Mostrar código-fonte de Torque

{{Mais notas|data=junho de 2021}}
{{Mecânica Clássica|Movimento rotacional}}{{Ver desambig}}
O '''torque''' ou '''binário de forças''', também conhecido como '''momento de alavanca''' ou '''momento de forças''', é uma grandeza [[Vetor (matemática)|vetorial]] da [[física]] associada às forças que produzam rotação em um corpo.<ref name= halliday-292>{{Harvnb|Halliday|2012|p=292}}</ref> Por vezes também é chamado simplesmente de "momento", termo ambíguo que pode se referir a outras grandezas, como [[momento angular]], [[momento linear]] e [[momento de inércia]].

Inicialmente, o torque é definido a partir da componente perpendicular ao eixo de rotação da força aplicada sobre um objeto, que é efetivamente utilizada para fazê-lo girar em torno de um eixo ou ponto central, conhecido como ponto pivô ou ponto de rotação. A distância do ponto pivô ao ponto onde atua uma força ‘F’ é chamada braço do momento e é denotada por ‘r’. Note que esta distância ‘r’ é também um [[Vector (espacial)|vetor]].<ref name= halliday-267>{{Harvnb|Halliday|2012|p=267}}</ref>

Em um espaço tridimensional, o vetor torque é definido como o produto vetorial, respectivamente, da posição <math>\mathbf{r}</math> em que é aplicada a força <math>\mathbf{F}</math>:<ref name= halliday-292/>

:<math>\boldsymbol \tau = \mathbf{r}\times \mathbf{F}\,\!</math>

== História ==
[[File:Lever Principle 3D.png|thumb|250px|right|Representação de uma balança com dois objetos de massas M<sub>1</sub> e M<sub>2</sub>.]]
{{Artigo principal|Alavanca}}
Assim como outros conceitos da [[mecânica clássica]], o torque tem suas origens em problemas cotidianos, especialmente no uso das alavancas. As alavancas são [[máquinas simples]] que consistem essencialmente em uma barra com um ponto de apoio que facilita o movimento de objetos. O [[filósofo]] grego [[Arquimedes]] realizou estudos sobre tais máquinas e criou a teoria das alavancas. Ele percebeu que a força aplicada a uma das extremidades da alavanca, com o intuito de mover um objeto na outra extremidade, é inversamente proporcional à distância do ponto de apoio. Ou seja, quanto mais distante a extremidade estiver do ponto de apoio, menor será a força necessária para mover o objeto. Nesse contexto histórico, Arquimedes ficou famoso ao afirmar que caso lhe dessem "um ponto de apoio e uma alavanca" seria capaz de "mover o mundo”.<ref>{{citar web|url=https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/uso-das-proporcoes-na-teoria-alavancas.htm|título=Uso das proporções na teoria de alavancas|website=Mundo Educação|ultimo=Rigonatto|nome=Marcelo|acessodata=16 de maio de 2019}}</ref>

== Introdução ==
=== Definição em módulo ===
[[File:Torque, position, and force.svg|thumb|240px|left|Decomposição da força '''F''' em duas componentes: uma perpendicular ao vetor posição '''r''', '''F'''<sub>⊥</sub>; e outra paralela a ele. Somente a componente perpendicular da força produz rotação e, por consequência, é a única que produz torque. <br>Nesta imagem, o [[Vector (matemática)|vetor]] torque aponta perpendicularmente ao plano em que ocorre a rotação, no sentido que "sai" da imagem.]]
A maçaneta de uma [[porta]] fica o mais longe possível das [[dobradiça]]s por uma boa razão. Para abrir uma porta pesada, é tão necessário aplicar uma [[força]] de módulo suficientemente grande, quanto é aplicá-la na direção perpendicular à linha que liga a maçaneta às dobradiças. Se a força for aplicada mais perto das dobradiças que a maçaneta, ou com um [[ângulo]] diferente de 90º em relação ao plano da porta, será preciso usar uma força maior para abrir a porta que se a força for aplicada à maçaneta, perpendicularmente ao plano da porta.<ref name= halliday-267/>

Para determinar o modo como '''F''' provoca uma rotação do corpo em torno do eixo de rotação, podemos separar a força em duas componentes (figura ao lado). Uma dessas componentes, a componente radial '''F'''<sub>||</sub>, tem a direção do vetor '''r'''. Essa componente '''não provoca rotações''', já que age ao longo de uma reta que passa pelo ponto do qual se origina o vetor posição '''r'''. Isto é, se uma porta for puxada ou empurrada paralelamente ao seu plano, ela não vai girar. Já a '''componente tangencial''', '''F'''<sub>⊥</sub>, é perpendicular ao vetor posição. Essa componente, portanto, '''provoca rotações''' e tem módulo <math>F_{\perp} = F \sen (\theta) </math>. Isso equivale a puxar ou empurrar uma porta perpendicularmente a seu plano, o que provoca sua rotação.<ref name= halliday-267/>

