Dualmente, dado functor $F:C\to D$ tal que, para cada $d\in D$, há objeto $g_d\in C$, e seta universal ${ϵ}_d:F(g_d)\to d$ do functor $F$ a $d$, existe única adjunção $(F,G,\varphi ):C\rightharpoonup D$ tal que $G(d)=g_d$ para cada $d\in D$ e tal que ${ϵ}_d$ são as componentes da counidade.

Por unidade e counidade

Sejam functores $F:C\to D$, $G:D\to C$, e supõe-se que há transformações naturais $\eta :1\dot{\to }GF$, $ϵ:FG\dot{\to }1$ satisfazendo as identidades triangulares acima. Então, existe única adjunção $(F,G,\varphi ):C\rightharpoonup D$ que tem $\eta$ como unidade e $ϵ$ como counidade.

Exemplos

• O functor $U:𝖦𝗋𝗉\to 𝖲𝖾𝗍$, levando cada grupo ao correspondente conjunto de elementos, tem adjunto esquerdo $F:𝖲𝖾𝗍\to 𝖦𝗋𝗉$, que leva cada conjunto $X$ ao grupo livre em $X$. A unidade $\eta :1\dot{\to }UF$ é a "inserção de geradores", e a counidade $ϵ:FU\dot{\to }1$ é a "avaliação de expressões".
• Denote por $𝖬𝖾𝗍$ a categoria de espaços métricos e isometrias, e por $𝖢𝗈𝗆𝗉𝖬𝖾𝗍$ a subcategoria plena de espaços métricos completos. Então, a inclusão $U:𝖢𝗈𝗆𝗉𝖬𝖾𝗍\to 𝖬𝖾𝗍$ tem adjunto esquerdo $C:𝖬𝖾𝗍\to 𝖢𝗈𝗆𝗉𝖬𝖾𝗍$, levando cada espaço métrico a sua completação. A unidade $\eta :1\dot{\to }UC$ é a "inclusão na completação", e a counidade $ϵ:CU\dot{\to }1$ evidencia que cada espaço métrico completo é a sua própria completação.
• Cada pré-ordem pode ser considerada como uma categoria em que $\mathrm{hom}(a,b)$ tem no máximo um elemento, e tem um precisamente quando $a\le b$. Um functor entre pré-ordens é então uma função crescente. Uma adjunção entre pré-ordens é chamada conexão de Galois:$$F(c)\le d⟺c{\le }^{\prime }G(d).$$

  A unidade e a counidade correspondem às desigualdades $c\le G(F(c))$, $F(G(d))\le d$, respectivamente. Quando a pré-ordem é uma ordem parcial, as identidades triangulares implicam $c=F(G(F(c)))$ e $d=G(F(G(d)))$. Eis exemplos de conexões de Galois:

  • Dada função $f:A\to B$, há uma adjunção entre a imagem e a pré-imagem:$$f^{\to }(A^{\prime })\subseteq B^{\prime }⟺A^{\prime }\subseteq f^{\leftarrow }(B^{\prime })$$

    para cada $A^{\prime }\subseteq A$, $B^{\prime }\subseteq B$.

  • Seja extensão de corpo $k\subseteq F$. Para cada corpo intermediário $k\subseteq E\subseteq F$, denota-se por ${\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}}_{E}F$ o conjunto dos automorfismos de $F$ fixando cada elemento de $E$, e, para cada subgrupo $G\subseteq {\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}}_{k}F$, denota-se por $F^G$ o corpo dos elementos de $F$ que são fixados por cada automorfismo em $G$. Então,$${\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}}_{E}F\supseteq G⟺E\subseteq F^G.$$

    Este exemplo, proveniente da teoria de Galois, é o que nomeia o conceito.

Propriedades

Adjunção e limites

Dada adjunção $(F,G,\varphi ):C\rightharpoonup D$, o adjunto direito $G$ preserva os limites de cada $K:J\to D$. A demonstração se resume na sequência de isomorfismos naturais: $$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}(-,GK)\cong \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e}(F(-),K)\cong {\mathrm{hom}}_D(F(-),\lim K)\cong {\mathrm{hom}}_D(-,G(\lim K)).$$ Dualmente, o adjunto esquerdo $F$ preserva todos os colimites.

