Mostrar código-fonte de Transformada de Hartley

[[Image:Cas function.jpg|325px|thumb|A função cas(x) (linha vermelha) é o núcleo da transformada de Hartley. Sua derivada é a função cas'(x) (linha azul, tracejada).]]
Em [[matemática]], a '''transformada de Hartley''' é uma [[transformada integral]] bastante relacionada com a [[transformada de Fourier]], mas que possui sobre esta as vantagens de ''(i)'' evitar a presença de [[número complexo|números complexos]] no cálculo<ref group="nota">Quando aplicada a uma função de valores reais, o que geralmente é o caso.</ref> e ''(ii)'' ser a sua própria inversa. Ela foi proposta por [[Ralph Hartley|R. V. L. Hartley]] em 1942<ref name="Bracewell12">Bracewell, R. - ''The Fourier Transform And Its Applications'', 3rd. Edition, New York: McGraw-Hill, 2000, Cap. 12, pp. 293-328,ISBN 978-0-1381-4757-0</ref> para aplicação na análise de regime estacionário e transiente de sistemas de transmissão telefônica, mas não despertou muito interesse até a década de 1980, após as pesquisas de Z. Wang e R. N. Bracewell<ref name="Olejniczak342">K. Olejniczak - ''The Hartley Transform'' '''in''' A. Poularikas (''org'') - ''The Transforms and Applications Handbook'', 2nd. edition, Boca Raton: CRC, 2000, Cap. 3, pp. 342 a 343</ref> (ver também [[Lista de transformadas relacionadas à transformada de Fourier]]). A versão discreta, chamada de [[#Transformada Discreta de Hartley|transformada discreta de Hartley]], foi introduzida por Bracewell em 1983.<ref name="BracewellA">Bracewell, R. - ''Discrete Hartley transform'', '''in''' ''Journal of the Optical Society of America'', vol. 73, issue 12, disponível em https://www.opticsinfobase.org/josa/abstract.cfm?uri=josa-73-12-1832, acessado em 29/11/2013</ref>

A [[#transformada de Hartley em duas dimensões|transformada de Hartley em duas dimensões]] pode ser computada por um processo similar ao usado para computar a [[óptica de Fourier|transformada óptica de Fourier]], com a vantagem de que somente sua amplitude e sinal precisam ser determinados, e não sua fase complexa.<ref name="Villasenor">Villasenor, J. - ''Optical Hartley transforms'', Proc. IEEE 82 (3), 1994, pp. 391-399, disponível em http://dx.doi.org/10.1109/5.272144</ref> 

Existe uma formulação alternativa para tratamento de funções periódicas: a [[#Série de Hartley|série de Hartley]], que funciona de forma similar à [[série de Fourier]].<ref name="Poularikas">A. Poularikas ''(org)'' - ''Handbook of Formulas and Tables for Signal Processing'', Cap. 14, disponível em http://dsp-book.narod.ru/HFTSP/8579ch14.pdf, acessado em 03/10/2012</ref>

== Definição ==  

A transformada de Hartley de uma [[função (matemática)|função]] ''f''(''t'') é definida por:


: <math>H(\omega) \;=\; \mathcal{H} \{ f(t) \} \;=\; \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \; \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cdot \mbox{cas} (\omega t) \; dt \;\;\;\;\; (1a)</math>


onde ω, em aplicações físicas, é a [[frequência angular]] e t é o tempo. A função cas (ing. ''cosine and sine'')


: <math> \mbox{cas} (t) \;=\; \cos(t) \;+\; \sin(t) \;=\; \sqrt{2} \cdot \sin \left( t \;+\; \frac{\pi}{4} \right) \;=\; \sqrt{2} \cdot \cos \left( t \;-\; \frac{\pi}{4} \right) \;\;\;\;\; (1b)</math><ref name="Bracewell12"/><ref name="Poularikas"/>


é o chamado '''núcleo de Hartley'''. Em aplicações de engenharia, essa transformação leva um [[sinal]], representado por uma função f de [[número real|valores reais]], do [[domínio do tempo]] para o domínio espectral de Hartley, que é o [[domínio da frequência|domínio da frequência real]].

Pela definição, vê-se que a transformada de Hartley de uma função é a soma de suas [[transformadas de seno e de cosseno]].<ref name="Bracewell12"/><ref name="Olejniczak347">K. Olejniczak - ''op. cit.'', pag. 347</ref>

=== Transformada inversa ===

A transformada de Hartley tem a propriedade conveniente de ser sua própria inversa (o que se chama, em matemática, uma [[Involução (matemática)|involução]]):


: <math>f \;=\; \{ \mathcal{H} \{ \mathcal{H} f \} \} \;\;\;\;\; (1c)</math><ref name="Bracewell12"/><ref group="nota">Essa expressão é válida apenas quando se emprega a definição (1a) para a transformada ou substitui-se ω por 2πν. Em outros casos, podem aparecer fatores de escalamento (ver o item [[#Convenções|Convenções]]).</ref>