A capacidade de '''F''' fazer um corpo girar não depende apenas do módulo da componente tangencial '''F'''<sub>⊥</sub>, mas também da distância entre o ponto de aplicação de '''F''' e o ponto em que se origina o vetor '''r''', isto é, do módulo desse vetor, cujo valor é <math>r</math>. Em uma interpretação simétrica, pode-se definir a componente de '''r''' ortogonal à força '''F''' (comumente denominada '''braço de alavanca'''), simbolizada por '''r'''<sub>⊥</sub> e cujo módulo é <math>r_{\perp} = r \sen (\theta)</math>.<ref name= halliday-268>{{Harvnb|Halliday|2012|p=268}}</ref> Para levar em conta os dois fatores, em ambas as interpretações, defini-se uma grandeza chamada de torque (<math>\tau</math>) como o produto das duas grandezas de cada situação:<ref name= halliday-267/>

{{{indent|:}}}{|cellpadding="{{{cellpadding|5}}}" style="border:{{{border|2}}}px solid {{{border colour|#50C878}}};background: {{{background colour|#ECFCF4}}}; text-align: center;"
|{{{title|'''Definição de torque''' ''(módulo)''}}}
{{{equation|<math>\tau = r F_{\perp} = r_{\perp} F = r F \sen (\theta)</math>}}}
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=== Definição vetorial ===
[[File:Torque animation.gif|thumb|right|Relação dos vetores torque (<math>\boldsymbol \tau</math>), [[força]] (<math>\mathbf{F}</math>), [[momento linear]] (<math>\mathbf{p}</math>), [[momento angular]] (<math>\mathbf{L}</math>) e [[posição]] (<math>\mathbf{r}</math>).]] Inicialmente, define-se o torque <math>\tau</math> de um [[corpo rígido]] capaz de girar em torno de um [[Eixo (mecânica)|eixo]] fixo, com todas as partículas do corpo sendo forçadas a se mover em [[Movimento circular|trajetórias circulares]] com centro nesse eixo. Isto é, o movimento de cada partícula está contido em um [[plano]] específico. Para ampliar a definição de torque e o escopo de sua aplicação, de modo que uma partícula possa se mover em uma trajetória qualquer em relação a um ponto fixo (em vez de um eixo fixo) e que a trajetória não seja necessariamente circular, o torque será considerado não mais como um [[escalar]], mas sim como um [[Vector (matemática)|vetor]]. Com isso, define-se o torque como sendo o [[produto vetorial]], respectivamente, entre o vetor posição <math>\mathbf{r}</math> (referido a uma origem <math>O</math>) e a força aplicada ao corpo nessa posição <math>\mathbf{F}</math>:<ref name= halliday-292/>

{{{indent|:}}}{|cellpadding="{{{cellpadding|5}}}" style="border:{{{border|2}}}px solid {{{border colour|#50C878}}};background: {{{background colour|#ECFCF4}}}; text-align: center;"
|{{{title|'''Definição de torque''' ''(vetorial)''}}}
{{{equation|<math>\boldsymbol \tau = \mathbf{r}\times \mathbf{F}</math>}}}
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Essa definição de torque, assim como qualquer outro produto vetorial, obedece a convenção [[Dextrogiro|dextrógira]], isto é, a [[regra da mão direita]].<ref name= halliday-293>{{Harvnb|Halliday|2012|p=293}}</ref> O produto vetorial é formalmente calculado de forma análoga a um determinante, cujas linhas são formadas pelos [[versor]]es cartesianos e pelas componentes do vetor posição e do vetor força. Considerando <math>\mathbf{r} = (x,y,z)</math>, <math>\mathbf{F} = (F_x,F_y,F_z)</math>, e <math>\mathbf{i}</math>, <math>\mathbf{j}</math> e <math>\mathbf{k}</math> como os vetores unitários, respectivamente, nas direções <math>x</math>, <math>y</math> e <math>z</math>, obtém-se a seguinte expressão:<ref name= 1.3-MC-UFF>{{citar web|url=https://www.youtube.com/watch?v=bYih52Mmqvs|título=Operações com vetores|data=|acessodata=|website=Youtube|publicado=7 de outubro de 2017|ultimo=Martins|primeiro=Jorge Sá}}</ref>

:<math>\mathbf{r}\times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ x & y & z \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}</math>

Portanto, usando o [[teorema de Laplace]] para o cálculo de determinantes, o torque exercido pode ser expresso, em componentes cartesianas, das seguintes formas:

:<math>\boldsymbol \tau = \begin{vmatrix} y & z \\ F_y & F_z \end{vmatrix}\mathbf{i} - \begin{vmatrix} x & z \\ F_x & F_z \end{vmatrix}\mathbf{j} + \begin{vmatrix} x & y \\ F_x & F_y \end{vmatrix}\mathbf{k}</math>

