Teste da comparação do limite

Predefinição:Sem fontes O teste da comparação do limite é um método para classificar séries quanto à convergência. Este teste é uma generalização do teste da comparação.

Teste da comparação por limite (simples)

Sejam $\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n$ e $\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{b}_n$ séries de termos positivos. Então:

• Se $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{b_n}=C$, sendo $C$ um número e $0<C<+\mathrm{\infty }$, então:

ambas as séries divergem ou ambas as séries convergem.

• Se $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{b_n}=0$, então:

a convergência de $\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{b}_n$ implica a convergência de $\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n$.

• Se $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{b_n}=+\mathrm{\infty }$, então:

a divergência de $\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{b}_n$ implica a divergência de $\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n$;

Teste da comparação por limite superior

Sejam $\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{a}_n$ e $\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{b}_n$ séries de termos positivos. Então:

• Se $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{a_n}{b_n}<+\mathrm{\infty }$, temos que:

a convergência da segunda série implica a convergência da primeira.

Demonstração

É claro que basta mostrar a segunda versão mais geral do teorema.

Do limite superior temos que existe um $N$ tal que

$a_n\le (C+1)b_n,\mathrm{\forall }n\ge N$

Aplique o teste da comparação para os somatórios a partir de N e o resultado segue.

Exemplo

Seja $b_n=\frac{1}{n^{3/2}}$ e $a_n=\frac{\ln n}{n^2}$.

Como $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{b_n}=\frac{\ln (n)}{n^{1/2}}=0$, temos que:

$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{\ln n}{n^2}$ converge pois a série dos $b_n$ é uma série harmônica generalizada que converge pelo teste da integral.