Epimorfismo (teoria das categorias)

Na teoria das categorias, epimorfismo generaliza o conceito de funções sobrejetivas ou de imagens "suficientemente grandes". Mais precisamente, um epimorfismo (ou epi) é um morfismo Predefinição:Math numa categoria Predefinição:Math com a propriedade de que

sempre que Predefinição:Math é objeto de Predefinição:Math e Predefinição:Math são morfismos paralelos. Brevemente, um epimorfismo é uma seta cancelável à direita da composição.^[1]^[2]

O conceito dual a epimorfismo é monomorfismo.

Nota de terminologia: Fora da teoria das categorias, "epimorfismo" pode referir-se a um homomorfismo sobrejetivo.^[3]

Exemplos

Na categoria dos conjuntos, na categoria dos grupos (e homomorfismos de grupos) e na categoria de espaços topológicos (e funções contínuas), os epimorfismos são precisamente os mapeamentos sobrejetivos.^[2]^[4]
Na categoria dos anéis, a inclusão Predefinição:Math é um epimorfismo não sobrejetivo.^[5]
Na categoria dos espaços de Hausdorff, um mapeamento é epimorfismo precisamente quando sua imagem é densa no contradomínio.^[4]

Se Predefinição:Math para algumas setas Predefinição:Math e Predefinição:Math, Predefinição:Math é chamada inversa à direita ou seção e Predefinição:Math é chamada inversa à esquerda ou retração. Toda seção é monomorfismo e toda retração é epimorfismo.^[2] Eis alguns exemplos de retrações:

Na categoria dos conjuntos, as retrações são precisamente as funções sobrejetivas. (Inclusive, isto é uma das formulações do axioma da escolha.)^[6]
Na categoria dos módulos sobre um anel Predefinição:Math, um homomorfismo Predefinição:Math é uma retração precisamente quando há sequência exata $0 \to nuc ϕ \overset{\subseteq}{\to} M \overset{ϕ}{\to} N \to 0$ que cinde, isto é, quando há diagrama comutativo $\begin{matrix} 0 & \to & nuc ϕ & \to & M & \overset{ϕ}{\to} & N & \to & 0 \\ ↓ & ↓ & ↓ \\ 0 & \to & M'_{1} & \to & M'_{1} \oplus M'_{2} & \to & M'_{2} & \to & 0 \end{matrix}$ no qual a setas verticais são isomorfismos, e as duas setas na linha de baixo são definidas por Predefinição:Math e Predefinição:Math. (O módulo Predefinição:Math "cinde-se" em Predefinição:Math e o núcleo de Predefinição:Math.) Por isso, retrações são também chamadas de epimorfismos que cindem.^[7]