Teorema de Papo

Teorema de Papo:
Dado um hexágono XbCYcB, cujos lados são formados pelas retas Ab-bC-Ca-aB-Bc-cA, se as retas Xb, BC e cY são concorrentes e se BX, cb e YC são concorrentes, então as retas Bc, XY e bC serão também concorrentes

O teorema de Papo, mais conhecido como teorema de Pappus, atribuído a Papo (ou Pappus) de Alexandria, é um teorema de geometria projetiva do plano sobre o alinhamento de três pontos:

Dado um conjunto de pontos colineares A, B, C, e um outro conjunto de pontos colineares a, b, c, os pontos de intersecção x, y, z dos pares de retas
Ab-aB, Ac-aC e Bc - bC também serão colineares.

A dualidade desse teorema afirma que:

Dado um conjunto de linhas concorrentes A, B, C, e um outro conjunto de linhas concorrentes a, b, c, então as linhas x, y, z definidas pelos pares de pontos resultantes dos pares de intersecção (A∩b, a∩B), (A∩c , a∩C) e (B∩c, b∩C) são concorrentes.

A generalização deste teorema é o teorema de Pascal, que foi descoberto por Blaise Pascal, quando tinha 16 anos de idade.

Afirmação e prova do teorema de Papo

Hexágono XbCYcB exemplo do Teorema de Papo

Vamos considerar seis linhas em um plano projetado: U, V, W, X, Y, e Z. Então o teorema pode ser expresso como:

Se

(1) os pontos equivalentes as intersecções de U com V, X com W, e Y com Z são colineares,

e se

(2) os pontos equivalentes as intersecções de U com Z, X com V, e Y com W são colineares, então

deve ser verdade que

(3) os pontos equivalentes a intersecções de U com W, X com Z, e Y com V são colineares.

Simbolicamente, o teorema de papus afirma o seguinte:

Se

$⟨U\times V,X\times W,Y\times Z⟩=0$

e se

$⟨U\times Z,X\times V,Y\times W⟩=0$

então

$⟨U\times W,X\times Z,Y\times V⟩=0.$

Prova

Sendo

$\alpha =⟨U\times V,X\times W,Y\times Z⟩$

$\beta =⟨U\times Z,X\times V,Y\times W⟩$

$\gamma =⟨U\times W,X\times Z,Y\times V⟩$

Nós temos que demonstrar que se $\alpha$ = 0 e $\beta$ = 0, então $\gamma$ = 0.

Passo 1

Utilizando a identidade

$⟨A,B,C⟩=⟨C,A,B⟩=⟨B,C,A⟩$

podemos expressar $\alpha$, $\beta$, e $\gamma$ na seguinte forma equivalente:

$\alpha =⟨U\times V,X\times W,Y\times Z⟩$

$\beta =⟨Y\times W,U\times Z,X\times V⟩$

$\gamma =⟨X\times Z,Y\times V,U\times W⟩$

Passo 2

Aplicando as propriedades

$⟨A,B,C⟩=A\cdot (B\times C)$

$A\times (B\times C)=(A\cdot C)B-(A\cdot B)C$

obtemos

$\alpha =(U\times V)\cdot ((X\times W)\times (Y\times Z))$

$\beta =(Y\times W)\cdot ((U\times Z)\times (X\times V))$

$\gamma =(X\times Z)\cdot ((Y\times V)\times (U\times W))$

e então

$\alpha =(U\times V)\cdot (⟨X,W,Z⟩Y-⟨X,W,Y⟩Z)$

$\beta =(Y\times W)\cdot (⟨U,Z,V⟩X-⟨U,Z,X⟩V)$

$\gamma =(X\times Z)\cdot (⟨Y,V,W⟩U-⟨Y,V,U⟩W)$

Passo 3

Usando a propriedade distributiva do produto escalar:

$\alpha =⟨X,W,Z⟩⟨U,V,Y⟩-⟨X,W,Y⟩⟨U,V,Z⟩$

$\beta =⟨U,Z,V⟩⟨Y,W,X⟩-⟨U,Z,X⟩⟨Y,W,V⟩$

$\gamma =⟨Y,V,W⟩⟨X,Z,U⟩-⟨Y,V,U⟩⟨X,Z,W⟩$

Passo 4

Com as identidades

$⟨A,B,C⟩=⟨C,A,B⟩=⟨B,C,A⟩$

$⟨A,B,C⟩=-⟨A,C,B⟩=-⟨C,B,A⟩=-⟨B,A,C⟩$

Podemos permutar os termos como segue:

$\alpha =⟨X,W,Z⟩⟨U,V,Y⟩-⟨X,W,Y⟩⟨U,V,Z⟩$

$\beta =-⟨U,Z,X⟩⟨Y,W,V⟩+⟨X,W,Y⟩⟨U,V,Z⟩$

$\gamma =⟨U,Z,X⟩⟨Y,W,V⟩-⟨X,W,Z⟩⟨U,V,Y⟩$

Passo 5

Agora podemos somar as equações para obter:

$\alpha +\beta +\gamma =0$

$\gamma =-(\alpha +\beta )$

de onde segue que se $\alpha$ = 0 e $\beta$ = 0, então $\gamma$ = 0.