Distribuição binomial

Em teoria das probabilidades e estatística, a distribuição binomial é a distribuição de probabilidade discreta do número de sucessos numa sequência de $n$ tentativas tais que:

1. Cada tentativa tem exclusivamente como resultado duas possibilidades, sucesso ou fracasso (binomial, a que se chama de ensaio de Bernoulli), e;
2. Cada tentativa é independente das demais, e;
3. A probabilidade de sucesso $p$ a cada tentativa permanece constante independente das demais, e;
4. A variável de interesse, ou pretendida, é o número de sucessos $k$ nas $n$ tentativas.

Função de probabilidade

Se a variável aleatória X que contém o número de tentativas que resultam em sucesso tem uma distribuição binomial com parâmetros n e p escrevemos X ~ B(n, p). A probabilidade de ter exatamente k sucessos é dado pela função de probabilidade:

$f(k;n,p)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}$

para $k=0,1,2,\dots ,n$ e onde $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ é uma combinação.

Colocando a função completa, incluindo a Combinação:

$f(k;n,p)=\frac{n!}{k!(n-k)!}{p}^k(1-p{)}^{n-k}$

Cada parte da função acima traduz os seguintes dados:

A combinação $\frac{n!}{k!(n-k)!}$ contém as ordenações possíveis;

O número de sucesso é $p^k$, e;

A probabilidade de fracassos é $(1-p{)}^{n-k}$.

Por meio do desenvolvimento do binômio e algumas operações com expoentes e fatoriais, é possível demonstrar que:

$f(k;n,p)=\frac{p}{1-p}\frac{n-k+1}{k}f(k-1;n,p)$

Exemplos

Exemplo 1

Três dados comuns e honestos serão lançados. A probabilidade de que o número 6 seja obtido mais de uma vez é: A probabilidade de que seja obtido 2 vezes mais a probabilidade de que seja obtido 3 vezes. Usando a distribuição binomial de probabilidade:

Acha-se a probabilidade de que seja obtido 2 vezes:

$f(2;3,\frac{1}{6})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2})\times {\left(\frac{1}{6}\right)}^2\times {(1-\frac{1}{6})}^{3-2}$

$=\frac{3!}{2!\cdot (3-2)!}\times \frac{1}{36}\times (\frac{5}{6}{)}^1=$

$=\frac{3}{1}\times \frac{1}{36}\times \frac{5}{6}=\frac{15}{216}=\frac{5}{72}$

Agora a probabilidade de que seja obtido 3 vezes:

$f(3;3,\frac{1}{6})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3})\times {\frac{1}{6}}^3\times (1-\frac{1}{6}{)}^{3-3}=$

$=\frac{3!}{3!\cdot (3-3)!}\times \frac{1}{216}\times (\frac{5}{6}{)}^0=$

$=\frac{3!}{3!}\times \frac{1}{216}\times 1=$

$\frac{3!}{3!}=\frac{6}{6}=1$

$=1\times \frac{1}{216}\times 1=\frac{1}{216}$

Assim, a resposta é:

$=\frac{15}{216}+\frac{1}{216}=\frac{16}{216}=\frac{2}{27}$

Exemplo 2

Seja X uma variável aleatória que contém o número de caras saídas em 12 lançamentos de uma moeda honesta. A probabilidade de sair 5 caras em 12 lançamentos, $P(X=5)$, é dada por:

$k=5,n=12,p=0,5$

$f(5;12;0,5)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{5})0,5^5(1-0,5{)}^{12-5}=0,19$

Valor esperado e variância

Se a X ~ B(n, p) (isto é, X é uma variável aleatória binomialmente distribuida), então o valor esperado de X é

$E[X]=np$

e a variância é

$\text{var}(X)=np(1-p).$

Ligações externas

• Calculadora - Distribuição binomial