:<math>\boldsymbol \tau =  (y F_z - z F_y)\mathbf{i} - (x F_z - z F_x)\mathbf{j} + (x F_y - y F_x)\mathbf{k} = (y F_z - z F_y, z F_x - x F_z, x F_y - y F_x)</math>

=== Unidades ===

A [[unidade de medida]] para o torque definida pelo [[Sistema Internacional de Unidades]] é o [[newton metro|newton-metro]]. Ainda que matematicamente a ordem destes fatores, "newton" e "metros", seja indiferente, o [[BIPM]] (''Bureau International des Poids et Mesures'') especifica<ref>{{citar web|url=http://www1.bipm.org/en/si/derived_units/2-2-2.html|título=SI - Unidades derivadas|website=bipm.org|acessodata=2007-01-31|arquivourl=https://web.archive.org/web/20050316054529/http://www1.bipm.org/en/si/derived_units/2-2-2.html|arquivodata=2005-03-16|urlmorta=yes}}</ref> que a ordem deve ser N·m e não m·N.

== Segunda lei de Newton para rotações ==
{{Artigo principal|Leis de Newton}}
=== Eixo fixo ===
Um torque pode fazer um corpo rígido girar, como acontece, por exemplo, quando abrimos ou fechamos uma porta. Para relacionar o '''torque resultante''' aplicado a um '''corpo rígido''' à '''aceleração angular''' a produzida por esse torque, faz-se a [[analogia]] com a segunda lei de Newton para translações (<math>F_{res}=ma</math>). No caso, o torque resultante <math>\tau_{res}</math> é análogo à [[força resultante]] <math>F_{res}</math>, a [[aceleração angular]] <math>\alpha</math> à aceleração <math>a</math>, e o [[momento de inércia]] <math>I</math> à massa <math>m</math>. Desse modo, tem-se a seguinte equação:<ref name= halliday-268/>

{{{indent|:}}}{|cellpadding="{{{cellpadding|5}}}" style="border:{{{border|2}}}px solid {{{border colour|#0073CF}}};background: {{{background colour|#F5FFFA}}}; text-align: center;"
|{{{title|'''2ª lei de Newton para rotações''' ''(eixo fixo)''}}}
{{{equation|<math>\tau_{res} = I \alpha</math>}}}
|}

:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="90%" style="text-align:left"
!Demonstração<ref name= halliday-268/><ref name= halliday-269>{{Harvnb|Halliday|2012|p=269}}</ref>
|-
|
{{Div col|2}}
Consideremos uma situação simples na qual uma partícula de massa <math>m</math> gira em torno de um ponto central em uma órbita de raio <math>r</math>. Supondo que, mesmo sob a ação de uma força <math>\mathbf{F}</math>, a partícula esteja confinada a girar apenas em torno desse eixo, perpendicular ao plano do movimento e que passa pelo ponto central. A partícula, então, descreve uma trajetória circular acelerada em torno desse ponto. 

Como apenas a componente <math>\mathbf{F_{\perp}}</math> da força <math>\mathbf{F}</math> produz torque, ele pode ser escrito, em módulo, como:

:<math>\tau = r F_{\perp}</math>

A força <math>F_{\perp}</math> produz uma aceleração <math>a_{\perp}</math> na direção tangente à trajetória circular. Então, pela segunda lei de Newton para translações:

:<math>F_{\perp} = m a_{\perp}</math>

Lembrando que a '''aceleração tangencial''' se relaciona à '''aceleração angular''' <math>\alpha</math> por <math>a_{\perp} = \alpha r</math>, unem-se todas as equações para obter o seguinte resultado:

:<math>\tau = r F_{\perp} = r (m a_{\perp}) = m r (\alpha r) = (m r^2) \alpha</math>

O fator <math>m r^2</math> nessa equação é o '''momento de inércia''' <math>I</math> associado a uma '''partícula'''. Portanto:

:<math>\tau = I \alpha</math>

Para generalizar essa equação para um '''corpo rígido''' de <math>n</math> partículas que gira em torno de um eixo fixo, basta somar os torques sofridos por cada partícula. Como a aceleração angular é sofrida igualmente por todas as partículas, resulta que o '''torque resultante''' está relacionado ao '''momento de inércia do corpo rígido'''. Dessa forma:

:<math>\tau_{res} = \sum_{i=1}^{n} \tau_i = \sum_{i=1}^{n} I_i \alpha =  (\sum_{i=1}^{n} m_i r_i^2) \alpha</math>

Como o momento de inércia <math>I</math> do corpo rígido, como um todo, é tal que <math>I = \sum_{i=1}^{n} m_i r_i^2</math>, temos que:

{{{indent|:}}}{|cellpadding="{{{cellpadding|5}}}" style="border:{{{border|2}}}px solid {{{border colour|#000000}}};background: {{{background colour|#f5f5f5}}}; text-align: center;"
{{Div col fim}}
|{{{title|}}}
{{{equation|<math>\tau_{res} = I \alpha</math>}}}
|}
|}

=== Forma geral ===
Caso o torque resultante não seja paralelo à aceleração angular, a relação entre as duas grandezas vetoriais não será dada através de um número, o momento de inércia, mas sim por um [[tensor]], conhecido como o '''tensor de inércia'''.

