Mostrar código-fonte de Transformação fracionária linear

Em [[matemática]], uma '''transformação fracionária linear''' é, a grosso modo, uma transformação da forma

: <math>z \mapsto \frac{az + b} {cz + d},</math>

que tem um [[Função inversa|inverso]].<ref>{{citar web|url=https://webpages.uncc.edu/ghetyei/courses/old/S14.6118/fraclin.pdf|titulo=Fractional linear transformations|data=|acessodata=|publicado=|ultimo=|primeiro=}}</ref>  As transformações fracionais lineares são amplamente utilizadas em várias áreas da matemática e suas aplicações na [[engenharia]], como [[Geometria|geometria clássica]], [[teoria dos números]]<ref>{{citar web|url=https://arxiv.org/pdf/1009.4827.pdf|titulo=Edinburgh Lectures on Geometry, Analysis and Physics|data=24 de setembro de 2010|acessodata=|publicado=arXiv:1009.4827v1 [math.AG]|ultimo=Atiyah|primeiro=M}}</ref> (elas são usadas, por exemplo, na [[Resolução do último teorema de Fermat|prova de Wiles do último teorema de Fermat]])<ref>{{citar web|url=https://authors.library.caltech.edu/88612/1/2012_Book_NumberTheoryAnalysisAndGeometr.pdf|titulo=Number Theory, Analysis and Geometry|data=2012|acessodata=|publicado=Springer New York Dordrecht Heidelberg London|ultimo=|primeiro=|isbn=978-1-4614-1259-5|doi=10.1007/978-1-4614-1260-1}}</ref>, [[teoria dos grupos]]<ref>{{Citar periódico|ultimo=Dickson|primeiro=Leonard Eugene|data=1901|titulo=Theory of Linear Groups in An Arbitrary Field|url=http://www.jstor.org/stable/1986251|jornal=Transactions of the American Mathematical Society|volume=2|numero=4|paginas=363–394|doi=10.2307/1986251|issn=0002-9947}}</ref> e [[teoria de controle]].<ref>{{citar web|url=https://www.research.manchester.ac.uk/portal/files/54521432/FULL_TEXT.PDF|titulo=ON THE CHOICE OF THE UNCERTAINTY STRUCTURE IN ROBUST CONTROL PROBLEMS–A DISTANCE MEASURE APPROACH|data=2012|acessodata=|publicado=UNIVERSITY OF MANCHESTER|ultimo=ENGELKEN|primeiro=S}}</ref><ref>{{Citar periódico|ultimo=Havens|primeiro=Christopher|ultimo2=Barbero|primeiro2=Stefano|ultimo3=Cerruti|primeiro3=Umberto|ultimo4=Murru|primeiro4=Nadir|data=2020-01-29|titulo=Linear fractional transformations and nonlinear leaping convergents of some continued fractions|url=https://doi.org/10.1007/s40993-020-0187-5|jornal=Research in Number Theory|lingua=en|volume=6|numero=1|paginas=11|doi=10.1007/s40993-020-0187-5|issn=2363-9555}}</ref>

A definição precisa depende da natureza de {{math|''a'', ''b'', ''c'', ''d''}}, e {{mvar|z}}.Em outras palavras, uma [[Transformação (função)|transformação]] fracionária linear é uma transformação representada por uma fração cujo numerador e denominador são [[Função polinomial|lineares]].<ref>{{citar web|url=http://math.gmu.edu/~dwalnut/teach/Math313/Fall10/Sec.17.2.pdf|titulo=Section 17.2. Linear Fractional Transformations|data=|acessodata=|publicado=|ultimo=|primeiro=}}</ref>

Na configuração mais básica, {{math|''a'', ''b'', ''c'', ''d''}}, e ''z'' são [[Número complexo|números complexos]] (nesse caso, a transformação também é chamada de [[transformação de Möbius]])<ref>{{citar web|url=https://johno.dk/mathematics/moebius.pdf|titulo=The Geometry of Möbius Transformations|data=2010|acessodata=|publicado=University of Rochester|ultimo=|primeiro=}}</ref>, ou mais geralmente elementos de um [[Corpo (matemática)|campo]]. A condição de inversibilidade é então {{math|''ad'' – ''bc'' ≠ 0}}.Sobre um campo, uma transformação fracionária linear é a [[Restrição de função|restrição]] ao campo de uma [[Homografia|transformação projetiva]] ou homografia da [[Reta projetiva|linha projetiva]].

Quando {{math|''a'', ''b'', ''c'', ''d''}}  são [[Número inteiro|inteiros]] (ou, geralmente, pertencem a um [[domínio integral]]), {{mvar|z}} deve ser um [[número racional]] (ou pertencer ao [[corpo de frações]] do domínio integral. Nesse caso, a condição de inversibilidade é que {{math|''ad'' – ''bc''}} deve ser uma unidade do domínio (que é 1 ou -1 no caso de números inteiros).<ref>{{Citar periódico|ultimo=Young|primeiro=N. J.|data=1984-01-01|titulo=Linear fractional transformations in rings and modules|url=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0024379584901319|jornal=Linear Algebra and its Applications|lingua=en|volume=56|paginas=251–290|doi=10.1016/0024-3795(84)90131-9|issn=0024-3795}}</ref>

Na configuração mais geral, a, b, c, d e z são [[matrizes quadradas]] ou, mais geralmente, elementos de um [[Anel (matemática)|anel]]. Um exemplo dessa transformação fracionária linear é a [[transformada de Cayley]], que foi originalmente definida no anel matricial real 3 x 3.

{{referências}}
{{Esboço-matemática}}

{{Funções}}
{{Portal3|Matemática}}

{{DEFAULTSORT:Transformação fracionária linear}}
[[Categoria:Funções matemáticas]]
[[Categoria:Teoria dos conjuntos]]