Mostrar código-fonte de Trapézio (geometria)

{{Ver desambig|redir=Trapezoide||Osso trapezoide}}
{{Info/Polígono
|nome    =Trapézio
|imagem  =Trapézio_retângulo.PNG
|legenda =Trápezio retângulo
|arestas =4
|área    =<math>A =\frac{(B + b)}{2} \cdot h</math>
}}
Na [[geometria]] o '''trapézio''' é um [[quadrilátero]] com dois lados [[paralelismo|paralelos]] entre si, que são chamados de base maior e base menor.

== Definição ==
A definição mais aceita para um trapézio é a seguinte:

Um quadrilátero plano convexo é um trapézio se, e somente se, possui dois lados paralelos.<ref name=":0">{{citar livro|titulo=Fundamentos de Matemática Elementar 9: Geometria plana|ultimo=Dolce|primeiro=Osvaldo|editora=Atual|ano=2013|local=|paginas=|acessodata=}}</ref>

<math>ABCD\quad\text{é trapézio }\qquad\Longleftrightarrow\qquad\left(\overline{AB}//\overline{CD}\quad\text{ou}\quad\overline{AD}//\overline{BC}\right) </math>

Alguns autores<ref>{{citar web|url=http://www.math.com/school/glossary/defs/trapezoid.html|título=American School definition from "math.com"|acessodata=2008-04-14}}</ref> definem um trapézio como sendo um quadrilátero que possui ''exatamente'' um par de lados paralelos, excluindo portanto os paralelogramos, porém essa definição não é a mais rigorosa existente, pois ela faria com que conceitos tais como o da [[Regra trapezoidal|aproximação trapezoidal]] para a [[integral definida]] fossem mal definidos. Para tanto, admite-se a definição vista acima.<ref name="Mathworld">{{MathWorld|title=Trapezoid|urlname=Trapezoid}}</ref>

== Propriedades dos trapézios ==
Os trapézios possuem as seguintes propriedades:<ref name=":0" />
# Em qualquer trapézio <math>ABCD</math> de bases <math>\overline{AB}</math> e <math>\overline{CD}</math> temos que <math>\hat{A}+\hat{D}=\hat{B}+\hat{C}=180^\circ</math>.
# Os ângulos de cada base de um trapézio isósceles são congruentes.
# As diagonais de um trapézio isósceles são congruentes.

=== Demonstração das propriedades ===

==== 1º Propriedade ====
Em qualquer trapézio <math>ABCD</math> de bases <math>\overline{AB}</math> e <math>\overline{CD}</math> temos que <math>\hat{A}+\hat{D}=\hat{B}+\hat{C}=180^\circ</math>
[[Ficheiro:Propriedadetrapezio1.svg|miniaturadaimagem|398x398px|<math>\hat{A}+\hat{D}=\hat{B}+\hat{C}=180^\circ</math>]]
<math>\overleftrightarrow{AB}//{\overleftrightarrow{CD}}</math><math>	</math>, <math>\overleftrightarrow{AD}</math> é transversal <math>\Longrightarrow \hat{A}+\hat{D}= 180^\circ</math>

e

<math>\overleftrightarrow{AB}//{\overleftrightarrow{CD}}</math><math>	</math>, <math>\overleftrightarrow{BC}</math> é transversal <math>\Longrightarrow \hat{B}+\hat{C}= 180^\circ</math>

Logo temos que

<math>\hat{A}+\hat{D}=\hat{B}+\hat{C}=180^\circ</math>
[[Ficheiro:Propriedadetrapezio2.svg|miniaturadaimagem|431x431px|<math>\hat{D}\equiv\hat{C}\quad\text{e}\quad\hat{A}\equiv\hat{B}</math>]]

==== 2° Propriedade ====
Os ângulos de cada base de um trapézio isósceles são congruentes

Para demonstrar essa propriedade vamos, primeiro, enunciá-la matematicamente.

<math>\overline{AB}\quad\text{e}\quad\overline{CD}\quad\text{são bases do trapézio isósceles }ABCD\qquad\Longrightarrow\qquad(\hat{C}\equiv\hat{D}\quad\text{e}\quad\hat{A}\equiv{\hat{B}})</math>

Tomando dois pontos <math>A'</math> e <math>B'</math>, de modo que ambos estejam em <math>\overline{DC}</math> e que <math>\overline{AA'}\perp\overline{DC}</math> e <math>\overline{BB'}\perp\overline{DC}</math>.

