Lei de Wien

Espectro da radiação de corpo negro para diversas temperaturas. A lei de Wien descreve o comportamento do comprimento de onda para o qual a intensidade da radiação é máxima em função da temperatura.

A lei de Wien (ou lei do deslocamento de Wien) é a lei da física que relaciona o comprimento de onda onde se situa a máxima emissão de radiação eletromagnética de corpo negro e sua temperatura:

${\lambda }_{\text{max}}=\frac{b}{T}$ .

Nessa expressão, ${\lambda }_{\text{max}}$ é o comprimento de onda (em metros) para o qual a intensidade da radiação eletromagnética emitida é máxima, $T$ é a temperatura do corpo em kelvins, e $b$ é a constante de proporcionalidade, chamada constante de dispersão de Wien, em m.K (metro x Kelvin).

O valor dessa constante é $b=2,8977685\times 10^{-3}$ m.K

O que resulta em:

${\lambda }_{\text{max}}=\frac{0,0028976}{T}$

Conforme a lei de Wien, quanto maior for a temperatura de um corpo negro, menor será o comprimento de onda para o qual a emissão é máxima. Por exemplo, a temperatura da fotosfera solar é de Predefinição:Fmtn K e o pico de emissão se produz a 501,3 nm =$(5,013\cdot 10^{-7}m)$. Como 1 angstrom 1 Å= 10⁻¹⁰ m=10⁻⁴ µm resulta que o máximo ocorre a Predefinição:Fmtn Å.

As propriedades da radiação do corpo podem ser deduzidas através da termodinâmica clássica. Boltzmann, apresentou a derivação teórica a partir da energia total emitida (I_T) por cm² e por segundo, sendo função da temperatura (T) de um corpo negro. Representado pela equação de Stefan-Boltzmann: I_T = σeT⁴, onde σ é a constante de Stefan-Boltzmann (1,3804 x 10^-23 m² kg s^-2 K^-1) e e é a eficiência de uma superfície como emissora de radiação térmica.

Devido as considerações de Boltzmann, pode-se expor que a radiação térmica, como toda radiação eletromagnética, exerce uma pressão proporcional à sua densidade de energia, comportando-se tal qual um gás. Levando em conta o ciclo de Carnot, Boltzmann relacionou o trabalho realizado pela pressão de radiação e sua temperatura. Essa relação permite expressar a radiação como densidade de energia e, consequentemente, em termos de energia total emitida.

Nessa compreensão, a cavidade contendo radiação térmica (radiação de cavidade), qualquer comprimento de onda será modificado em consequência do efeito Doppler. A partir dessas informações, Wilhelm Wien pôde derivar uma forma funcional para a distribuição espectral de radiação do corpo negro (Lei de Wien).

Dedução

Esta lei foi formulada empiricamente por Wilhelm Wien. Entretanto, hoje se deduz da lei de Planck para a radiação de um corpo negro da seguinte maneira:

$E(\lambda ,T)=\frac{C_1}{{\lambda }^5\cdot (e^{\frac{C_2}{\lambda \cdot T}}-1)}=\frac{C_1\cdot {\lambda }^{-5}}{(e^{\frac{C_2}{\lambda \cdot T}}-1)}$

onde as constantes valem no Sistema Internacional de Unidades:

$C_1=8\pi hc=4,99589\cdot 10^{-24}[J\cdot m]$

$C_2=\frac{hc}{k}=1,4385\cdot 10^{-2}m\cdot K=1,4385\cdot 10^4[\mu m\cdot K]$

Para encontrar o máximo, a derivada da função com respeito a $\lambda$ tem de ser zero.

$\frac{\partial (E(\lambda ,T))}{\partial \lambda }=0$

Basta utilizar a regra de derivação do quociente e como se tem que igualar a zero, o numerador da derivada será nulo ou seja:

$\frac{c_2}{\lambda \cdot T}=5\cdot (1-e^{\frac{-C_2}{\lambda \cdot T}})$

Se definimos

$x\equiv \frac{c_2}{\lambda T}$

então

$\frac{x}{1-e^{-x}}-5=0$

Esta equação não pode ser resolvida analiticamente. Utilizando o método de Newton ou da tangente:

$x=4.965114231744276\dots$

Da definição de x resulta que:

${\lambda }_{\text{max}}\cdot T=\frac{c_2}{x}=\frac{1.4385\cdot 10^4}{4.965114231744276}=2897,6\mu mK$

Assim que a constante de Wien é $2897,6\mu m\cdot K$ pelo que:

${\lambda }_{\text{max}}\cdot T=2897,6\mu m\cdot K$

Ligações externas

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