Produto fibrado

Diagrama de produto fibrado

O produto fibrado (ou pullback) é uma construção de teoria das categorias.

Definição

Dadas duas setas $f:b\to a$ e $g:c\to a$, de uma categoria C qualquer, com destino comum $a$, o produto fibrado de $(f,g)$ é um objeto $b{\times }_{a}c$ e duas setas $p:b{\times }_{a}c\to b$ e $q:b{\times }_{a}c\to c$ tal que:

1. $f\circ p=g\circ q$, onde $f\circ p,g\circ q:b{\times }_{a}c\to a$;
2. Para qualquer outra tripla $(d,h:d\to b,k:d\to c)$ tal que $g\circ k=f\circ h$, existe uma única seta $⟨h,k{⟩}_a:d\to b{\times }_{a}c$ tal que $p\circ ⟨h,k{⟩}_a=h$ e $q\circ ⟨h,k{⟩}_a=k$.

Neste caso, diz-se que $$\begin{array}{ccc}b{\times }_{a}c& \stackrel{q}{\to }& c\\ \downarrow p& & \downarrow g\\ b& \stackrel{f}{\to }& a\end{array}$$ é quadrado de produto fibrado.

O conceito dual do produto fibrado é a soma amalgamada.

Como o produto fibrado é caso particular do limite em teoria das categorias, produtos fibrados (se existem) são únicos a menos de isomorfismo.

Exemplo

Na categoria dos conjuntos o produto fibrado de $f$ e $g$ é o conjunto $X{\times }_{Z}Y=\{(x,y)\in X\times Y|f(x)=g(y)\}$, com as restrições das projeções $p_1$ e $p_2$ a $X{\times }_{Z}Y$.

Propriedade

Pullbacks podem ser concatenados. Mais precisamente, dado diagrama comutativo numa categoria qualquer $$\begin{array}{ccccc}A& \to & C& \to & E\\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ B& \to & D& \to & F\end{array}$$se os quadrados Predefinição:Math e Predefinição:Math são diagramas de produto fibrado, então o retângulo exterior Predefinição:Math também é. Ainda mais, se o retângulo exterior Predefinição:Math e o quadrado direito Predefinição:Math são diagramas de produto fibrado, então o quadrado esquerdo Predefinição:Math também é.

Produto fibrado de família de morfismos

Há também o conceito de produto fibrado para mais de dois morfismos. Seja família $\{g_i:a_i\to b{\}}_{i\in I}$ de morfismos na categoria $C$. Um produto fibrado (ou pullback) dessa família é um objeto $a\in C$, junto a outra família de morfismos $\{f_i:a\to a_i{\}}_{i\in I}$ e um morfismo $f:a\to b$, tal que:

• $g_i\circ f_i=f$ para qualquer índice $i\in I$;
• para qualquer família $\{f{\text{'}}_i:a^{\prime }\to a_i{\}}_{i\in I}$ de morfismos e morfismo $f^{\prime }:a^{\prime }\to b$ tais que $g_i\circ f{\text{'}}_i=f^{\prime }$ para qualquer índice $i\in I$, há único morfismo $h:a^{\prime }\to a$ tal que $f^{\prime }=f\circ h$ e $f{\text{'}}_i=f_i\circ h$ para cada $i\in I$.

O morfismo $f:a\to b$ (que só foi explicitado acima para o caso $I=\mathrm{\varnothing }$) também é chamado de pullback.

Ver também

• Matemática
• Ciência da computação

Ligações externas

• Categories, Types and Structures por Andrea Asperti e Giuseppe Longo
• Predefinição:Link

Bibliografia

• Predefinição:Citar livro
• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician (2nd ed.). Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8.
• Barr, Michael & Wells, Charles, Category Theory for Computing Science, Prentice Hall, London, UK, 1990.