Unicidade do functor adjunto

Dadas adjunções $(F,G,\varphi ,\eta ,ϵ):C\rightharpoonup D$ e $(F^{\prime },G,{\varphi }^{\prime },{\eta }^{\prime },{ϵ}^{\prime }):C\rightharpoonup D$, existe único isomorfismo natural $\theta :F\dot{\cong }{F}^{\prime }$ comutando com as unidades e as counidades:

${\eta }^{\prime }=G\theta \cdot \eta$, $ϵ={ϵ}^{\prime }\cdot \theta G$.

Composição de adjunções

A composição de duas adjunções $(F,G,\eta ,ϵ):C\rightharpoonup D$ e $(F^{\prime },G^{\prime },{\eta }^{\prime },{ϵ}^{\prime }):D\rightharpoonup E$ é a adjunção:

$(F^{\prime }F,G{G}^{\prime },G{\eta }^{\prime }F\cdot \eta ,{ϵ}^{\prime }\cdot F^{\prime }ϵG^{\prime }):C\rightharpoonup E$.

Transformações de adjunções

Dadas adjunções $(F,G,\varphi ,\eta ,ϵ):C\rightharpoonup D$ e $(F^{\prime },G^{\prime },{\varphi }^{\prime },{\eta }^{\prime },{ϵ}^{\prime }):C^{\prime }\rightharpoonup D^{\prime }$, um mapeamento da primeira adjunção à segunda é uma dupla de functores $K:D\to D^{\prime },L:C\to C^{\prime }$, tal que:

• É diagrama comutativo: $$\begin{array}{ccccc}D& \stackrel{G}{\to }& C& \stackrel{F}{\to }& D\\ K\downarrow & & L\downarrow & & K\downarrow \\ D^{\prime }& \stackrel{G^{\prime }}{\to }& C^{\prime }& \stackrel{F^{\prime }}{\to }& D^{\prime }\end{array}$$
• Alguma das (logo cada uma das) três condições a seguir vale:
  • $L\eta ={\eta }^{\prime }L$.
  • ${ϵ}^{\prime }K=Kϵ$.
  • Para cada $c,d$, é diagrama comutativo: $$\begin{array}{ccc}{\mathrm{hom}}_D(F(c),d)& \stackrel{\varphi }{\cong }& {\mathrm{hom}}_C(c,G(d))\\ K\downarrow & & \downarrow L\\ {\mathrm{hom}}_{D^{\prime }}(K(F(c)),K(d))& & {\mathrm{hom}}_{C^{\prime }}(L(c),L(G(d)))\\ ||& & ||\\ {\mathrm{hom}}_{D^{\prime }}(F^{\prime }(L(c)),K(d))& \stackrel{{\varphi }^{\prime }}{\cong }& {\mathrm{hom}}_{C^{\prime }}(L(c),G^{\prime }(K(d)))\end{array}$$

Dadas adjunções $(F,G,\varphi ,\eta ,ϵ)$, $(F^{\prime },G^{\prime },{\varphi }^{\prime },{\eta }^{\prime },{ϵ}^{\prime }):C\rightharpoonup D$ (entre as mesmas categorias), duas transformações naturais $\sigma :F\dot{\to }{F}^{\prime }$ e $\tau :G^{\prime }\dot{\to }G$ são ditas conjugadas (para as dadas adjunções), ou formam um morfismo entre as adjunções, quando alguma das (logo cada uma das) condições a seguir vale:

