Teorema de transporte de Reynolds

O teorema de transporte de Reynolds é o teorema fundamental utilizado na formulação das leis básicas da dinâmica dos fluidos, que são a equação da conservação de massa (ou equação da continuidade), as equações de conservação de quantidade de movimento e a equação de conservação de energia. Na física e na engenharia, essas leis são conhecidas, respectivamente, como: lei da conservação da massa, segunda lei de Newton e leis da Termodinâmica.

O teorema de transporte de Reynolds se refere à taxa de variação de uma propriedade extensiva, N, de um fluido em um volume de controle, que é expressa em termos da derivada material. Seu propósito é fornecer uma ligação entre os conceitos relacionados com os volumes de controles àqueles relacionados com sistemas.

Forma geral

$\frac{D{N}_{sis}}{Dt}=\underset{vc}{\overset{}{\int }}\frac{\partial }{\partial t}(\rho \eta )dV+\underset{sc}{\overset{}{\int }}\rho \eta {\overrightarrow{\upsilon }}_s\cdot \hat{n}dA+\underset{sc}{\overset{}{\int }}\rho \eta {\overrightarrow{\upsilon }}_f\cdot \hat{n}dA$

onde η é uma propriedade intensiva relacionada com a propriedade extensiva N (N por unidade de massa) por $N=m*\eta$, t é o tempo, vc se refere ao volume de controle, sc se refere a superfície de controle, ρ é a massa específica do fluido, V é o volume, ${\upsilon }_s$ é a velocidade da superfície de controle, ${\upsilon }_f$ é a velocidade do fluido em relação a superfície de controle, n é o vetor normal ao elemento de área, e A é a área.

Conservação da massa

Um sistema é definido como uma quantidade fixa de material. Assim, o princípio de conservação da massa para um sistema pode ser estabelecido por:

$\frac{D{M}_{sis}}{Dt}=0$

A massa do sistema pode ser representada por:

$M_{sis}=\underset{sis}{\int }\rho d\upsilon$

Onde N foi substituído pela massa. No caso η é igual a 1.

$0=\underset{c.v.}{\overset{}{\int }}\frac{\partial \rho }{\partial t}dV+\underset{c.s.}{\overset{}{\int }}\rho {\overrightarrow{v}}_b\cdot \hat{n}dA+\underset{c.s.}{\overset{}{\int }}\rho {\overrightarrow{v}}_r\cdot \hat{n}dA$

Todas as variáveis são definidas em sua formulação geral. M é igual a massa total do volume de controle. Aplicando o princípio de conservação da massa, o lado esquerdo da equação geral se reduz a 0, uma vez que a massa do sistema não varia no tempo. Em sistemas operando em regime permanente, o primeiro termo do lado direito da equação se reduz a zero, i.e. a massa do volume de controle não muda, o que implica que a massa que entra no volume de controle à igual a massa que sai.

Equação do movimento

A equação do movimento é obtida substituindo N pela quantidade de movimento. Para tanto, η é definido como sendo a velocidade.

De acordo com a segunda lei de Newton, relembramos que a força é a variação temporal da quantidade de movimento. Então:

$\sum _{}\overrightarrow{F}=\underset{c.v.}{\overset{}{\int }}\frac{\partial }{\partial t}(\rho \overrightarrow{\upsilon })dV+\underset{c.s.}{\overset{}{\int }}\rho \overrightarrow{\upsilon }({\overrightarrow{\upsilon }}_b\cdot \hat{n})dA+\underset{c.s.}{\overset{}{\int }}\rho \overrightarrow{\upsilon }({\overrightarrow{\upsilon }}_r\cdot \hat{n})dA,$

onde F é a força, $\upsilon$ é a velocidade do fluido no sistema de coordenadas em que está a superfície de controle e todas as outras variáveis já foram definidas na formulação geral. Note que trata-se de uma equação vetorial.

Equação da energia

A equação da energia pode ser obtida substituindo N pela energia. Pra isso, η é definido como sendo a energia por unidade de massa.

$\dot{Q}-\sum \dot{W}=\underset{c.v.}{\overset{}{\int }}\frac{\partial }{\partial t}\left[\rho (\frac{{\upsilon }^2}{2}+gz+\tilde{u})\right]dV+\underset{c.s.}{\overset{}{\int }}[\frac{{\upsilon }^2}{2}+gz+\tilde{u}+\frac{p}{\rho }]\rho {\overrightarrow{\upsilon }}_b\cdot \hat{n}dA+\underset{c.s.}{\overset{}{\int }}[\frac{{\upsilon }^2}{2}+gz+\tilde{u}+\frac{p}{\rho }]\rho {\overrightarrow{\upsilon }}_r\cdot \hat{n}dA$

onde Q é o calor adicionado ao volume de controle, W é o trabalho mecânico realizado pelo sistema, g é a aceleração devido à gravidade, z é uma distancia vertical arbitrária, $\tilde{u}$ é a energia interna específica do fluido, p é a pressão. Todas as outras variáveis já foram definidas na formulação geral.

Note que a equação não faz nenhuma consideração a reações químicas ou energia potencial associada a campos eletromagnéticos.

Volume de controle fixo

Para o caso particular de um volume de controle fixo, ${\upsilon }_s=0$ temos que:

$\frac{D{N}_{sis}}{Dt}=\underset{vc}{\overset{}{\int }}\frac{\partial }{\partial t}(\rho \eta )dV+\underset{sc}{\overset{}{\int }}\rho \eta {\overrightarrow{\upsilon }}_f\cdot \hat{n}dA$

Escoamento em regime permanente

No caso de regime permanente e volume fixo temos:

$\frac{\partial }{\partial t}\underset{vc}{\int }(\rho \eta )dV=0$

Então

$\frac{D{N}_{sis}}{Dt}=\underset{sc}{\int }(\rho \eta ){\overrightarrow{\upsilon }}_f\cdot \hat{n}dA$

Para que exista variação da quantidade de $N_{sis}$ associada ao sistema é necessário existir uma diferença entre a taxa com que $N$ é transportada para dentro do volume de controle e a taxa com que $N$ é transportada para fora do volume de controle.

O lado direito da equação representa a vazão líquida da propriedade no volume de controle. Se N representa a massa, $\eta =1$, então

$\underset{sc}{\int }(\rho ){\overrightarrow{\upsilon }}_f\cdot \hat{n}dA=\sum \dot{m_e}-\sum \dot{m_s}$

onde $\dot{m}$ é a vazão em massa (kg/s). Note que existe uma taxa de transferência de massa para fora do volume de controle se a integral do lado esquerdo for positiva. Se, no entanto, o valor da integral for negativo a taxa de transferência de massa ocorre para dentro do volume de controle.

Finalmente escrevemos:

$\frac{D{M}_{vc}}{Dt}=\sum \dot{m_e}-\sum \dot{m_s}$