=== Convenções ===

O exposto acima está de acordo com a definição original de Hartley, mas, como também acontece com a transformada de Fourier, vários detalhes são matéria de convenção e podem ser alterados sem mudança nas propriedades essenciais da transformada:
* Em lugar de usar a mesma fórmula para a transformada e sua inversa, pode-se remover o <math>{1}/{\sqrt{2 \pi}}</math> da fórmula da  transformada e usar 1/2π na inversa &mdash; ou, na realidade, qualquer par de fatores de normalização cujo produto seja 1/2π (essas normalizações assimétricas são às vezes encontradas em textos de matemática pura e engenharia, inclusive na transformada de Fourier).
* Pode-se também usar 2πν em lugar de ω (isto é, a [[frequência]] simples em vez da frequência angular), quando então o coeficiente <math>{1}/{\sqrt{2\pi}}</math> é totalmente removido. Bracewell (2000) e Olejniczak (2000) são exemplos de autores que seguem essa convenção<ref name="Bracewell12"/><ref name="Olejniczak342"/>.
* Pode-se usar cos(t)-sin(t) em lugar de cos(t)+sin(t) como o núcleo.{{Carece de fontes|data=Outubro de 2012}}.

Como neste verbete a transformada de Fourier desempenha um papel muito importante, vale a pena lembrar que a definição "angular-simétrica" para as transformações direta e inversa é a seguinte:


: <math>\mathcal{F}(\omega) \;=\; \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i \omega t} \; dt</math>


:<math>f(t) \;=\; \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty \mathcal{F}(\omega) e^{i \omega t} \; d \omega</math>


É essa definição que deve-se ter em mente quando se mencionar aqui a transformada de Fourier. O uso dessa convenção evita a introdução de fatores de escalamento na maioria dos teoremas apresentados.


== Relação com a transformada de Fourier ==

Essa transformada difere da transformada de Fourier clássica <math>F(\omega) \;=\; \mathcal{F} \{ f(t) \}(\omega)</math> na escolha do núcleo. Na transformada de Fourier, é usado o núcleo exponencial <math>e^{-i \omega t} \;=\; \cos(\omega t) \;-\; i \sin(\omega t)</math>, onde ''i'' é a [[número imaginário|unidade imaginária]].

As duas transformadas são bastante relacionadas, entretanto, e a transformada de Fourier (assumindo que se use forma simétrica de ambas e o mesmo fator de normalização) pode ser computada a partir da transformada de Hartley através de:


:<math>F(\omega) \;=\; \frac{H(\omega) \;+\; H(-\omega)}{2} \;-\; i \cdot \frac{H(\omega) \;-\; H(-\omega)}{2} \;=\; H_{par}(\omega) \;-\; i \cdot H_{impar}(\omega) \;\;\;\;\; (2a)</math>


Ou seja, as partes real e imaginária da transformada de Fourier são dadas, respectivamente, pelas partes [[funções pares e ímpares|pares e ímpares]] da transformada de Hartley.

Inversamente, para funções de valores reais, a transformada de Hartley é dada, a partir das partes real e imaginária da transformada de Fourier, por:


:<math>\{ \mathcal{H} f \} \;=\; \Re \{ \mathcal{F}f \} \;-\; \Im \{ \mathcal{F}f \} \;=\; \Re \{ \mathcal{F}f \cdot (1 \;+\; i) \} \;\;\;\;\; (2b)</math>


onde <math>\Re</math> e <math>\Im</math> denotam as partes real e imaginária da transformada de Fourier.<ref name="Bracewell12"/><ref name="Olejniczak349">K. Olejniczak - ''op. cit.'', pp. 349 a 350</ref>

A transformada de Hartley H(ω) também pode ser obtida a partir da [[transformada real de Fourier]] R(ω) por meio da fórmula abaixo:


:<math>\begin{bmatrix} H(\omega) \\ H(-\omega) \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 && 1 \\ 1 && -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} R_p(\omega) \\ R_i(\omega) \end{bmatrix} \;\;\;\;\; (2c)</math>


onde R<sub>p</sub>(ω) e R<sub>i</sub>(ω) são as partes par e ímpar, respectivamente, de R(ω).<ref name="Olejniczak352">K. Olejniczak - ''op. cit.'', pág. 352</ref>  

Relações similares existem com a [[transformada real de Mellin]] M(σ,ω), outra transformação relacionada à transformada de Fourier:


:<math>\begin{bmatrix} H(\omega) \\ H(-\omega) \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 && 1 \\ 1 && -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} M_p(\sigma, \omega) \\ M_i(\sigma, \omega) \end{bmatrix} \;\;\;\;\; (2d)</math>


onde M<sub>p</sub>(σ,ω) e M<sub>i</sub>(σ,ω) são as partes par e ímpar, respectivamente, de M(σ,ω).<ref name="Olejniczak353">K. Olejniczak - ''op. cit.'', pág. 353</ref>
  