{{{indent|:}}}{|cellpadding="{{{cellpadding|5}}}" style="border:{{{border|2}}}px solid {{{border colour|#0073CF}}};background: {{{background colour|#F5FFFA}}}; text-align: center;"
|{{{title|'''2ª lei de Newton para rotações''' ''(forma geral)''}}}
{{{equation|<math>\boldsymbol \tau_{res} = \mathbf{I} \boldsymbol \alpha \Leftrightarrow \begin{pmatrix} \tau_x \\ \tau_y \\ \tau_z  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
    I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\
    I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\
    I_{zx} & I_{zy} & I_{zz}
  \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \alpha_x \\ \alpha_y \\ \alpha_z  \end{pmatrix}</math>}}}
|}

Nesta equação matricial, cada entrada de <math>\mathbf{I}</math> é denominada [[produto de inércia]], dados pelas seguintes expressões sobre uma distribuição de massa de um corpo <math>C</math>:
{{Div col|2}}
:<math>I_{xx} = \int_{C} \left(y^2 + z^2 \right) dm</math>
:<math>I_{yy} = \int_{C} \left(x^2 + z^2 \right) dm</math>
:<math>I_{zz} = \int_{C} \left(x^2 + y^2 \right) dm</math>


:<math>I_{xy} = I_{yx} = \int_{C} \left(-xy \right) dm</math>
:<math>I_{xz} = I_{zx} = \int_{C} \left(-xz \right) dm</math>
:<math>I_{yz} = I_{zy} = \int_{C} \left(-yz \right) dm</math>
{{Div col fim}}

=== Relação com o momento angular ===
O '''torque resultante''' (referido a uma particular origem <math>O</math>) sofrido por uma partícula também pode ser expresso como sendo a '''derivada temporal do momento angular''' (referido à mesma origem). Considerando <math>\mathbf{L}</math> como o vetor [[momento angular]] da partícula, escreve-se matematicamente:<ref name= halliday-297>{{Harvnb|Halliday|2012|p=297}}</ref>

{{{indent|:}}}{|cellpadding="{{{cellpadding|5}}}" style="border:{{{border|2}}}px solid {{{border colour|#0073CF}}};background: {{{background colour|#F5FFFA}}}; text-align: center;"
|{{{title|'''2ª lei de Newton para rotações''' ''(momento angular)''}}}
{{{equation|<math>\boldsymbol \tau_{res} = \frac{d \mathbf{L}}{dt}</math>}}}
|}

:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="70%" style="text-align:left"
!Demonstração<ref name= halliday-297/><ref name= halliday-298>{{Harvnb|Halliday|2012|p=298}}</ref>
|-
|
{{Div col|2}}
Tomando a definição de momento angular:

:<math>\boldsymbol L = \mathbf{r}\times \mathbf{p}\,\!</math>

Em que <math>\mathbf{p}</math> é o momento linear da partícula. Derivando essa expressão através da regra da cadeia, obtém-se:

:<math>\frac{d \mathbf{L}}{dt} = \frac{d}{dt} \left(\mathbf{r}\times \mathbf{p} \right) = \frac{d \mathbf{r}}{dt}\times \mathbf{p} + \mathbf{r}\times \frac{d \mathbf{p}}{dt}</math>

Pela segunda lei de Newton para translações, <math>\frac{d \mathbf{p}}{dt} = \mathbf{F}_{res}</math>. Como <math>\frac{d \mathbf{r}}{dt} = \mathbf{v}</math>, a velocidade da partícula e <math>\mathbf{v}</math> é paralelo a <math>\mathbf{p}</math>, <math>\frac{d \mathbf{r}}{dt}\times \mathbf{p} = \mathbf{v}\times \mathbf{p} = 0</math>. Dessa forma:

:<math>\frac{d \mathbf{L}}{dt} = \mathbf{r}\times \mathbf{F}_{res}</math>

Logo:

{{{indent|:}}}{|cellpadding="{{{cellpadding|5}}}" style="border:{{{border|2}}}px solid {{{border colour|#000000}}};background: {{{background colour|#f5f5f5}}}; text-align: center;"
{{Div col fim}}
|{{{title|}}}
{{{equation|<math>\boldsymbol \tau_{res} = \frac{d \mathbf{L}}{dt}</math>}}}
|}
|}

== Equilíbrio de rotação ==
{{Artigo principal|Estática}}
Diz-se que um corpo rígido (como uma [[alavanca]], por exemplo) está em equilíbrio quando a soma vetorial de todos os seus momentos de torque forem o [[vetor nulo]].

