Mostrar código-fonte de Triângulo retângulo

[[Ficheiro:Rtriangle.svg|direita|miniaturadaimagem|Triângulo retângulo]]
Um '''triângulo retângulo''', em [[geometria]], é um [[triângulo]] em que um dos [[ângulo]]s é [[Ângulo reto|reto]] (ou seja, um ângulo de 90 [[Grau (geometria)|graus]]). A relação entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo é a base da [[trigonometria]].

O lado oposto ao ângulo reto é chamado de ''[[hipotenusa]]'' (lado <math>c</math> na figura). Os lados [[adjacente]]s ao ângulo reto são chamados de ''[[cateto]]s''. O lado ''<math>a</math>'' pode ser identificado como o lado adjacente ao ângulo <math>\widehat{B}</math> e oposto ao ângulo <math>\widehat{A}</math>, enquanto o lado ''<math>b</math>'' é o lado adjacente ao ângulo <math>\widehat{A}</math> e oposto ao ângulo <math>\widehat{B}</math>''.''

Se os comprimentos dos três lados de um triângulo retângulo são inteiros, o triângulo é considerado um '''triângulo pitagórico''' e seus comprimentos laterais são coletivamente conhecidos como um [[triplo pitagórico]].

== Principais propriedades ==

=== Área ===
Como em qualquer triângulo, a área é igual à metade da base multiplicada pela altura correspondente. Em um triângulo retângulo, se um cateto é tomado como base, a outro é a altura; portanto, a área de um triângulo retângulo é metade do produto dos dois catetos. Como fórmula, a área <math>T</math> é

: <math>T=\tfrac{1}{2}ab</math>

onde ''<math>a</math>'' e ''<math>b</math>'' são os catetos do triângulo.

Se o [[Círculos inscrito e exinscrito em um triângulo|círculo inscrito]] for tangente à hipotenusa <math>\overline{AB}</math> no ponto <math>P</math>, denotando o [[semiperímetro]] <math>{(a+b+c) \over 2}</math> como ''<math>s</math>'', teremos <math>PA=s-a</math> e <math>PB=s-b</math>, e a área será dada por

: <math>T=\text{PA} \cdot \text{PB} = (s-a)(s-b).</math>

Esta fórmula se aplica apenas a triângulos retângulos.<ref>Di Domenico, Angelo S., "A property of triangles involving area", ''[[Mathematical Gazette]]'' 87, Julho de 2003, pp. 323-324.</ref>

=== Alturas ===<!--Necessita de um diagrama melhor.-->
[[Imagem:Teorema.png|ligação=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Teorema.png|direita|miniaturadaimagem|Altura de um triângulo retângulo]]
Se uma [[Altura (geometria)|altura]] é traçada a partir do vértice com o ângulo reto em relação à hipotenusa, o triângulo é dividido em dois triângulos menores que são [[Semelhança de triângulos|semelhantes]] ao original e, portanto, um ao outro. Disto:

* A altura da hipotenusa é a [[média geométrica]] (média proporcional) dos dois segmentos da hipotenusa.<ref name="Posamentier">Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T. ''Challenging Problems in Geometry'', Dover, 1996.</ref>{{rp|243}}
* Cada cateto do triângulo é a média proporcional da hipotenusa e o segmento da hipotenusa adjacente ao cateto.

Em equações,

: <math>\displaystyle f^2=de</math> (isso às vezes é conhecido como o [[teorema da média geométrica]])
: <math>\displaystyle b^2=ce</math>
: <math>\displaystyle a^2=cd</math>

onde ''<math>a</math>'', ''<math>b</math>'', ''<math>c</math>'', ''<math>d</math>'', ''<math>e</math>'', ''<math>f</math>'' são mostrados no diagrama.<ref>Wentworth p. 156</ref> Portanto

: <math>f=\frac{ab}{c}</math>

Além disso, a altura da hipotenusa está relacionada aos catetos do triângulo retângulo por<ref>Voles, Roger, "Integer solutions of <math>a^{-2} + b^{-2} = d^{-2}</math>," ''Mathematical Gazette'' 83, Julho de 1999, 269–271.</ref><ref>Richinick, Jennifer, "The upside-down Pythagorean Theorem," ''Mathematical Gazette'' 92, Julho de 2008, 313–317.</ref>

: <math>\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{f^2}</math>

A altitude de um dos catetos coincide com a do outro. Como eles se cruzam no vértice em ângulo reto, o [[ortocentro]] do triângulo retângulo — a interseção de suas três alturas — coincide com o vértice em ângulo reto.