=== Condições de existência ===
Uma condição suficiente para a existência da transformada de Hartley de uma função f(x) é que exista a transformada de Fourier dessa função. Outro grupo de condições suficientes são as [[condições de Dirichlet]]:
* f(x) deve ser absolutamente integrável no intervalo [-∞,∞]
* f(x) deve ter um número finito de descontinuidades nesse intervalo
* f(x) deve ter um número finito de máximos e mínimos locais em qualquer subintervalo entre -∞ e ∞

Tais condições são suficientes, não necessárias. Funções importantes, como f(x) = cos(x), não atendem às condições de Dirichlet (neste caso, por não ser absolutamente integrável), mas ainda assim possuem uma transformada de Fourier e, por conseguinte, uma transformada de Hartley.<ref name="Olejniczak346">K. Olejniczak - ''op. cit.'', pp. 346 e 349</ref>

=== Interpretação da transformada de Hartley ===
A transformada de Fourier de uma função real f(x) é uma função complexa F(ω) que exibe [[Operadores Hermitianos|simetria hermitiana]], ou seja F(-ω) = F<sup>*</sup>(ω), onde F<sup>*</sup>(ω) denota o conjugado complexo de F(ω). Isso implica que existe uma certa redundância na função F, porque o valor de saída para entradas negativas está totalmente determinado pelo valor para entradas positivas. A transformada de Hartley de f(x), H(ω), não exibe tal comportamento. Isso também se reflete no fato de que F(ω) atribui dois números, um real e outro imaginário, a cada valor de entrada, enquanto H(ω) só atribui um número real.<ref name="Olejniczak348">K. Olejniczak - ''op. cit.'', pp. 348 a 349</ref>

== Propriedades ==

=== Linearidade ===

Por consistir de uma combinação de operadores lineares (a transformada de senos e a transformada de cossenos), a transformada de Hartley é um [[operador linear]] e simétrico (Hermitiano). Das propriedades de simetria e auto-inversão (1c), segue-se que a transformada é um [[operador unitário]] (na verdade, [[matriz ortogonal|ortogonal]]).

=== Teorema da convolução ===

Existe também um análogo ao [[teorema da convolução]] para a transformada de Hartley. Se duas funções <math>x(t)</math> e <math>y(t)</math> têm transformadas de Hartley <math>X(\omega)</math> e <math>Y(\omega)</math>, respectivamente, então sua [[convolução]] <math>z(t) = x * y</math> tem a transformada de Hartley


: <math>Z(\omega) \;=\; \{ \mathcal{H} (x \;*\; y) \} \;=\; \sqrt{\frac{\pi}{2}} \cdot \left[ \frac{}{} X(\omega) Y_p(\omega) \;+\; X(-\omega) Y_i(\omega) \right] \;\;\;\;\; (3a)</math>


onde Y<sub>p</sub> e Y<sub>i</sub> são as componentes par e ímpar, respectivamente, de Y(ω).

A expressão (3a) parece complicada, com relação a, por exemplo, o que vale para a transformada de Fourier. No entanto, como em aplicações práticas sempre se pode escolher a origem t=0 de forma a fazer a função f(t) ser par (por exemplo), a expressão (3a) se simplifica para


: <math>Z(\omega) \;=\; \sqrt{\frac{\pi}{2}} \cdot \left[ \frac{}{} X(\omega) Y(\omega) \right] \;\;\;\;\; (3b)</math>


que é idêntica ao teorema da convolução para a transformada de Fourier.<ref name="Bracewell12"/>

=== Paridade ===

Similarmente à transformada de Fourier, a transformada de Hartley conserva a paridade: a transformada de Hartley de uma função par é sempre uma função par, e a transformada de Hartley de uma função ímpar é sempre uma função ímpar.<ref name="Bracewell12"/>

=== Espectro de potência e fase ===

A [[densidade espectral]] '''P''' e a [[ângulo de fase|fase]] '''φ''' da transformada de Fourier F(ω) são dadas pelas expressões


: <math>P(\omega) \;=\; |F(\omega)| ^2 \;=\; \left[ \Re \{ F(\omega) \} ^2 \;+\; \Im \{ F(\omega) \} ^2 \right]</math>


: <math>\phi(\omega) \;=\; \arctan \left( \frac{\Im \{ F(\omega) \}}{\Re \{ F(\omega) \}} \right)</math>


a substituição da identidade (2a) nas equações acima resulta em


: <math>P(\omega) \;=\; \frac{1}{2} \left[ \frac{}{} \left( H(\omega) \right) ^2 \;+\; \left( H(-\omega) \right) ^2 \right] \;\;\;\;\; (3c)</math>


: <math>\phi(\omega) \;=\; \arctan \left( \frac{H(-\omega) \;-\; H(\omega)}{H(-\omega) \;+\; H(\omega)} \right) \;\;\;\;\; (3d)</math>


Observe-se que P(ω) será sempre uma função par.<ref name="Olejniczak354">K. Olejniczak - ''op. cit.'', pp. 354 a 355</ref><ref group="nota">Uma das desvantagens da transformada de Hartley, em relação à transformada de Fourier, é justamente que a variação do ângulo de fase com a frequência não é tão clara.</ref>

=== Escalamento e deslocamento do eixo ===
Se a transformada de Hartley de f(x) for denotada por H(ω), então


:<math>\mathcal{H} \{ f(ax) \} \;=\; \frac{1}{|a|} H \left( \frac{\omega}{a} \right) \;\;\;\;\; (3e)</math>


e


:<math>\mathcal{H} \{ f(x \;+\; b) \} \;=\; H(\omega) \cdot \cos (\omega b) \;+\; H(-\omega) \cdot \sin (\omega b) \;\;\;\;\; (3f)</math>


Em particular, se a = -1, então <math>\mathcal{H} \{ f(-x) \} \;=\; H(-\omega)</math><ref name="Olejniczak355">K. Olejniczak - ''op. cit.'', pag. 355</ref>.