{{{indent|:}}}{|cellpadding="{{{cellpadding|5}}}" style="border:{{{border|2}}}px solid {{{border colour|#FF0000}}};background: {{{background colour|}}}; text-align: center;"
|{{{title|'''Condição de equilíbrio de rotação'''}}}
{{{equation|<math>\boldsymbol \tau_{res} = \sum_{i=1}^{n} \boldsymbol{\tau}_{i} = \mathbf{0}</math>}}}
|}

== Exemplos envolvendo torque ==
=== Bloco pendurado por disco ===
{{Imagem dupla|right|Disco-bloco-pendurado.png|200|Disco-bloco-pendurado-diagrama.png|130|Bloco pendurado por uma corda enrolada em um disco.|Diagrama de forças referente ao problema.}}
Tomemos um disco homogêneo, de massa <math>M</math> e raio <math>R</math>, montado em um eixo horizontal fixo; e um bloco de massa <math>m</math> pendurado por uma [[corda]] (de massa desprezível) enrolada na borda do disco. Conhecidos os valores desses parâmetros e usando as leis de Newton para [[translação]] e para [[rotação]] é possível determinar a aceleração do bloco em queda, a aceleração angular do disco e a tensão da corda, contanto que seja considerado que a corda não escorrega e que não há [[atrito]] no eixo.<ref name= halliday-269/>

Por um lado, considerando o bloco como um sistema, pode-se relacionar a aceleração às forças que agem sobre o bloco através da segunda lei de Newton para translação (<math>F_{res}=ma</math>). Por outro, ao considerar o disco como um sistema, relaciona-se a aceleração angular <math>\alpha</math> ao torque que age sobre o disco através da segunda lei de Newton para rotação (<math>\tau_{res}=I\alpha</math>). Por fim, para combinar os movimentos do bloco e do disco, utiliza-se do fato de que a aceleração linear do bloco e a aceleração linear (tangencial) da borda do disco são iguais, sendo representadas por <math>a</math>.<ref name= halliday-269/>

As forças atuantes estão representadas no diagrama de corpo livre do sistema. A força de tensão na corda é <math>T</math> e o peso do bloco é <math>P</math>, cujo módulo é <math>P = mg</math>. Podemos escrever a segunda lei de Newton para as componentes ao longo de um eixo vertical y (<math>F_{res,y} = m a_y</math>) como:<ref name= halliday-269/>

:<math>F_{res} = ma \implies T - mg = ma</math>      <math>(1)</math>

Entretanto, não é possível obter o valor de <math>a</math> usando apenas esta equação porque ela também contém a incógnita <math>T</math>. Comumente em problemas de mecânica, quando se esgotam as conclusões a serem tiradas acerca das forças em um eixo (no caso, o eixo y), observa-se as forças de outros eixos (como o eixo x) para obter mais equações e formar um [[sistema de equações|sistema]]. Da mesma forma, pode ser útil usar as condições de rotação do disco para formar tal sistema.<ref name= halliday-269/><ref name= halliday-270>{{Harvnb|Halliday|2012|p=270}}</ref>

Para calcular os torques e o momento de inércia, usamos o fato de que o eixo de rotação é perpendicular ao disco e passa pelo seu centro. Nesse caso, os torques são dados pela equação <math>\tau = r F_{\perp}</math>. A força peso do disco e a força do eixo agem sobre o centro do disco e, portanto, a uma distância <math>r = 0</math>, de modo que o torque produzido por essas forças seja nulo. A força <math>T</math> exercida pela corda sobre o disco age a uma distância <math>r = R</math> do eixo e é tangente à borda do disco. Assim, a força produz um torque <math>\tau = -RT</math>, negativo pois o torque tende a fazer o disco girar no [[sentido horário]] (lembrando que a regra da mão direita estabelece o [[sentido anti-horário]] de rotação como positivo). O momento de inércia do disco é <math>I = M R^2/2</math>. 