Como <math>ABCD</math> é um trapézio nós sabemos que <math>\overline{AB}//\overline{CD}</math>, o que implica que <math>\overline{AA'}\equiv\overline{BB'}</math>, por serem distâncias entre retas paralelas.

Se observarmos os triângulos <math>AA'D</math> e <math>BB'C</math>, podemos ver que eles são congruentes:

<math>\overline{AA'}\equiv\overline{BB'}\quad\text{e}\quad{\overline{AD}\equiv\overline{BC}}\quad(CH)\qquad\Longrightarrow\qquad{\triangle{AA'D}\equiv\triangle{BB'C}}</math>

Como os triângulos são congruentes, temos que <math>\hat{C}\equiv\hat{D}</math>.

Por fim, visto que <math>\hat{A}</math> e <math>\hat{B}</math> são suplementares de <math>\hat{D}</math> e <math>\hat{C}</math>, respectivamente (por conta da propriedade demonstrada anteriormente), temos: <math>\hat{A}\equiv\hat{B}</math>.

Logo os ângulos de cada base de um trapézio isósceles são congruentes.

==== 3º Propriedade ====
[[Ficheiro:Propriedadetrapezio3.svg|miniaturadaimagem|378x378px|<math>\overline{AC}\equiv\overline{BD}</math>]]
As diagonais de um trapézio isósceles são congruentes.

Para demonstrar essa propriedade vamos, primeiramente, enunciá-la matematicamente.

<math>ABCD \quad\text{é um trapézio isósceles de base  }\quad\overline{AB}\quad\text{e}\quad\overline{CD}, \quad{\overline{AD}\equiv\overline{BC}}\qquad\Longrightarrow\qquad{\overline{AC}\equiv\overline{BD}}</math>

Observe os triângulos <math>ADC</math> e <math>BCD</math>, que são congruentes:

<math>\overline{AD}\equiv\overline{BC}\quad\text{e}\quad{\hat{D}\equiv\hat{C}}\quad\text{e}\quad\overline{DC}=\overline{CD}\quad(LAL)\qquad\Longrightarrow\qquad\triangle{ADC}\equiv\triangle{BCD}</math>

Sabendo que os triângulos são congruentes temos: <math>\overline{AC}\equiv\overline{BD}</math>

Logo as diagonais de um trapézio isósceles são congruentes.

== Cálculo da área ==
[[Imagem:Trapezoid.svg|thumb|Um trapézio.]]
A [[área]] ''A'' de um '''trapézio''' simples (isto é, sem auto-interseções) é dada por<ref name=Mathworld />
: <math>A = \frac{(B + b)}{2} \cdot h,</math>
em que ''B'' e ''b'' são os comprimentos dos lados paralelos (as bases maior e menor) e ''h'' é a altura (a distância entre esses lados). Em 499 EC [[Aryabhata]], um grande [[matemático]]-[[astrônomo]] da era clássica da [[matemática indiana|matemática]] e [[física indiana]], usou este método no ''[[Aryabhata#Ariabatiia|Ariabatiia]]'' (seção 2.8).<ref>''[http://www.flipkart.com/aryabhatiya-mohan-apte-book-8174344802 Aryabhatiya] {{Webarchive|url=https://archive.is/20110815204559/http://www.flipkart.com/aryabhatiya-mohan-apte-book-8174344802 |date=2011-08-15 }} {{lang-mr|आर्यभटीय}}'', Mohan Apte, Pune, India, Rajhans Publications, 2009, p.66, ISBN 978-81-7434-480-9</ref> A fórmula anterior tem como caso particular a fórmula que fornece a área de um [[triângulo]], considerando-se um triângulo como um trapézio degenerado em que um dos lados paralelos foi reduzido a um único ponto.

A [[Mediana (geometria)|mediana]] do trapézio é o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos. O seu comprimento ''m'' é igual à média dos comprimentos das bases do trapézio:
: <math>m = \frac{B + b}{2}.</math>

Consequentemente, a área do trapézio é calculada pela multiplicação de sua mediana por sua altura:
: <math>A = mh.</math>

O lado de um trapézio retângulo pode ser calculado pela formula:
: <math>L = \sqrt{h^2 + (B - b)^2}.</math>

{{Referências}}

{{Commonscat|getwikidata|Trapézios}}
{{Controle de autoridade}}
{{Esboço-geometria}}

[[Categoria:Polígonos]]
[[Categoria:Desenho geométrico]]