=== Modulação ===
Se a transformada de Hartley de f(x) for denotada por H(ω) e a função g(x) = cos(ω<sub>0</sub>·x), então


:<math>\mathcal{H} \{ f(x) \cdot g(x) \} \;=\; \frac{1}{2} \left[ \frac{}{} H(\omega \;+\; \omega_0) \;+\; H(\omega \;-\; \omega_0) \right] \;\;\;\;\; (3g)</math><ref name="Olejniczak355"/>


=== Derivadas ===
Se a transformada de Hartley de f(x) for denotada por H(ω), então a transformada da derivada de ordem n de f será dada por


:<math>\mathcal{H} \{ f^n(x) \} \;=\; \mbox{cas'} \left( \frac{n \pi}{2} \right) \cdot \omega ^n \cdot H \left( (-1)^n \cdot \omega \right) \;\;\;\;\; (3h)</math>


onde cas' é a função '''cas complementar''' (ver [[#Função cas|abaixo]]).<ref name="Olejniczak357">K. Olejniczak - ''op. cit.'', pág. 357</ref>

=== Tabela de Transformadas de Hartley ===
A tabela abaixo traz as transformadas de Hartley de algumas funções comuns em aplicações de engenharia. Como as convenções variam entre representar a transformada como H(ω) ou como H(ν) (sendo que ω = 2πν; ver [[#Convenções|acima]]), as duas opções foram contempladas.

{| class="wikitable"
|+ Tabela 1 - Transformadas de Hartley de algumas funções f(t)<ref name="Olejniczak386">K. Olejniczak - ''op. cit.'', pp. 386 a 396</ref>
|-
!width="100" align="center"|<math>f(t)</math>
!width="400" align="center"|<math>H(\omega)</math>
|-
|align="center"|<math>1</math>||align="center"|<math>\delta(\omega)</math>
|-
|align="center"|<math>e^{iat}</math>||align="center"|<math>\delta (\omega \;-\; a)</math>
|-
|align="center"|<math>\delta(t)</math>||align="center"|<math>1</math>
|-
|align="center"|<math>\delta(t \;-\; a)</math>||align="center"|<math>\cos(a \omega) \;-\; \sin(a \omega)</math>
|-
|align="center"|<math>u(t)</math>||align="center"|<math>\frac{\delta(\omega)}{2} \;+\; \frac{\cos(a \omega) \;-\; \sin(a \omega}{\omega}</math>
|-
|align="center"|<math>u(t \;-\; a)</math>||align="center"|<math>\frac{\delta(\omega)}{2} \;+\; \frac{1}{\omega}</math>
|-
|align="center"|<math>t \cdot u(t)</math><ref group="nota">Conhecida como '''função rampa unitária'''.</ref>||align="center"|<math>-\frac{\delta'(\omega)}{4 \pi} \;-\; \frac{1}{\omega^2}</math>
|-
|align="center"|<math>\sgn (t)</math>||align="center"|<math>\frac{2}{\omega}</math>
|-
|align="center"|<math>\cos (at)</math>||align="center"|<math>\frac{\pi}{2} \left[ \frac{}{} \delta(\omega \;-\; a) \;+\; \delta(\omega \;+\; a) \right]</math>
|-
|align="center"|<math>\sin (at)</math>||align="center"|<math>\frac{\pi}{2} \left[ \frac{}{} \delta(\omega \;-\; a) \;-\; \delta(\omega \;+\; a) \right]</math>
|-
|align="center"|<math>rect(t)</math>||align="center"|<math>sinc(\omega)</math>
|-
|align="center"|<math>tri(t)</math>||align="center"|<math>\frac{1}{2} \; sinc^2 \left( \frac{\omega}{\pi} \right)</math>
|-
|align="center"|<math>e^{-at} \cdot u(t)</math>||align="center"|<math>\frac{a \;+\; \omega}{a^2 \;+\; \omega ^2}</math>
|-
|align="center"|<math>e^{-a^2t^2} \cdot u(t)</math>||align="center"|<math>\frac{\sqrt{\pi}}{a} \cdot e^{-\frac{\omega^2}{2a^2}}</math>
|-
|align="center"|<math>e^{-a|t|} \cdot u(t)</math>||align="center"|<math>\frac{2a}{a^2 \;+\; \omega ^2}</math>
|-
|align="center"|<math>e^{at} \cdot \cos (bt)</math>||align="center"|<math>\frac{(a \;-\; \omega)(a^2 \;+\; b^2 \;-\; \omega ^2) \;+\; 2 a \omega (a \;+\; \omega)}{(a^2 \;+\; b^2 \;-\; \omega ^2)^2 \;+\; 4 a^2 \omega^2}</math>
|-
|align="center"|<math>e^{at} \cdot \sin (bt)</math>||align="center"|<math>\frac{b(a^2 \;+\; b^2 \;-\; \omega ^2 \;+\; 2 a \omega)}{(a^2 \;+\; b^2 \;-\; \omega ^2)^2 \;+\; 4 a^2 \omega^2}</math>
|-
|align="center"|<math>rect(t) \cdot \cos (bt)</math>||align="center"|<math>\frac{\sin \left( \frac{\omega - b}{2} \right) }{\omega \;-\; b} \;+\; \frac{\sin \left( \frac{\omega \;+\; b}{2} \right) }{\omega \;+\; b}</math>
|-
|align="center"|<math>\cos (at) \cdot u(t)</math>||align="center"|<math>\frac{2 \pi \omega}{\omega^2 \;-\; a^2} \;+\; \frac{\pi}{2} \left[ \frac{}{} \delta(\omega \;-\; a) \;+\; \delta(\omega \;+\; a) \right]</math>
|-
|align="center"|<math>\sin (at) \cdot u(t)</math>||align="center"|<math>-\frac{2 \pi a}{\omega^2 \;-\; a^2} \;+\; \frac{\pi}{2} \left[ \frac{}{} \delta(\omega \;-\; a) \;+\; \delta(\omega \;+\; a) \right]</math>
|-
| colspan=2|'''onde:'''
* <math> \delta(t) \, </math> é a função [[Delta de Dirac|impulso unitário]]
* <math> \delta'(t) \, </math> é a derivada do impulso unitário
* <math> u(t) \, </math> é a função [[Função de Heaviside|degrau unitário]]
* <math> \sgn(t) \, </math> é a [[função sinal]]
* <math> rect(t) \, </math> é a [[função retangular]]
* <math> sinc(t) \, </math> é a [[função sinc|função seno cardinal]]
* <math> tri(t) \, </math> é a [[função triangular]]
|}

