Mostrar código-fonte de Toro (topologia)

{{mais notas|data=setembro de 2013}}
{{Info/Espaço Topológico

|nome      = Toro
|imagem    = [[Imagem:Torus 3d.png|300px]]
|notação   = <math>\mathbb{T}^2</math>
|car_euler = 0
|grupo     = <math>\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}</math>
|homologia = <math>\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}</math>
}}
[[Imagem:Toróide.gif|thumb|Animação Toróide]]

'''Toro''' ou '''toróide''' é um [[espaço topológico]] [[homeomorfismo|homeomorfo]] ao [[Conjunto#Produto cartesiano|produto]] de dois [[círculo]]s. Apresenta o formato aproximado de uma câmara  de [[pneu]]. Em [[geometria]], pode ser definido como o [[lugar geométrico]] tridimensional formado pela rotação de uma superfície circular plana de raio '''r''', em torno de uma [[circunferência]] de raio R.

== Formas de construir um toro ==
* Identificando os lados opostos de um [[quadrado]] sem os torcer.
* Identificando os lados opostos de um [[hexágono]] sem os torcer.

== Geometria ==
Um toro pode ser imerso no <math>\mathbb{R}^3\,</math> como uma [[superfície]] algébrica do quarto grau.

Em coordenadas paramétricas, o toro é gerado por:
:<math>x(u, v) =  (R + r \cos{v}) \cos{u} \, </math>
:<math>y(u, v) =  (R + r \cos{v}) \sin{u} \, </math>
:<math>z(u, v) =  r \sin{v} \, </math>

em que
:''u'', ''v'' estão no intervalo [0, 2π],
:''R'' é a distância do centro do tubo ao centro do toro,
:''r'' é o raio do tubo.

Em [[coordenadas cartesianas]], o toro com [[simetria de rotação]] no eixo ''z'' tem equação:
:<math>\left(R - \sqrt{x^2 + y^2}\right)^2 + z^2 = r^2, \,\!</math>
eliminando a [[raiz quadrada]], chega-se a:
:<math> (x^2+y^2+z^2 + R^2 - r^2)^2 = 4R^2(x^2+y^2) . \,\!</math>

A [[Área|área da superfície]] e o [[volume]] do interior são dados por:

:<math>A = 4 \pi^2 R r = \left( 2\pi r \right) \left( 2 \pi R \right) \,</math>
:<math>V = 2 \pi^2 R r^2 = \left( \pi r^2 \right) \left( 2\pi R \right). \,</math>

As fórmulas da área e do volume são as mesmas de um [[cilindro]], em que sua altura é o equivalente à circunferência média do toro <math>(2\pi R)</math> e o raio da base equivalente ao raio da seção transversal do toro <math>(r)</math>. Este cilindro é criado "cortando-se" o toro e estendendo-o pelo centro do tubo. As perdas em área e volume na parte interna são compensadas por ganhos na parte externa.

== Propriedades topológicas ==
{{revisão-sobre|Matemática|data=março de 2016}}
O toro é uma superfície topológica compacta, conexa e orientável, que pode ser representada por um polígono (no caso, quadrado) com uma orientação nas arestas. Esta orientação representa a identificação das arestas. Uma possível [[Triangulação (topologia)|triangulação]] do toro é dada pela figura abaixo, na qual o toro é representado pelo quadrado com os lados identificados <ref name=":0">''Hatcher, 2002''</ref> .

[[Imagem:Triangulação do Toro.svg|thumb|centro|Triangulação do Toro]]

Podemos também triangularizar o [[bitoro]], que é uma soma conexa de dois toros, triangularizando a região poligonal que o representa, que é um polígono com uma orientação nas arestas. Esta orientação determina como as arestas devem ser coladas para formar a figura topológica.<ref name=":0" /> Uma possível [[Triangulação (topologia)|triangulação]] do bitoro é dada pela figura abaixo:

[[Imagem:Bi toro.svg|thumb|Bitoro]]

[[Imagem:Triangulação do Bi-Toro.svg|thumb|centro|Triangulação do Bitoro]]

== Ver também ==
* [[Esfera (geometria)|Esfera]]
* [[Superfície]]

{{referências}}

== Bibliografia ==
* {{Citar livro |sobrenome= Kozak |nome= Ana Maria |autorlink= |coautor= Pompeya Pastorelli Sonia, Verdanega Pedro Emilio |título= Nociones de Geometria Analitica y Algebra Lineal |idioma= espanhol |editora= Mcgraw-Hill |ano=2007 |páginas= 744 |isbn= 9789701065969 }}
*{{Citar livro |sobrenome= Hatcher |nome= Allen |título= Algebraic Topology |idioma= inglês |editora=Cambridge University Press |ano=2002 |isbn=ISBN 0-521-79540-0 |notas= |url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html }}
*{{Citar livro |sobrenome=Nikulin |nome=V.V |coautor=I.R.Shafarevich |título=Geometries and Groups |idioma=inglês |editora=Springer |ano=1987 |isbn=9783540152811 }}
*{{Citar livro | sobrenome= Munkres|nome= J.|authorlink=James Munkres|título =Elementary Differential Topology, edição revisada| série= Annals of Mathematics Studies 54
 | editora=Princeton University Press|ano=1966| isbn =0-691-09093-9}}
*[http://www.mathcurve.com/surfaces/tore/tore.shtml "Tore (notion géométrique)" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables]

== Ligações externas ==
{{commonscat|Torus|Torus}}
* [http://www.cut-the-knot.org/shortcut.shtml#torus Creation of a torus]em [[Cut-the-Knot]]
* [http://www.dr-mikes-maths.com/4d-torus.html "4D torus"]Fly-through cross-sections of a four dimensional torus.
* [http://www.visumap.net/index.aspx?p=Resources/RpmOverview "Relational Perspective Map"]Visualizing high dimensional data with flat torus.
* [http://www.geometrygames.org/TorusGames/ "Torus Games"]Free downloadable games for Windows and [[Mac OS Classic|Mac OS]] X that highlight the topology of a torus.
* [http://tofique.fatehi.us/Mathematics/Polydoes/polydoes.html Polydos] {{Wayback|url=http://tofique.fatehi.us/Mathematics/Polydoes/polydoes.html |date=20120310061913 }}
* [http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATch0.pdf Hatcher, 2002]

== Galeria ==
<gallery>Solid of revolution anim.gif
Superficie tórica.svg|Superfície tórica
Ciechanow water tower.jpg|Caixa d'água toroidal na Polônia
Inside-out torus (animated, small).gif</gallery>

{{Esboço-matemática}}

[[Categoria:Topologia (matemática)]]
[[Categoria:Sólidos geométricos]]