Trapézio (geometria)

Predefinição:Ver desambig Predefinição:Info/Polígono Na geometria o trapézio é um quadrilátero com dois lados paralelos entre si, que são chamados de base maior e base menor.

Definição

A definição mais aceita para um trapézio é a seguinte:

Um quadrilátero plano convexo é um trapézio se, e somente se, possui dois lados paralelos.

$ABCD\text{é trapézio }⟺(\overline{AB}//\overline{CD}\text{ou}\overline{AD}//\overline{BC})$

Alguns autores definem um trapézio como sendo um quadrilátero que possui exatamente um par de lados paralelos, excluindo portanto os paralelogramos, porém essa definição não é a mais rigorosa existente, pois ela faria com que conceitos tais como o da aproximação trapezoidal para a integral definida fossem mal definidos. Para tanto, admite-se a definição vista acima.

Propriedades dos trapézios

Os trapézios possuem as seguintes propriedades:

1. Em qualquer trapézio $ABCD$ de bases $\overline{AB}$ e $\overline{CD}$ temos que $\hat{A}+\hat{D}=\hat{B}+\hat{C}=180^{\circ }$.
2. Os ângulos de cada base de um trapézio isósceles são congruentes.
3. As diagonais de um trapézio isósceles são congruentes.

Demonstração das propriedades

1º Propriedade

Em qualquer trapézio $ABCD$ de bases $\overline{AB}$ e $\overline{CD}$ temos que $\hat{A}+\hat{D}=\hat{B}+\hat{C}=180^{\circ }$

$\hat{A}+\hat{D}=\hat{B}+\hat{C}=180^{\circ }$

$\overleftrightarrow{AB}//\overleftrightarrow{CD}$${\displaystyle }$, $\overleftrightarrow{AD}$ é transversal $⟹\hat{A}+\hat{D}=180^{\circ }$

e

$\overleftrightarrow{AB}//\overleftrightarrow{CD}$${\displaystyle }$, $\overleftrightarrow{BC}$ é transversal $⟹\hat{B}+\hat{C}=180^{\circ }$

Logo temos que

$\hat{A}+\hat{D}=\hat{B}+\hat{C}=180^{\circ }$

$\hat{D}\equiv \hat{C}\text{e}\hat{A}\equiv \hat{B}$

2° Propriedade

Os ângulos de cada base de um trapézio isósceles são congruentes

Para demonstrar essa propriedade vamos, primeiro, enunciá-la matematicamente.

$\overline{AB}\text{e}\overline{CD}\text{são bases do trapézio isósceles }ABCD⟹(\hat{C}\equiv \hat{D}\text{e}\hat{A}\equiv \hat{B})$

Tomando dois pontos $A^{\prime }$ e $B^{\prime }$, de modo que ambos estejam em $\overline{DC}$ e que $\overline{A{A}^{\prime }}\perp \overline{DC}$ e $\overline{B{B}^{\prime }}\perp \overline{DC}$.

Como $ABCD$ é um trapézio nós sabemos que $\overline{AB}//\overline{CD}$, o que implica que $\overline{A{A}^{\prime }}\equiv \overline{B{B}^{\prime }}$, por serem distâncias entre retas paralelas.

Se observarmos os triângulos $A{A}^{\prime }D$ e $B{B}^{\prime }C$, podemos ver que eles são congruentes:

$\overline{A{A}^{\prime }}\equiv \overline{B{B}^{\prime }}\text{e}\overline{AD}\equiv \overline{BC}(CH)⟹\mathrm{△}A{A}^{\prime }D\equiv \mathrm{△}B{B}^{\prime }C$

Como os triângulos são congruentes, temos que $\hat{C}\equiv \hat{D}$.

Por fim, visto que $\hat{A}$ e $\hat{B}$ são suplementares de $\hat{D}$ e $\hat{C}$, respectivamente (por conta da propriedade demonstrada anteriormente), temos: $\hat{A}\equiv \hat{B}$.

Logo os ângulos de cada base de um trapézio isósceles são congruentes.

3º Propriedade

$\overline{AC}\equiv \overline{BD}$

As diagonais de um trapézio isósceles são congruentes.

Para demonstrar essa propriedade vamos, primeiramente, enunciá-la matematicamente.

$ABCD\text{é um trapézio isósceles de base }\overline{AB}\text{e}\overline{CD},\overline{AD}\equiv \overline{BC}⟹\overline{AC}\equiv \overline{BD}$

Observe os triângulos $ADC$ e $BCD$, que são congruentes:

$\overline{AD}\equiv \overline{BC}\text{e}\hat{D}\equiv \hat{C}\text{e}\overline{DC}=\overline{CD}(LAL)⟹\mathrm{△}ADC\equiv \mathrm{△}BCD$

Sabendo que os triângulos são congruentes temos: $\overline{AC}\equiv \overline{BD}$

Logo as diagonais de um trapézio isósceles são congruentes.

Cálculo da área

Um trapézio.

A área A de um trapézio simples (isto é, sem auto-interseções) é dada por

$A=\frac{(B+b)}{2}\cdot h,$

em que B e b são os comprimentos dos lados paralelos (as bases maior e menor) e h é a altura (a distância entre esses lados). Em 499 EC Aryabhata, um grande matemático-astrônomo da era clássica da matemática e física indiana, usou este método no Ariabatiia (seção 2.8). A fórmula anterior tem como caso particular a fórmula que fornece a área de um triângulo, considerando-se um triângulo como um trapézio degenerado em que um dos lados paralelos foi reduzido a um único ponto.

A mediana do trapézio é o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos. O seu comprimento m é igual à média dos comprimentos das bases do trapézio:

$m=\frac{B+b}{2}.$

Consequentemente, a área do trapézio é calculada pela multiplicação de sua mediana por sua altura:

$A=mh.$

O lado de um trapézio retângulo pode ser calculado pela formula:

$L=\sqrt{h^2+(B-b{)}^2}.$