== Função cas ==

As propriedades da função ''cas'' seguem-se diretamente da definição (1b) (uma função trigonométrica linear com deslocamento de fase) e da [[trigonometria]].

=== Adição de ângulos ===


:<math> \mbox{cas} (a \;+\; b) \;=\; \mbox{cas}(a) \mbox{cas}(b) \;+\; \mbox{cas}(-a) \mbox{cas}(b) \;+\; \mbox{cas}(a) \mbox{cas}(-b) \;-\; \mbox{cas}(-a) \mbox{cas}(-b) \;\;\;\;\; (4a)</math>


ou


:<math> \mbox{cas} (a \;+\; b) \;=\; \cos (a) \mbox{cas} (b) \;+\; \sin (a) \mbox{cas} (-b) \;=\; \cos (b) \mbox{cas} (a) \;+\; \sin (b) \mbox{cas}(-a)  \;\;\;\;\; (4b)</math>


No caso particular:


:<math> \mbox{cas} (2a) \;=\; \mbox{cas}^2(a) \;+\; \mbox{cas}^2(-a) \;\;\;\;\; (4c)</math>


=== Derivada e anti-derivada ===


:<math> \mbox{cas}'(a) \;=\; \frac{d}{da} \mbox{cas} (a) \;=\; \cos (a) - \sin (a) \;=\; \mbox{cas}(-a) \;\;\;\;\; (4d)</math>


esta função é conhecida como '''cas complementar'''.<ref name="Poularikas"/>



:<math> \mbox{cas}'(a) \;=\; \sqrt{2} \sin \left( a \;+\; \frac{3 \pi}{4} \right) \;=\; \sqrt{2} \cos \left( a \;+\; \frac{\pi}{4} \right) \;\;\;\;\; (4e)</math>


:<math> \int_0^a \mbox{cas}'(x) \; dx \;=\; -\; \mbox{cas}'(a) \;=\; -\; \mbox{cas}(-a) \;\;\;\;\; (4f)</math>


=== Relação de outras funções trigonométricas com a função cas(x) ===


:<math> \cos(a) \;=\; \frac{1}{2} \left[ \frac{}{} \mbox{cas}(a) \;+\; \mbox{cas}(-a) \right] \;\;\;\;\; (4g)</math>


:<math> \sin(a) \;=\; \frac{1}{2} \left[ \frac{}{} \mbox{cas}(a) \;-\; \mbox{cas}(-a) \right] \;\;\;\;\; (4h)</math>


=== Relação com a função exponencial ===


:<math> \mbox{cas}(a) \;=\; \frac{1}{2} \left[ \frac{}{} (1 \;+\; i)e^{-ia} \;+\; (1 \;-\; i)e^{ia} \right] \;\;\;\;\; (4i)</math>