• Para cada $c,d$, é diagrama comutativo:$$\begin{array}{ccc}{\mathrm{hom}}_C(F^{\prime }(c),d)& \stackrel{{\varphi }^{\prime }}{\cong }& {\mathrm{hom}}_D(c,G^{\prime }(d))\\ -\circ {\sigma }_c\downarrow & & \downarrow {\tau }_d\circ -\\ {\mathrm{hom}}_C(F(c),d)& \stackrel{\varphi }{\cong }& {\mathrm{hom}}_D(c,G(d))\end{array}$$
• $\tau$ é igual à composta $G^{\prime }\stackrel{\eta G^{\prime }}{\to }GF{G}^{\prime }\stackrel{G\sigma G^{\prime }}{\to }G{F}^{\prime }{G}^{\prime }\stackrel{G{ϵ}^{\prime }}{\to }G$.
• $\sigma$ é igual à composta $F\stackrel{F{\eta }^{\prime }}{\to }F{G}^{\prime }{F}^{\prime }\stackrel{F\tau F^{\prime }}{\to }FG{F}^{\prime }\stackrel{ϵF^{\prime }}{\to }{F}^{\prime }$.
• $ϵ\cdot F\tau ={ϵ}^{\prime }\cdot \sigma G^{\prime }$.
• $G\sigma \cdot \eta =\tau F^{\prime }\cdot {\eta }^{\prime }$.

Dada transformação natural $\sigma :F\dot{\to }{F}^{\prime }$, há exatamente uma transformação natural $\tau :G^{\prime }\dot{\to }G$ que é conjugada a $\sigma$. Similarmente, $\tau$ determina unicamente $\sigma$.

Adjunções de duas variáveis

Dado functor Predefinição:Math, tal que, para cada Predefinição:Math, o functor Predefinição:Math tem adjunto direito Predefinição:Math, existe único functor Predefinição:Math tal que Predefinição:Math para cada Predefinição:Math e tal que os isomorfismos $${\mathrm{hom}}_C(F(a,b),c)\cong {\mathrm{hom}}_B(b,G(a,c))$$ são naturais nas três variáveis Predefinição:Math; a tupla consistindo dos functores Predefinição:Math, Predefinição:Math e do isomorfismo natural é chamada adjunção com parâmetro Predefinição:Math.

Adicionalmente, se, para cada Predefinição:Math, Predefinição:Math também tem adjunto direito, similarmente há isomorfismos naturais $${\mathrm{hom}}_C(F(a,b),c)\cong {\mathrm{hom}}_B(b,G(a,c))\cong {\mathrm{hom}}_A(a,H(b,c));$$diz-se, assim, que há uma adjunção de duas variáveis (não "três variáveis").

Adjuntos fiéis e plenos

Numa adjunção Predefinição:Math:

• Predefinição:Math é fiel se e só se cada Predefinição:Math é epimorfismo;
• Predefinição:Math é pleno se e só se cada Predefinição:Math é seção;
• Predefinição:Math é pleno e fiel se e só se cada Predefinição:Math é isomorfismo.

Com efeito, denotando-se por Predefinição:Math a composta $${\mathrm{hom}}_D(d,d^{\prime })\stackrel{G}{\to }{\mathrm{hom}}_C(G(d),G(d^{\prime }))\cong {\mathrm{hom}}_D(F(G(d)),d^{\prime }),$$que é o mapeamento Predefinição:Math, Predefinição:Math é fiel (respectivamente pleno) se e só se cada Predefinição:Math é injetivo (respectivamente sobrejetivo), isto é, cada Predefinição:Math é epimorfismo (respectivamente seção).

Dualmente,

• Predefinição:Math é fiel se e só se cada Predefinição:Math é monomorfismo;
• Predefinição:Math é pleno se e só se cada Predefinição:Math é retração;
• Predefinição:Math é pleno e fiel se e só se cada Predefinição:Math é isomorfismo.

Em particular, uma equivalência adjunta é precisamente uma adjunção entre functores plenos e fiéis.

Subcategoria reflexiva

Uma subcategoria Predefinição:Math de uma categoria Predefinição:Math é dita reflexiva quando é subcategoria plena e a inclusão Predefinição:Math admite adjunto esquerdo Predefinição:Math, chamado refletor. (Alguns autores não exigem que a subcategoria seja plena.) Já que a inclusão é functor pleno e fiel, a counidade Predefinição:Math é isomorfismo (o refletor "fixa" cada objeto de Predefinição:Math).

Como exemplo, a categoria dos espaços compactos de Hausdorff é subcategoria reflexiva da categoria dos espaços topológicos; o refletor leva cada espaço a sua compactificação de Stone–Čech.