=== Teorema de Pitágoras ===
{{main|Teorema de Pitágoras}}O teorema pitagórico afirma que:{{Quote|Em qualquer triângulo retângulo, a área do [[quadrado]] cujo lado é a hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto) é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados são os dois catetos (os dois lados que se encontram em ângulo reto).}}Isso pode ser afirmado na forma de equação como

: <math>\displaystyle a^2+b^2=c^2</math>

onde <math>c</math> é o comprimento da hipotenusa e <math>a</math> e <math>b</math> são os comprimentos dos dois lados restantes.

Os [[Triplo pitagórico|triplos pitagóricos]] são valores inteiros de <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> que satisfazem esta equação.

=== Inraio e circunraio ===
[[Imagem:Illustration_to_Euclid's_proof_of_the_Pythagorean_theorem.png|ligação=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Illustration_to_Euclid's_proof_of_the_Pythagorean_theorem.png|miniaturadaimagem|200x200px|Ilustração do teorema pitagórico]]
O raio do [[Círculos inscrito e exinscrito em um triângulo|círculo inscrito]] em um triângulo retângulo com os catetos <math>a</math> e <math>b</math> e hipotenusa <math>c</math> é

: <math>r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{ab}{a+b+c}</math>

O raio do [[Circunferência circunscrita|círculo circunscrito]] é a metade do comprimento da hipotenusa,

: <math>R = \frac{c}{2}</math>

Assim, a soma do circunraio e do inraio é a metade da soma dos catetos:<ref name="Crux">''Inequalities proposed in “[[Crux Mathematicorum]]”'', [http://www.imomath.com/othercomp/Journ/ineq.pdf].</ref>

: <math>R+r = \frac{a+b}{2}</math>

Um dos catetos pode ser expresso em relação ao inraio e o outro cateto como

: <math>\displaystyle a=\frac{2r(b-r)}{b-2r}</math>

== Caracterizações ==
Um triângulo <math>\Delta ABC</math> com lados <math>a \le b < c</math>, [[semiperímetro]] ''<math>s</math>'', [[área]] ''<math>T</math>'', [[Altura (geometria)|altura]] ''<math>h</math>'' oposta ao lado mais longo, [[Circunferência circunscrita|circunraio]] ''<math>R</math>'', [[Círculos inscrito e exinscrito em um triângulo|inraio]] ''<math>r</math>'', exraio ''<math>r_a</math>'', ''<math>r_b</math>'', ''<math>r_c</math>'' (tangente a ''<math>a</math>'', ''<math>b</math>'', ''<math>c</math>'' respectivamente) e [[Mediana (geometria)|medianas]] ''<math>m_a</math>'', ''<math>m_b</math>'', ''<math>m_c</math>'' é um triângulo retângulo [[Se e somente se|se, e somente se]], alguma das afirmações na as seis categorias a seguir são verdadeiras. Todos eles também são propriedades de um triângulo retângulo, já que caracterizações são equivalências.

=== Lados e semiperímetro ===

* <math>\displaystyle a^2+b^2=c^2\quad (\text{Teorema de Pitágoras})</math>
* <math>\displaystyle (s-a)(s-b)=s(s-c)</math>
* <math>\displaystyle s=2R+r.</math><ref>{{Citar web |url=http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&t=411120 |titulo=Triangle right iff s = 2R + r, ''Art of problem solving'', 2011 |acessodata=2020-06-04 |arquivodata=2014-04-28 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20140428221212/http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&t=411120 }}</ref>
* <math>\displaystyle a^2+b^2+c^2=8R^2</math><ref name="Andreescu">Andreescu, Titu and Andrica, Dorian, "Complex Numbers from A to...Z", Birkhäuser, 2006, pp. 109-110.</ref>