=== Produtos ===


:<math> \mbox{cas}(a) \mbox{cas}(b) \;=\; \cos( a \;-\; b) \;+\; \sin( a \;+\; b) \;\;\;\;\; (4j)</math>


:<math> \mbox{cas}(a) \;+\; \mbox{cas}(b) \;=\; 2 \; \mbox{cas} \left( \frac{a \;-\; b}{2} \right) \cos \left( \frac{a \;-\; b}{2} \right) \;\;\;\;\; (4k)</math>


:<math> \mbox{cas}(a) \;-\; \mbox{cas}(b) \;=\; 2 \; \mbox{cas} \left( \frac{a \;-\; b}{2} \right) \sin \left( \frac{a \;-\; b}{2} \right) \;\;\;\;\; (4l)</math><ref name="Olejniczak344">K. Olejniczak - ''op. cit.'', pag. 344</ref>

== Série de Hartley ==
A '''série de Hartley''' é uma expansão em [[Série (matemática)|série]] infinita de uma função periódica f(t), na forma


:<math> f(t) \;=\; \sum_{k \;=\; -\infty}^{\infty} a_k \cdot \mbox{cas} \left( \frac{2 k \pi t}{\tau} \right) \;\;\;\;\; (5a)</math>


onde τ é o período de f(t) e os coeficientes a<sub>k</sub> são números reais. A série de Hartley é idêntica à série de Fourier, apenas com a [[base ortogonal]] sendo a função cas(x), e em vista disso exibe propriedades similares e encontra as mesmas aplicações práticas. Em particular, as condições para existência de ambas as séries são as mesmas.

A propriedade de ortogonalidade de cas(x) é sumamente importante, pois garante que o erro quadrático '''ε<sup>2</sup>''' na representação da função f(t) por meio da série finita


:<math> \hat f(t) \;=\; \sum_{k \;=\; -K}^{K} a_k \cdot \mbox{cas} \left( \frac{2 k \pi t}{\tau} \right) \quad | \; k \in \mathcal{N}\;\;\;\;\; (5b)</math>


definido por

:<math> \epsilon ^ 2 \{ f(t), \hat f(t) \} \;=\; ( f(t) - \hat f(t) ) ^2 \;\;\;\;\; (5c)</math>

é o mínimo possível para um dado K e diminui com o aumento de K.<ref group="nota">Essa propriedade é conhecida como a '''propriedade da finitude dos coeficientes'''.</ref><ref group="nota">A prova é conhecida como o [[Lema de Riemann-Lebesgue]].</ref> Em outras palavras, os coeficientes a<sub>k</sub> fornecem a melhor representação possível de f(t) para qualquer valor de K. Em aplicações práticas, é sempre necessário usar um número finito de coeficientes, e essa propriedade permite ajustar a qualidade da representação e as limitações computacionais.

Outra propriedade importante da série de Hartley é que o erro linear '''ε''', definido como

:<math> \epsilon \{ f(t), \hat f(t) \} \;=\; f(t) - \hat f(t) \;\;\;\;\; (5d)</math>

pode ser feito arbitrariamente pequeno com o aumento de K (ou seja, ε não diminui assintoticamente).<ref group="nota">Essa propriedade é conhecida como da '''completude dos coeficientes'''.</ref> Essa propriedade decorre da '''equação de Parseval'''

:<math> \sum_{k \;=\; 1}^{\infty} a_k ^ 2 \;=\; (f(t)) ^2 \;\;\;\;\; (5e)</math><ref name="Olejniczak358">K. Olejniczak - ''op. cit.'', pp. 358 a 362</ref>


Os coeficientes a<sub>k</sub> na equação (5a) são dados pela fórmula


:<math> a_k \;=\; \frac{1}{\tau} \int_{\tau} f(t) \cdot \mbox{cas} \left( \frac{2 \pi k t}{\tau} \right) \; d \tau \;\;\;\;\; (5f)</math><ref name="Olejniczak365">K. Olejniczak - ''op. cit.'', pag. 365</ref>


=== Outras propriedades da série de Hartley === 
==== Reversão no tempo ====
Se g(t) = f(-t), os coeficientes b<sub>k</sub> da série de Hartley de g(t) estarão relacionados aos coeficientes a<sub>k</sub> da série de Hartley de f(t) pela expressão <math>b_j \;=\; a_{-j}</math> para qualquer j.

==== Paridade ====
Se f(t) for uma função par, então <math>a_j \;=\; a_{-j}</math> para qualquer j. Se f(t) for uma função ímpar, <math>a_j \;=\; - a_{-j}</math> para qualquer j.<ref group="nota">E, por conseguinte, a<sub>0</sub> = 0.</ref> Se f(t) for uma função com anti-simetria de meia-onda, ou seja, <math>f(t) \;=\; - \; f \left( t \;+\; \frac{\tau}{2} \right)</math>, então a<sub>j</sub> = 0 para j par.
==== Derivada e anti-derivada ====
Se denotarmos por g(t) a derivada de f(t), os coeficientes b<sub>k</sub> da série de Hartley de g(t) estarão relacionados aos coeficientes a<sub>k</sub> da série de Hartley de f(t) pela expressão <math>b_j \;=\; - \frac{a_{-j} \cdot j}{\tau}</math> para qualquer j.

