Mostrar código-fonte de Transformação natural (teoria das categorias)

Na [[matemática]], mais precisamente [[teoria das categorias]], uma '''transformação natural''' entre [[functor]]es paralelos <math>F, G : C \rightarrow D</math> é uma coleção de morfismos <math>F(X) \rightarrow G(X)</math> satisfazendo certas condições. O conceito pode ser usado para dar um significado rigoroso a expressões como "natural" e "canônico".<ref name=aluffiDef>{{harv | Aluffi | loc=§VIII.1.5}}</ref>

==Definição==
Se <math>F, G</math> são functores entre categorias <math>C</math> e <math>D</math>, uma ''transformação natural'' <math>\eta : F \dot{\rightarrow} G</math> é uma família de morfismos <math>\eta_X : F(X) \rightarrow G(X)</math> para cada objeto <math>X</math> de <math>C</math>, chamados ''componentes'', satisfazendo, para cada morfismo <math>f : X \rightarrow Y</math> em <math>C</math> a ''condição de naturalidade'':

<math display="block">\eta_Y \circ F(f) = G(f) \circ \eta_X .</math>

Pode-se expressar essa igualdade como o [[diagrama comutativo]]:

[[Imagem:Natural_Transformation_between_two_functors.svg|400px|center]]

Quando isso vale, diz-se que <math>\eta_X : F(X) \rightarrow G(X)</math> é '''natural''' em <math>X</math>; essa expressão deixa implícita a ação dos functores nos morfismos da categoria {{math|''C''}}.<ref name=riehlDef>{{harv | Riehl | loc=§1.4}}</ref> As notações <math>\eta : F \Rightarrow G</math> e <math>\eta : F \rightsquigarrow G</math> também são usadas.<ref name=aluffiDef />

Um isomorfismo natural é uma transformação natural cujas componentes são [[isomorfismo (teoria das categorias)|isomorfismo]]s.<ref>{{harv | Mac Lane | loc=§I.4}}</ref>

==Categorias de functores==
Dadas categorias <math>C, D</math>, temos a '''categoria dos functores''' <math>D ^C</math>, cujos objetos são os functores <math>C \rightarrow D</math>, e cujos morfismos são as transformações naturais entre esses functores.<ref>{{harv | Mac Lane | loc=§II.4}}</ref>

===Composições vertical e horizontal===
A composição de morfismos em <math>D ^C</math> é chamada '''composição vertical'''; dadas transformações naturais <math>\sigma : F \dot\rightarrow G</math>, <math>\tau : G \dot\rightarrow H</math>, temos que <math>\tau \cdot \sigma</math> tem componentes

<math display="block">(\tau \cdot \sigma)_X = \tau_X \circ \sigma_X</math>

Também há a '''composição horizontal'''; dadas transformações naturais <math>\tau : S \dot\rightarrow T</math>, <math>\tau' : S' \dot\rightarrow T'</math>, temos que <math>\tau' \circ \tau : S' S \dot\rightarrow T' T</math> tem componentes

<math display="block">(\tau' \circ \tau)_X = T'(\tau_X) \circ \tau'_{S(X)} = \tau'_{T(X)} \circ S'(\tau_X)</math>

A segunda igualdade acima é consequência da condição de naturalidade.

Há seguinte relação entre os dois tipos de composição: <math>(\tau' \cdot \sigma') \circ (\tau \cdot \sigma) = (\tau' \circ \tau) \cdot (\sigma' \circ \sigma)</math>.<ref>{{harv | Mac Lane | loc=§II.5}}</ref>

==Exemplos==
* Há morfismo natural de cada [[espaço vetorial]] (sobre um corpo qualquer) ao [[espaço dual]] de seu dual. Mais precisamente, os mapeamentos {{math|ap<sub>''V''</sub> : ''V'' → ''V''<sup>∗∗</sup>}}, para cada espaço vetorial {{math|''V''}}, definidos por {{math|ap<sub>''V''</sub>(''v'') {{=}} (''f'' ∈ ''V''<sup>∗</sup>) ↦ ''f''(''v'')}}, formam uma transformação natural {{math|1 ⇒ (_)<sup>∗∗</sup>}}; a condição de naturalidade refere-se à igualdade<math display="block">
\phi^{\ast\ast} \circ \mathrm{ap}_V = \mathrm{ap}_W \circ \phi
</math>para cada mapeamento linear {{math|''φ'' : ''V'' → ''W''}}, onde {{math|''φ''<sup>∗∗</sup>(''Λ'' ∈ ''V''<sup>∗∗</sup>) {{=}} (''g'' ∈ ''W''<sup>∗</sup>) ↦ ''Λ''(''g'' ∘ ''φ'')}}.
* A única transformação natural {{math|1 ⇒ ''F''}}, em que {{math|''F''}} é o functor na categoria dos espaços vetoriais definido por<math display="block">
F(V \xrightarrow{\phi} W) = V \otimes V \xrightarrow{v \otimes v' \mapsto \phi(v) \otimes \phi(v')} W \otimes W
</math>em que <math>\otimes</math> denota o [[produto tensorial]], é aquela cujas componentes são os mapeamentos nulos. Intuitivamente, qualquer definição de mapeamento linear não nulo {{math|''V'' → ''V'' ⊗ ''V''}} "depende" de um base para {{math|''V''}}, logo não pode ser feita ''naturalmente'' para todos os espaços vetoriais.<ref name=riehlDef>{{harv | Riehl | loc=§1.4}}</ref>
* Avaliação de funções em elementos de um conjunto fixo {{math|''S''}} é uma transformação natural.  Mais precisamente, denotando-se por {{math|''X''<sup>''S''</sup>}} o conjunto de funções {{math|''S'' → ''X''}}, as avaliações {{math|''e''<sub>''X''</sub> : ''X''<sup>''S''</sup> × ''S'' → ''X''}}, para cada {{math|''X''}} conjunto, definidas por {{math|''e''<sub>''X''</sub>(''h'', ''s'') {{=}} ''h''(''s'')}}, formam uma transformação natural {{math|(_)<sup>''S''</sup> × ''S'' ⇒ 1}}.<ref name=maclaneExerc>{{harv | Mac Lane | loc=§I.4, exercício 1}}</ref>
* O [[teorema da representação de Riesz–Markov–Kakutani]] pode ser expressado como um isomorfismo natural entre functores levando espaços [[espaço compacto|compactos]] de [[espaço de Hausdorff|Hausdorff]] a [[espaço de Banach|espaços de Banach]].<ref name=riehlDef>{{harv | Riehl | loc=§1.4}}</ref>

{{Referências}}

==Bibliografia==
* {{citar livro |ultimo=MAC LANE |primeiro=Saunders |data=1998 |titulo=Categories for the Working Mathematician |series=Graduate Texts in Mathematics |edicao=2 |editora=Springer |isbn=0-387-98403-8}}
* {{citar livro |ultimo=ALUFFI |primeiro=Paolo |data=2009 |titulo=Algebra: Chapter 0 |edicao=1 |editora=American Mathematical Society |series=Graduate Studies in Mathematics |isbn=978-0-8218-4781-7}}
* {{citar livro |ultimo=RIEHL |primeiro=Emily |data=2014 |titulo=Category Theory in Context |url=http://www.math.jhu.edu/~eriehl/context/}}

{{Teoria das categorias}}
{{esboço-matemática}}
[[Categoria:Teoria das categorias]]