=== Ângulos ===

* ''A'' e ''B'' são [[Ângulos complementares e suplementares|complementares]].<ref>{{Citar web |url=http://www.ricksmath.com/right-triangles.html |titulo=Properties of Right Triangles |acessodata=2020-06-04 |arquivodata=2011-12-31 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20111231222001/http://www.ricksmath.com/right-triangles.html }}</ref>
* <math>\displaystyle \cos{A}\cos{B}\cos{C}=0</math><ref name="Andreescu" /><ref name="CTK">CTK Wiki Math, ''A Variant of the Pythagorean Theorem'', 2011, [http://www.cut-the-knot.org/wiki-math/index.php?n=Trigonometry.AVariantOfPythagoreanTheorem] {{Wayback|url=http://www.cut-the-knot.org/wiki-math/index.php?n=Trigonometry.AVariantOfPythagoreanTheorem |date=20130805051705 }}.</ref>
* <math>\displaystyle \sin^2{A}+\sin^2{B}+\sin^2{C}=2</math><ref name="Andreescu" /><ref name="CTK" />
* <math>\displaystyle \cos^2{A}+\cos^2{B}+\cos^2{C}=1</math><ref name="CTK" />
* <math>\displaystyle \sin{2A}=\sin{2B}=2\sin{A}\sin{B}</math>

=== Área ===

* <math>\displaystyle T=\frac{ab}{2}</math>
* <math>\displaystyle T=r_ar_b=rr_c</math>
* <math>\displaystyle T=r(2R+r)</math>
* <math>T=PA\cdot PB</math>, onde ''<math>P</math>'' é o ponto de tangência do incírculo no lado mais longo ''<math>\overline{AB}</math>''.<ref>{{citation|último =Darvasi|primeiro =Gyula|periódico=The Mathematical Gazette|páginas=72–76|título=Converse of a Property of Right Triangles|volume=89|número=514|data=março de 2005}}.</ref>

=== Inraio e exraio ===

* <math>\displaystyle r=s-c=(a+b-c)/2</math>
* <math>\displaystyle r_a=s-b=(a-b+c)/2</math>
* <math>\displaystyle r_b=s-a=(-a+b+c)/2</math>
* <math>\displaystyle r_c=s=(a+b+c)/2</math>
* <math>\displaystyle r_a+r_b+r_c+r=a+b+c</math>
* <math>\displaystyle r_a^2+r_b^2+r_c^2+r^2=a^2+b^2+c^2</math>
* <math>\displaystyle r=\frac{r_ar_b}{r_c}.</math><ref name="Bell">{{citation|último =Bell|primeiro =Amy|periódico=Forum Geometricorum|páginas=335–342|título=Hansen's Right Triangle Theorem, Its Converse and a Generalization|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200639.pdf|volume=6|ano=2006}}</ref>

=== Altura e medianas ===

* <math>\displaystyle h=\frac{ab}{c}</math>
* <math>\displaystyle m_a^2+m_b^2+m_c^2=6R^2</math><ref name="Crux" />{{rp|Prob. 954, p. 26}}
* O comprimento de uma mediana é igual ao circunraio.
* A altura mais curta (a do vértice com o maior ângulo) é a [[média geométrica]] dos [[segmentos de reta]] em que divide o lado oposto (mais longo). Este é o [[Teorema da média geométrica|teorema da altura do triângulo retângulo]].

=== Círculo inscrito e circunscrito ===

* O triângulo pode ser inscrito em um [[semicírculo]], com um lado coincidindo com a totalidade do diâmetro ([[Teorema de Tales]]).
* O [[circuncentro]] é o [[ponto médio]] do lado mais longo.
* O lado mais longo é o [[diâmetro]] do círculo circunscrito <math>\displaystyle (c=2R).</math>
* O circuncírculo é [[tangente]] ao [[círculo de nove pontos]].<ref name="Andreescu" />
* O [[ortocentro]] fica no circuncírculo.<ref name="Crux" />
* A distância entre o [[incentro]] e o ortocentro é igual a <math>\sqrt{2}r</math>.<ref name="Crux" />
{{Referências}}

== Bibliografia ==

* {{MathWorld|title=Right Triangle|urlname=RightTriangle}}
* {{citar livro|url=https://archive.org/details/atextbookgeomet10wentgoog|título=A Text-Book of Geometry|último =Wentworth|primeiro =G.A.|publicado=Ginn & Co.|ano=1895}}

==Ligações externas==
{{Commonscat|Right triangles}}{{Wikilivros|Matemática elementar|Geometria plana/Triângulos/Triângulo retângulo|Triângulo retângulo}}
*[http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigon1/mod114.htm Matemática Essencial: Trigonometria do Triângulo Retângulo]
*[http://seusaber.com.br/matematica/como-calcular-a-area-de-um-triangulo-retangulo.html Calculando a área do triângulo retângulo]
{{Portal3|Matemática|Geometria}}{{Controle de autoridade}}
[[Categoria:Geometria do triângulo]]
[[Categoria:Polígonos]]
[[Categoria:Desenho geométrico]]