Se denotarmos por g(t) a anti-derivada de f(t), os coeficientes b<sub>k</sub> da série de Hartley de g(t) estarão relacionados aos coeficientes a<sub>k</sub> da série de Hartley de f(t) pela expressão <math>b_j \;=\; \frac{a_{-j} \cdot \tau}{j}</math> para qualquer j.<ref name="Olejniczak366">K. Olejniczak - ''op. cit.'', pp. 366 a 367</ref>



== A Transformada Discreta de Hartley ==
(ver o artigo principal [[Transformada discreta de Hartley]])

A transformada de Hartley é definida em um [[espaço euclideano]] contínuo. A Transformada Discreta de Hartley (DHT) expande a definição para um espaço discreto. A DHT de uma sequência f de n valores é uma sequência do mesmo tamanho, com o k-ésimo elemento dado pela fórmula

: <math>a_k \;=\; \frac{1}{n} \; \sum_{j \;=\; 0}^{n \;-\; 1} f(j) \cdot cas \left( \frac{2 \pi j}{n \tau} \right) \;\;\;\;\; (6a)</math>

onde τ é tamanho do período [[amostragem|amostrado]]. A expressão (6a) é muito similar às transformadas discretas de Fourier (DFT), de cosseno (DCT) e de seno. A sequência original é recuperada pela aplicação da transformada inversa, ou seja, os valores f<sub>k</sub> de f são obtidos a partir dos coeficientes a<sub>k</sub> pela fórmula:

: <math>f_k \;=\; \sum_{j \;=\; 0}^{n \;-\; 1} a_k \cdot cas \left( \frac{2 \pi j}{n \tau} \right) \;\;\;\;\; (6b)</math>

Perceba-se que a simetria entre a transformada e a inversa é quebrada pelo fator de escalamento 1/n, o que também acontece com a DFT. Poder-se-ia eliminar essa assimetria substituindo esse fator por <math>1/\sqrt{n}</math> e introduzindo-o na transformada inversa, mas esse procedimento não é comum. A maioria segue a definição original de Bracewell(2000).

Como a DHT recebe como entrada uma sequência finita de n valores, pressupõe-se que a função sob análise f(t), de onde se originou a sequência f(k), seja periódica, com período igual ou inferior a τ.

As propriedades (2a), (2b) e (3a) também valem para a transformada discreta de Hartley. E, a exemplo de toda transformação discreta, a DHT também está sujeita aos fenômenos de [[erro de truncamento]] e [[anti-aliasing|serrilhamento (ing. ''aliasing'')]]. Mas a DHT oferece a grande vantagem de não exigir o trabalho com números complexos, o que economiza e simplifica o trabalho. Para um mesmo número de amostras, o cálculo da DHT exige a manipulação de apenas a metade dos valores, quando comparada à DFT, sem que se perca informação com essa simplificação.

A '''propriedade do valor inicial''' possui a forma seguinte:

:<math>\sum_{j \;=\; 0}^{n \;-\; 1} a_j \;=\; f(0) \;\;\;\;\; (6c) </math>

:<math>\sum_{j \;=\; 0}^{n \;-\; 1} f_j \;=\; n \cdot a_0 \;\;\;\;\; (6d) </math>

onde a<sub>k</sub> são os valores da sequência DHT{f(k)} e f<sub>k</sub> são os valores da sequência f(k).

A '''propriedade do deslocamento do eixo''', correspondente às equações (3e) e (3f) para a versão contínua, deve ser escrita da forma seguinte:

:<math>b_k \;=\; a_k \cdot cos \left( \frac{2 \pi m}{n \tau} \right) \;-\; a_{-k} \cdot sin \left( \frac{2 \pi m}{n \tau} \right) \;\;\;\;\; (6e)</math>

onde b<sub>k</sub> são os valores da sequência DHT{f(k + m)}, e m é um inteiro entre 0 e n. Na expressão (6e), como se trata de uma [[Convolução#Propriedades da convolução cíclica|convolução cíclica]], valores negativos de índices devem ser somados a n de forma a resultar num valor adequado, isto é, um valor na faixa [0,n].

A '''propriedade da primeira diferença''' é expressa da forma seguinte:

:<math> b_k \;=\; a_k \cdot \left[ cos \left( \frac{2 \pi}{n \tau} \right) \;-\; 1 \right] \;-\; a_{ \left( n \;-\; \frac{1}{\tau} \right) } \cdot sin \left( \frac{2 \pi}{n \tau} \right) \;\;\;\;\; (6f)</math>

onde b<sub>k</sub> são os valores da sequência DHT{f(k + 1) - f(k)}.

