Recobrimento (topologia)

Uma cobertura

Em topologia, um espaço de recobrimento, ou simplesmente recobrimento, de um espaço topológico X conexo por arcos é uma aplicação contínua $p:Y\to X$, onde Y é um espaço conexo por arcos e p é tal que cada ponto de X tem uma vizinhança U cuja imagem recíproca é um conjunto com componentes conexas $S_i$ de modo que cada $p{|}_{S_i}:S_i\to U$ é um homeomorfismo.

O termo cobertura às vezes é empregado como sinônimo de recobrimento, mas este uso pode causar confusão com a noção de cobertura aberta.

O grau de uma cobertura $p:Y\to X$ é o cardinal de $p^{-1}(x)$, para qualquer $x\in X$.

O grupo de um recobrimento $p:Y\to X$ é constituído pelas aplicações contínuas $\varphi :Y\to Y$ tais que $p\circ \varphi =p$.

Recobrimentos universais

Um recobrimento $p:Y\to X$, onde Y é simplesmente conexo, é dito um recobrimento universal de X. O grupo fundamental de X é o grupo de um recobrimento universal de X.