Dualmente, uma subcategoria plena é correflexiva quando a inclusão tem adjunto direito. Por exemplo, a subcategoria plena dos grupos abelianos de torção (isto é, os grupos abelianos nos quais todo elemento tem ordem finita) é correflexiva na categoria dos grupos abelianos.

Nota de terminologia: Alguns autores trocaram os significados de "reflexiva" e "correflexiva".

Mônade associada

Predefinição:Artigo principal Cada adjunção Predefinição:Math associa-se a uma mônade, de endofunctor Predefinição:Math, de unidade $\eta :1\dot{\to }GF$ e de multiplicação $GϵF:(GF{)}^2\dot{\to }GF$.

Existência de adjuntos

O teorema do functor adjunto de Freyd diz que, dada $D$ categoria pequeno-completa, na qual todos os conjuntos $\mathrm{hom}$ são pequenos, e dada $C$ categoria qualquer, um functor $G:D\to C$ tem adjunto esquerdo se e só se é pequeno-contínuo e satisfaz:

Para cada $x\in C$, existe conjunto pequeno $I$ e família de setas $\{f_i:x\to G(a_i){\}}_{i\in I}$ tal que, para cada seta $h:x\to G(a)$, há $i\in I,t:a_i\to a$ tais que $h=G(t)\circ f_i$.

O teorema especial do functor adjunto diz que, dada Predefinição:Math categoria pequeno-completa e com conjuntos Predefinição:Math pequenos, e dada Predefinição:Math categoria com conjuntos Predefinição:Math pequenos, tais que Predefinição:Math tem família cosseparadora pequena e toda coleção de monomorfismos de mesmo contradomínio em Predefinição:Math tem produto fibrado (isto é, toda coleção de subobjetos tem ínfimo), então cada functor Predefinição:Math pequeno-contínuo e preservando os produtos fibrados de monomorfismos tem adjunto esquerdo.

Uma versão alternativa, de hipóteses mais restritivas, é: Dada Predefinição:Math categoria pequeno-completa, com conjuntos Predefinição:Math pequenos, com cosseparador pequeno e tal que, para cada Predefinição:Math, a coleção de subobjetos de Predefinição:Math pode ser indexada por um conjunto pequeno, e dada Predefinição:Math categoria com conjuntos Predefinição:Math pequenos, um functor Predefinição:Math tem adjunto esquerdo se e só se é pequeno-contínuo.

Os teoremas são consequências dos teoremas da existência de objeto inicial.

A seguir, exemplos de aplicações desses teoremas.

• Denota-se por $U:𝖦𝗋𝗉\to 𝖲𝖾𝗍$ o functor "esquecidiço". Pode-se mostrar que Predefinição:Math estritamente cria todos os limites pequenos, logo é pequeno-contínuo e $𝖦𝗋𝗉$ é pequeno-completa. É claro que $𝖦𝗋𝗉$ tem conjuntos Predefinição:Math pequenos. Seja Predefinição:Math conjunto pequeno. Seja Predefinição:Math família de representantes das classes de isomorfismo de grupos que podem ser gerados por no máximo Predefinição:Math elementos. As inclusões dos geradores Predefinição:Math satisfazem a condição requerida. Segue que Predefinição:Math tem adjunto esquerdo, e a existência de grupos livres.
• Denota-se por $G:𝖢𝗈𝗆𝗉𝖧𝖺𝗎𝗌\to 𝖳𝗈𝗉$ o functor de inclusão, da categoria dos espaços compactos de Hausdorff à categoria dos espaços topológicos. Pode-se mostrar que a categoria dos espaços compactos de Hausdorff é pequeno-completa (usa-se o teorema de Tychonoff para mostrar a existência de produtos), e claramente ambas têm conjuntos Predefinição:Math pequenos. O lema de Urysohn implica que Predefinição:Math é cosseparador para $𝖢𝗈𝗆𝗉𝖧𝖺𝗎𝗌$. As outras hipóteses são facilmente verificadas. Segue que Predefinição:Math tem adjunto esquerdo, chamado compactificação de Stone–Čech.

Bibliografia

• Predefinição:Citar livro
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