Assim, escreve-se a equação <math>\tau_{res}=I\alpha</math> da seguinte forma:<ref name= halliday-270/>

<center><math>\tau_{res} = I\alpha \implies -RT = \frac{M R^2}{2} \alpha \implies T = - \frac{1}{2} M \alpha R</math></center>

Como a aceleração linear do bloco e a aceleração tangencial do disco são iguais, é válida a equação <math>a=\alpha R</math>. Substituindo este valor na equação anterior, obtém-se:<ref name= halliday-270/>

<center><math> T = - \frac{1}{2} Ma</math> <math>(2)</math></center>

Substituindo a equação (2) na equação (1), encontra-se a aceleração obtida pelo corpo:<ref name= halliday-270/>
<center>
<math>- \frac{1}{2} Ma - mg = ma \implies \left(m + \frac{1}{2} M \right) a = - mg</math>

{{{indent|:}}}{|cellpadding="{{{cellpadding|5}}}" style="border:{{{border|2}}}px solid {{{border colour|#000000}}};background: {{{background colour|#f5f5f5}}}; text-align: center;"
|{{{title|}}}
{{{equation|<math> a = -\frac{mg}{m + \frac{1}{2} M} = -\frac{g}{1+\frac{M}{2m}}</math>}}}
|}
</center>

Com esse resultado também é possível obter o valor da tração na corda, substituindo esta equação na equação (2):
<center>
<math> T = - \frac{1}{2} M \left(- \frac{mg}{m + \frac{1}{2} M}\right)</math>

{{{indent|:}}}{|cellpadding="{{{cellpadding|5}}}" style="border:{{{border|2}}}px solid {{{border colour|#000000}}};background: {{{background colour|#f5f5f5}}}; text-align: center;"
|{{{title|}}}
{{{equation|<math> T = \frac{Mmg}{2m + M} = \frac{g}{\frac{2}{M}+\frac{1}{m}}</math>}}}
|}
</center>

Por fim, pela definição de aceleração angular (<math>\alpha=a/R</math>) e pela definição de torque (<math>\tau=-R T</math>), utilizadas no problema, tem-se os valores dessas duas grandezas:

<center>
<math>\alpha = \frac{1}{R} \left(-\frac{mg}{m + \frac{1}{2} M} \right)</math>

{{{indent|:}}}{|cellpadding="{{{cellpadding|5}}}" style="border:{{{border|2}}}px solid {{{border colour|#000000}}};background: {{{background colour|#f5f5f5}}}; text-align: center;"
|{{{title|}}}
{{{equation|<math> \alpha = -\frac{mg}{R(m + \frac{1}{2} M)} = -\frac{g}{R(1+\frac{M}{2m})}</math>}}}
|}

<math>\tau = -R \left(\frac{Mmg}{2m + M} \right)</math>

{{{indent|:}}}{|cellpadding="{{{cellpadding|5}}}" style="border:{{{border|2}}}px solid {{{border colour|#000000}}};background: {{{background colour|#f5f5f5}}}; text-align: center;"
|{{{title|}}}
{{{equation|<math> \tau = - \left(\frac{MmgR}{2m + M} \right) = - \frac{gR}{\frac{2}{M}+\frac{1}{m}}</math>}}}
|}
</center>

== Cálculos de Forças ==
[[Imagem:Torque vetor.png|thumb|500px|left|center|O deslocamento de uma força para um ponto fora da sua linha de ação introduz um torque <math>\tau</math>]]
Uma forma mais geral e simples de somar qualquer tipo de forças consiste em deslocá-las todas para um mesmo ponto, mas por cada força <math>\vec F</math> deslocada, deverá ser adicionado um torque, igual ao produto do módulo da força e o braço em relação ao ponto onde foi deslocada. A figura ao lado mostra uma força <math>\vec F</math> aplicada num ponto P, que queremos deslocar para a origem O.

O vetor posição <math>\vec r</math> do ponto P tem módulo r e faz um ângulo <math>\theta</math> com a força <math>\vec F</math> O braço da força em relação a O, que é a distância entre O e a linha de ação da força, é igual a ''r'' sin <math>\theta</math> e, portanto, o torque da força em relação a O é:

{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="3" align="center" width=10%
|<math>\tau = F\;r\;sin\theta</math>
|}

Repare que <math>(F\;sin\theta)</math> é a componente da força na direção perpendicular ao vetor posição <math>\vec r</math> e, assim, podemos dizer que o torque é produzido unicamente pela componente da força perpendicular ao deslocamento, e o valor do torque é igual ao valor absoluto da componente perpendicular da força, vezes a distância r que foi deslocada. O produto denomina-se produto vetorial entre os vetores <math>\vec r</math> e <math>\vec F</math>. No caso da soma das forças paralelas, o deslocamento das forças para o ponto S introduz dois torques, <math>(\tau_1 = F_1d_1)</math> e <math>(\tau_2 = F_2d_2)</math> os dois torques anulam-se e a resultante das duas forças, do ponto S, é a força F, sem nenhum torque. É importante também ter em conta o sentido de cada torque. A rotação produzida por <math>\vec F</math> quando for deslocada para a origem será sempre no plano definido por <math>\vec r</math> e <math>\vec F</math>. Se designarmos esse plano por xy, uma forma conveniente de representar os dois sentidos possíveis do torque é por meio dos [[Vetor unitário|versores]] <math>\vec e_z</math> e <math>-\vec e_z</math> Assim, podemos definir o vetor torque <math>\vec \tau</math> usando a expressão vetorial:

