Momento de inércia

Em mecânica, o momento de inércia, ou momento de inércia de massa, expressa o grau de dificuldade em se alterar o estado de movimento de um corpo em rotação. Diferentemente da massa inercial (que é um escalar), o momento de inércia ou Tensor de Inércia também depende da distribuição da massa em torno de um eixo de rotação escolhido arbitrariamente. Quanto maior for o momento de inércia de um corpo, mais difícil será girá-lo ou alterar sua rotação. Contribui mais para o aumento do valor do momento de inércia a porção de massa que está afastada do eixo de giro. Um eixo girante fino e comprido, com a mesma massa de um disco que gira em relação ao seu centro, terá um momento de inércia menor que este. Sua unidade de medida, no SI, é quilograma vezes metro ao quadrado (kg·m²). Em mecânica clássica, momento de inércia também pode ser chamado inércia rotacional, momento polar de inércia.

Para movimentos planos de um corpo, a trajetória de todos os pontos acontece em planos paralelos e a rotação ocorre apenas em torno do eixo perpendicular a esse plano. Neste caso, o corpo tem um único momento de inércia, medido em torno desse eixo.

Introdução

Definição escalar

Quando está girando, o disco de uma serra elétrica possui uma energia cinética associada à rotação. Para expressar tal energia cinética $K$, não se pode aplicar a fórmula convencional Predefinição:Math ao disco como um todo, pois isso resultaria apenas na energia cinética do centro de massa do disco, que é nula. Em vez disso, há de se tratar o disco, assim como qualquer outro corpo rígido em rotação, como um conjunto de partículas a diferentes distâncias do centro do disco e, portanto, com diferentes velocidades. Dessa forma, a energia cinética total do objeto será a soma das energias cinéticas de cada partícula. Considerando a rotação de um corpo rígido como um conjunto de partículas em movimento circular em torno de um eixo fixo, as distâncias $r_i$ de cada partícula $i$ relacionam-se às suas velocidades $v_i$ por uma velocidade angular $\omega$, igual para todas as partículas, pela relação $v_i=\omega r_i$. Com isso, usando a definição de energia cinética para várias partículas, a princípio de massas $m_i$ distintas, obtém-se a seguinte expressão:

$K=\sum \frac{1}{2}{m}_i{v}_i^2=\sum \frac{1}{2}{m}_i(\omega r_i{)}^2=\frac{1}{2}(\sum m_i{r}_i^2){\omega }^2$

Nessa expressão, subentende-se que a soma é estendida a todas as partículas do corpo. A grandeza entre parênteses no lado extremo direito da equação depende da forma como a massa do corpo está distribuída em relação ao eixo da rotação. Denomina-se tal grandeza como sendo o momento de inércia do corpo em relação a tal eixo de rotação. O momento de inércia, representado pela letra $I$, depende do corpo e do eixo em torno do qual está sendo executada a rotação, isto é, seu valor só possui significado se for especificado em relação a qual eixo de rotação o corpo gira. Com isso, representando $m$ a sua massa e $r$ sua distância ao eixo de rotação, a definição formal de momento de inércia para uma partícula isolada é:

Definição de momento de inércia (uma partícula) $I=m{r}^2$

Cálculo

Por definição, o momento de inércia $I$ de uma partícula de massa $m$ e que gira em torno de um eixo, a uma distância $r$ dele, é

$I=m{r}^2$.

Se um corpo é constituído de $n$ massas pontuais (partículas), seu momento de inércia total é igual à soma dos momentos de inércia de cada massa:

$I=\sum _{i=1}^n{m}_i{r}_i^2$,

sendo $m_i$ a massa de cada partícula, e $r_i$ sua distância ao eixo de rotação.

Para um corpo rígido, podemos transformar o somatório em uma integral, integrando para todo o corpo $C$ o produto da massa $m$ em cada ponto pelo quadrado da distância $r$ até o eixo de rotação:

$I_c=\underset{C}{\int }{r}^{2}dm$.

Exemplos

Predefinição:Artigo principal Há vários valores conhecidos para o momento de inércia de certos tipos de corpos rígidos. Alguns exemplos (supondo que a distribuição de massa seja uniforme:

• Para um cilindro maciço de massa $M$ e raio da base $R$, em torno de seu eixo:

$I=\frac{1}{2}M{R}^2$

• Para uma esfera maciça de massa $M$ e raio $R$, em torno de seu centro:

$I=\frac{2}{5}M{R}^2$

• Para um anel cilíndrico de massa $M$ e raio $R$, em torno de um eixo paralelo à geratriz e passando por seu centro:

$I=M{R}^2$

• Para um cilindro vazado de raio externo $R$ e de raio interno $r$, em torno do seu eixo:

$I=\frac{M}{2}(r^2+R^2)$

• Para uma barra delgada, com área de seção transversal tendendo a 0 e comprimento $L$, perpendicularmente à barra e passando por seu centro:

$I=\frac{1}{12}M{L}^2$

• Para uma barra delgada, com área de seção transversal tendendo a 0 e comprimento $L$, perpendicularmente à barra e passando por uma de suas extremidades:

$I=\frac{1}{3}M{L}^2$

Ver também

• Momento de inércia de área
• Produto de inércia
• Quantidade de movimento angular
• Movimento circular uniforme
• Impulso

Bibliografia

• Predefinição:Citar livro