Monomorfismo (teoria das categorias)

Exemplo de um monomorfismo

Um monomorfismo (ou mono), no contexto de teoria das categorias, é uma generalização do conceito de função injetiva. Uma seta $h:a\to b$ numa categoria $C$ é um monomorfismo se e somente se $h\circ g=h\circ f$ implica $g=f$ sempre que $g,f:c\to a$ são setas e $c$ é objeto de $C$. Ou seja, uma seta é mono se ela pode ser cancelada à esquerda de uma composição.

A noção dual a monomorfismo é epimorfismo.

Exemplos

• Na categoria dos conjuntos, dos espaços topológicos (e funções contínuas), dos grupos (e homomorfismos de grupos), monomorfismos são exatamente os mapeamentos injetivos.
• Na categoria de grupos abelianos divisíveis (isto é, um grupo abeliano Predefinição:Math satisfazendo Predefinição:Math para cada Predefinição:Math inteiro positivo), a projeção Predefinição:Math é um monomorfismo que não é injetivo.

Seção

Se Predefinição:Math para algumas setas Predefinição:Math e Predefinição:Math, Predefinição:Math é chamada inversa à direita ou seção e Predefinição:Math é chamada inversa à esquerda ou retração. Toda seção é monomorfismo e toda retração é epimorfismo.

Eis alguns exemplos:

• Na categoria dos conjuntos, se Predefinição:Math, uma função Predefinição:Math é uma seção precisamente quando é injetiva.
• Na categoria dos módulos sobre um anel Predefinição:Math, um homomorfismo Predefinição:Math é uma seção precisamente quando há sequência exata$$0\to M\stackrel{\varphi }{\to }N\stackrel{a\mapsto a+\mathrm{im}\varphi }{\to }\mathrm{conuc}\varphi \to 0$$que cinde, isto é, quando há diagrama comutativo$$\begin{array}{ccccccccc}0& \to & M& \stackrel{\varphi }{\to }& N& \to & \mathrm{conuc}\varphi & \to & 0\\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \\ 0& \to & M{\text{'}}_1& \to & M{\text{'}}_1\oplus M{\text{'}}_2& \to & M{\text{'}}_2& \to & 0\end{array}$$no qual a setas verticais são isomorfismos, e as duas setas na linha de baixo são definidas por Predefinição:Math e Predefinição:Math. (O módulo Predefinição:Math "cinde-se" em Predefinição:Math e o conúcleo de Predefinição:Math.) Por isso, seções são também chamadas de monomorfismos que cindem.

Subobjetos

Predefinição:Artigo principal Dados monomorfismos $u:s\to a,v:t\to a$ de mesmo contradomínio, escreve-se $u\le v$ quando $u=v\circ u^{\prime }$ para alguma $u^{\prime }:s\to t$; escreve-se $u\equiv v$ quando $u\le v$ e $v\le u$. Então, $\equiv$ é relação de equivalência no conjunto dos monomorfismos de contradomínio $a$, e cada classe de equivalência associada é chamada um subobjeto de $a$.

Na categoria dos conjuntos e na dos grupos, por exemplo, subobojetos correspondem biunivocamente a subconjuntos e subgrupos, respectivamente.

Dada uma família $\{u_i:s_i\to a{\}}_{i\in I}$ de subobjetos de $a$ (aqui, usa-se a mesma notação para um subobjeto e um monomorfismo representante), o ínfimo de $A$ (se existe) é exatamente o produto fibrado (ou pullback) dos $\{u_i:s_i\to a{\}}_{i\in I}$.

Bibliografia

• Predefinição:Citar livro
• ASPERTI, Longo. Categories, Types, and Structures. The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, London.
• BARR, Michael; WELLS, Charles. Category Theory for Computing Science, Prentice Hall, London, UK, 1990.
• MAC LANE, Saunders. Categories for the Working Mathematician. 2 ed. Graduate Texts in Mathematics 5. Springer, 1998. ISBN 0-387-98403-8.
• Predefinição:Citar livro

Ver também

• Matemática
• Ciência da computação

Ligações externas

• Categories, Types and Structures por Andrea Asperti e Giuseppe Longo