{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="3" align="center" width=10%
|<math>\vec \tau = \vec r \times \vec F</math>
|}

em que <math> \vec r \times \vec F</math> é, por definição, um vetor com módulo dado pela equação <math>\tau = F\;r\;sin\theta</math> , direção perpendicular ao plano definido por <math>\vec r</math> e <math>\vec F</math> e sentido dado pela [[Regra de Fleming|regra da mão direita]]: afastando os dedos polegar, indicador e médio da mão direita, se o indicador aponta no sentido de <math> \vec r </math> e o dedo médio no sentido de <math>\vec F</math>, o sentido de <math>\vec \tau </math> é dado pelo dedo polegar. É de salientar que com essa definição, o produto vetorial não é comutativo; <math>(\vec a \times \vec b)</math> e <math>(\vec b \times \vec a)</math> são vetores com o mesmo módulo e direção, mas com sentidos opostos. Como o ângulo de um vetor consigo próprio é zero, o produto <math>\vec a \times \vec a</math> é sempre nulo. Em particular:

<math>\vec e_x \times \vec e_x = \vec e_y \times \vec e_y = 0 </math>

O produto de dois versores perpendiculares é outro versor perpendicular a eles. Assim, temos que:

<math>(\vec e_x \times \vec e_y = \vec e_z)</math> e <math>(-\vec e_y \times \vec e_x = \vec e_z)</math> .

Consequentemente, escolhendo eixos em que os vetores r e F só tenham componentes x e y, obtemos o seguinte resultado útil para calcular produtos vetoriais:

{| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" align="center" width=30%
|<math>\vec \tau = \begin{vmatrix}x & y \\ F_x & F_y\end{vmatrix}\vec e_z = (xF_y - yF_x)\vec e_z </math>
|}

Concluiremos para o fato de que, em contraste com as forças, os torques sim são vetores livres. O mesmo torque aplicado em qualquer ponto de um objeto produz o mesmo efeito. Uma força e um torque perpendicular a ela são sempre equivalentes à força, sem torque, atuando em outro ponto diferente. Isto é, deslocando a força na direção e distância apropriada, podemos introduzir um torque igual e oposto ao que queremos anular; como os dois torques são vetores livres, somam-se dando um torque nulo. O ponto de aplicação da resultante de várias forças é o ponto onde podemos somá-las produzindo um torque resultante nulo.<ref name= Villate>Trechos que usam material da obra {{Citar livro|ultimo=Villate|primeiro=Jaime E|ano=2013|título=Dinâmica e Sistemas Dinâmicos|isbn=978-972-99396-1-7|local=Porto|capítulo=6: Dinâmica dos corpos rígidos|url=http://def.fe.up.pt/pt/Din%C3%A2mica_dos_corpos_r%C3%ADgidos|acessodata=8 de junho de 2013}} Disponibilizada nos termos da [http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/ Creative Commons Attribution Share Alike 3.0].</ref>

== Momento e Binários ==
{{Mais notas|data=janeiro de 2019}}
[[Imagem:Binário..png|thumb|left|450px|Binário]]

[[Imagem:Momento de uma força..png|thumb|400px|Momento de uma força]]A '''regra das alavancas''' pode ser explicada introduzindo o conceito de momento. Define-se o valor do '''momento  de uma força''' em relação a um ponto O, como o produto do módulo da força pela distância desde o ponto O até a linha de ação da força (braço <math>b</math>),

<math>
M_\mathrm{O} = F\,b
</math>

O momento <math>M_\mathrm{O}</math> representa o efeito de rotação produzido pela força, se o ponto O do corpo rígido estivesse fixo, podendo o corpo rodar à volta desse ponto.<ref name= Villate/>

Quanto mais afastada estiver a linha de ação da força em relação ao ponto fixo O, maior será o efeito rotativo produzido pela força. Isso explica porquê é mais fácil fechar a porta quanto mais longe das dobradiças for aplicada a força; a distância entre a linha de ação da força e a linha das dobradiças é o braço e quanto maior for, maior será o momento da força aplicada.

Sendo <math>\vec{r}</math> o vetor posição do ponto P em que a força <math>\vec{F}</math> é aplicada, em relação à origem O, o braço da força em relação à origem O é igual a <math>r\,\sin\theta</math>, em que o ângulo <math>\theta</math> é o ângulo entre os vetores <math>\vec{r}</math> e <math>\vec{F}</math> (figura ao lado).<ref name=Villate/>

Conclui-se que valor do momento da força em relação ao ponto O é igual a,

<math>
M_\mathrm{O} = F\,r\,\sin\theta
</math>

Repare-se que (<math>F\,\sin\theta</math>) é a componente da força na direção perpendicular ao vetor posição <math>\vec{r}</math>, ou seja, o valor do momento da força é também igual ao produto da distância desde o ponto de aplicação até a origem, <math>r</math>, pela componente perpendicular da força. O momento produzido pela força é devido unicamente à componente perpendicular da força.<ref name=Villate/>

A equação acima mostra que o momento da força é igual ao módulo do produto vetorial entre o vetor posição e a força e mostra a conveniência de definir o momento em forma vetorial:

<math>
\vec{M}_\mathrm{O} = \vec{r}\times\vec{F}
</math>

O vetor <math>\vec{M}_\mathrm{O}</math> representa um efeito de rotação num plano perpendicular a ele.