O '''teorema de Parseval''' deve ser escrito da forma seguinte:

:<math>\sum_{j \;= 0}^{n \;-\; 1} [f(j)]^2 \;=\; n \cdot a_k \cdot \sum_{j \;= 0}^{n \;-\; 1} [a_k)]^2 \;\;\;\;\; (6g)</math><ref name="Bracewell12"/>

=== Cálculo da DHT ===

A transformada discreta de Hartley pode ser calculada diretamente a partir da fórmula de definição, mas existem algoritmos otimizados, como a Transformada Rápida de Hartley (FHT, do inglês ''Fast Hartley Transform''). Pela sua relação com as transformadas de Fourier e de cossenos, ela também pode ser computada a partir da DFT, da FFT (''Fast Fourier Transform'') e de algumas variantes da DCT. Inversamente, a DHT pode ser usada para computar as transformadas discretas de Fourier e de cossenos, além da computação de [[Convolução#Convolução discreta|convoluções discretas]].<ref name="Bracewell12"/>

== Transformada de Hartley em duas dimensões ==

Em aplicações de análise de imagem, pode-se empregar a transformada de Hartley em duas dimensões, ou seja, a transformada de Hartley de uma função f(x,y) de duas variáveis reais independentes. Da mesma forma que no caso unidimensional, existem as versões contínua e discreta da transformada bidimensional.

=== Transformada bidimensional de Hartley ===
Essa transformada é definida pela equação


: <math>H(\omega, \xi) \;=\;\mathcal{H}_2 \{ f (x,y) \} \;=\; \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cdot \mbox{cas} ( \omega x \;+\; \xi y) \; dx \; dy \;\;\;\;\; (7a)</math>


e a inversa por


: <math>f(x,y) \;=\; \mathcal{H}_2^{-1} \{ H(\omega, \xi) \} \;=\; \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} H(\omega, \xi) \cdot \mbox{cas} (\omega x \;+\; \xi y) \; d \omega \; d \xi \;\;\;\;\; (7b)</math>



Existe uma definição similar para a transformada em três dimensões.<ref name="Olejniczak357"/>

Uma variante da transformada bidimensional de Hartley é a '''transformada CasCas''', que utiliza como núcleo a função <math>\mbox{cas} (\omega x) \cdot \mbox{cas} (\xi y)</math>. Essa possibilidade de optar entre dois núcleos também existe para a transformada bidimensional de Fourier, e representa as duas maneiras diferentes de se esquadrinhar um plano.<ref name="Bracewell12"/>

=== Transformada discreta bidimensional de Hartley === 

Uma imagem representada por uma matriz f com m x n valores reais possui uma transformada discreta de Hartley em duas dimensões dada por outra matriz m x n, que é a transformada discreta bidimensional de Hilbert (DHT<sub>2</sub>). Os coeficientes a<sub>j,k</sub> de tal matriz são valores reais, obtidos dos coeficientes f(j,k) pela fórmula

: <math>a_{j,k} \;=\; \frac{1}{mn} \; \sum_{i \;=\; 0}^{m \;-\; 1} \;\;\ \sum_{l \;=\; 0}^{n \;-\; 1} f(j,k) \cdot \mbox{cas} \left( \frac{2 \pi i}{m \tau_m} \;+\; \frac{2 \pi l}{n \tau_n} \right) \;\;\;\;\; (7c)</math>


onde τ<sub>m</sub> e τ<sub>n</sub> são o tamanho do intervalo amostrado em cada dimensão. A transformada inversa, aplicada à matriz DHT<sub>2</sub>, resulta na matriz original f; os coeficientes de f são obtidos dos coeficientes a<sub>j,k</sub> pela fórmula

: <math>f(j,k) \;=\; \frac{1}{mn} \; \sum_{i \;=\; 0}^{m \;-\; 1} \;\;\ \sum_{l \;=\; 0}^{n \;-\; 1} a_{j,k} \cdot \mbox{cas} \left(\frac{2 \pi i}{m \tau_m} \;+\; \frac{2 \pi l}{n \tau_n} \right) \;\;\;\;\; (7d)</math>


Existem definições similares para transformadas em mais dimensões.<ref name="Bracewell12"/>

== Notas ==

<references group="nota"/>


== Referências adicionais == 

* Hartley, R. V. L., [http://ieeexplore.ieee.org/search/wrapper.jsp?arnumber=1694454 A more symmetrical Fourier analysis applied to transmission problems], ''[[Proc. IRE]]'' '''30''', 144&ndash;150 (1942).
* Bracewell, R. N., ''The Hartley Transform'' (Oxford University Press, 1986)
* Bracewell, R. N., [http://dx.doi.org/10.1109/5.272142 Aspects of the Hartley transform], ''[[Proc. IEEE]]'' '''82''' (3), 381-387 (1994).
* Millane, R. P., [http://dx.doi.org/10.1109/5.272146 Analytic properties of the Hartley transform], ''Proc. IEEE'' '''82''' (3), 413-428 (1994).


== Ligações externas == 
* [http://www2.ee.ufpe.br/codec/hartley.htm Ralph Vinton Lyon Hartley]
* [http://mathworld.wolfram.com/HartleyTransform.html The Hartley Transform], em ''Wolfram Mathworld''


{{referências}}


[[Categoria:Transformadas]]
[[Categoria:Análise harmônica]]
[[Categoria:Transformadas integrais]]