Na figura anterior o momento é um vetor que aponta para fora da figura e costuma ser representado por uma seta circular, no sentido da rotação que segue a regra da mão direita em relação ao sentido do vetor <math>\vec{M}_\mathrm{O}</math>.

Um binário é um conjunto de duas forças <math>\vec{F}</math> e <math>-\vec{F}</math>, iguais e opostas, com linhas de ação paralelas, como mostra a figura ao lado.

O binário não produz nenhuma translação em nenhum sentido, mas apenas rotação. O momento total, em relação à origem O, é a soma dos momentos das duas forças,

<math>
\vec{r}_\mathrm{Q}\times\vec{F} - \vec{r}_\mathrm{P}\times\vec{F} = (\vec{r}_\mathrm{Q} - \vec{r}_\mathrm{P})\times\vec{F}
</math>

Os dois vetores de posição dos pontos Q e P dependem da escolha da origem, mas a sua diferença é o vetor <math>\vec{r}_\mathrm{PQ}</math> na figura, que não depende do ponto onde estiver a origem.

Isso quer dizer que o binário produz um momento que não depende de nenhum ponto de referência,

<math>
\vec{M} = \vec{r}_\mathrm{PQ}\times\vec{F}
</math>

Na figura abaixo o momento do binário é um vetor para fora da figura, representado pela seta circular no sentido anti-horário.

[[Imagem:Procedimento para deslocar uma força de um ponto P para outro ponto Q.png|thumb|center|550px|Procedimento para deslocar uma força de um ponto P para outro ponto Q]]

Uma força <math>\vec{F}</math> aplicada num ponto P pode ser deslocada para outro ponto Q, fora da sua linha de ação, usando o procedimento ilustrado na figura acima.

Adicionam-se duas forças <math>-\vec{F}</math> e <math>\vec{F}</math> nos pontos P e Q e, para não alterar nada, adiciona-se também um binário <math>\vec{M}</math> com o mesmo módulo do binário das forças introduzidas, mas no sentido oposto.

No caso da figura anterior, <math>M</math> deve ser no sentido horário e com módulo igual ao produto de <math>F</math> pela distância desde Q até a linha de ação da força original; ou, em forma vetorial, <math>\vec{M}=\vec{r}_\mathrm{QP}\times\vec{F}</math>.

No ponto P há duas forças iguais e opostas que se anulam, ficando no fim a força <math>\vec{F}</math> no ponto Q e o binário <math>\vec{M}=\vec{r}_\mathrm{QP}\times\vec{F}</math> que é igual ao momento <math>\vec{M}_Q</math> que a força original, em P, produz em relação ao ponto Q.

Conclui-se que para somar um conjunto de forças num ponto Q, somam-se os momentos das forças em relação a esse ponto, dando um binário resultante, e somam-se as forças como vetores livres. O resultado é a força resultante no ponto Q e o binário resultante.

Quando as direções de todas as forças estiverem num mesmo plano, será conveniente definir dois dos eixos coordenados nesse plano, por exemplo <math>x</math> e <math>y</math> e a origem no ponto onde vão ser somadas as forças. Assim sendo, o momento de cada força <math>\vec{F}</math> em relação à origem introduz um binário que tem unicamente componente segundo <math>z</math>, dada pelo determinante,

<math>
M_z = \left| \begin{array}{cc}x & y \\ F_x & F_y \end{array} \right|
</math>

em que <math>x</math> e <math>y</math> são as coordenadas do ponto onde está a ser aplicada a força <math>\vec{F}</math>.

Para obter o binário resultante bastará somar os valores de <math>M_z</math> obtidos para cada força.<ref name=Villate/>

==Ver também==

* [[Impulso]]
* [[Movimento circular uniforme]]
* [[Binário do motor]] 

{{Referências|col=2}}

== Bibliografia ==
* {{citar livro|nome=David|sobrenome=Halliday|título=Fundamentos de Física Volume 1 - Mecânica (9ª ed)|editora=LTC - Livros Técnicos e Científicos|ano=2012|local=Rio de Janeiro, RJ|url=|ref=harv}}

{{Portal3|Ciência|Física|Engenharia}}
{{Controle de autoridade}}

[[Categoria:Mecânica clássica]]
[[Categoria:Grandezas físicas]]
[[Categoria:Rotação]]