Fração contínua

Predefinição:Mais fontes Um número pode ser representado de várias maneiras. Por exemplo, o número 0,5 também pode ser escrito na forma $\frac{1}{2}$, bem como $\frac{5}{10}$. A escolha da melhor representação irá depender de como o número será utilizado ou de quais operações serão realizadas.

Uma fração continuada, também chamada fração contínua é uma forma importante de representar números reais. Em geral, uma fração continuada é uma expressão da forma $a_0+\frac{b_1}{a_1+\frac{b_2}{a_2+\frac{b_3}{a_3+\cdots }}}$, em que o primeiro termo, $a_0$, é um número inteiro e os demais números $a_1,a_2,\dots ,b_1,b_2,\dots ,$ são números inteiros positivos.

Frações Continuadas Simples

Frações continuadas simples são expressões da forma $a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\frac{1}{\ddots }}}}$, em que todos os números $b_j$ são iguais a 1. Uma expressão da forma $a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{\ddots +\frac{1}{a_n}}}}$ é uma fração continuada simples finita. Tais expressões podem ser denotadas respectivamente por $[a_0;a_1,a_2,a_3,\dots ]$ e $[a_0;a_1,a_2,\dots ,a_n]$. Observe que o termo $a_0$ é separado por ponto e vírgula para evidenciar a parte inteira do número representado.

Exemplos: $\frac{10}{7}=1+\frac{3}{7}=1+\frac{1}{\frac{7}{3}}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{3}}=[1;2,3]$

$-\frac{18}{5}=-4+\frac{2}{5}=-4+\frac{1}{\frac{5}{2}}=-4+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}=[-4;2,2]$

Neste último exemplo, note que -4 é o maior inteiro que é menor do que -18/5.

Frações continuadas têm muitas propriedades relacionadas ao Algoritmo de Euclides para o cálculo do máximo divisor comum (MDC) entre dois números inteiros.

Vejamos um exemplo mais detalhado: a representação do número $\frac{344}{77}$ na forma de fração continuada.

Usando-se o algoritmo da divisão, obtém-se $344=4\times 77+36$. Logo, $\frac{344}{77}=4+\frac{36}{77}$.

A fração ao lado direito da expressão anterior é uma fração própria e tem numerador diferente de 1. É possível escrevê-la na forma $\frac{1}{\frac{77}{36}}$. Com isso, obtém-se a expressão $\frac{344}{77}=4+\frac{36}{77}=4+\frac{1}{\frac{77}{36}}$.

A divisão de 77 por 36 resulta no quociente 2 e resto 5. Logo, $\frac{77}{36}=2+\frac{5}{36}=2+\frac{1}{\frac{36}{5}}$.

Procedendo-se dessa forma até que a última fração tenha numerador igual a 1, chega-se ao seguinte resultado: $\frac{344}{77}=4+\frac{36}{77}=4+\frac{1}{\frac{77}{36}}=4+\frac{1}{2+\frac{1}{\frac{36}{5}}}=4+\frac{1}{2+\frac{1}{7+\frac{1}{5}}}$.

Observa-se que não há como ir além desse resultado pois, ao se escrever a última fração na forma $\frac{1}{\frac{5}{1}}$, chega-se à divisão de 5 por 1 cujo resto é igual a 0. Portanto o cálculo termina. Assim, a representação do número $\frac{344}{77}$ na forma de fração continuada é finita e pode ser escrita de forma abreviada como [4; 2, 7, 5].

É interessante observar que a representação decimal do número $\frac{344}{77}$ é infinita, a saber, a dízima periódica 4,4675324675324... enquanto que a representação na forma de fração continuada é finita.

É fácil perceber que toda fração continuada finita representa um número racional. Reciprocamente, todo número racional pode ser escrito na forma de uma fração continuada finita.

Portanto, toda fração continuada infinita é uma representação de um número irracional.

Frações Continuadas Simples Infinitas

É conveniente denotar repetições periódicas da forma $[a_0;a_1,a_2,r,s,r,s,\dots ]$ por $[a_0;a_1,a_2,\overline{r,s}]$.

Exemplo. Vamos verificar que $[2;2,2,2,\dots ]=[2;\bar{2}]=\sqrt{2}+1$. De fato, como $(\sqrt{2}+1)\cdot (\sqrt{2}-1)=1$, podemos escrever, $\sqrt{2}-1=\frac{1}{\sqrt{2}+1}$

Também são verdadeiras as igualdades $\sqrt{2}+1=\sqrt{2}+(2-1)=2+(\sqrt{2}-1)$. Pode-se concluir que $\sqrt{2}+1=2+\frac{1}{\sqrt{2}+1}$

A aplicação sucessiva da última igualdade no denominador da fração obtida anteriormente, leva à seguinte expressão:

$\sqrt{2}+1=2+\frac{1}{\sqrt{2}+1}=2+\frac{1}{2+\frac{1}{\sqrt{2}+1}}=2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{\sqrt{2}+1}}}=\dots =2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\dots }}}$

O processo acima necessita de alguma verificação mais rigorosa, já que, por ser um processo infinito, não é garantido que o limite criado no lado direito da igualdade existe.

É interessante observar que, se conhecêssemos apenas o lado direito da expressão acima e soubéssemos que o limite existe, poderíamos escrever: $x=2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\dots }}}⟺x-2=\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\dots }}}=\frac{1}{x}⟺(x-2)x=1⟺x^2-2x-1=0$

Como $x$ é um número positivo, concluímos que $x=1+\sqrt{2}$.

Os exemplos acima devem motivar a estudar melhor a existência dos limites necessários para se concluir os resultados e garantir que as igualdades acima estão corretas.

Frações Parciais

Se $x=[a_0;a_1,a_2,\dots ]$, chamamos de convergentes ou frações parciais a sequência de números racionais $c_0,c_1,c_2,\dots$ dados por:

$c_0=a_0,c_1=a_0+\frac{1}{a_1},c_2=a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2}},\cdots ,c_n=a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{\cdots +\frac{1}{a_n}}},\cdots$,

ou seja, $c_0=[a_0],c_1=[a_0;a_1],c_2=[a_0;a_1,a_2],\cdots ,c_n=[a_0;a_1,a_2,\cdots ,a_n],\cdots$

A existência do limite da sequência das frações parciais $(c_n{)}_n$ deve ser estudada e estabelecida para que se possa garantir a veracidade das afirmações que envolvem frações continuadas infinitas.

Alguns exemplos:

• O número de ouro, dado por $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ pode ser escrito como a seguinte fração continuada infinita e periódica: $[1;\bar{1}]$.

Os convergentes do número de ouro são $[1]=1,[1;1]=1+\frac{1}{1}=2,[1;1,1]=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1}}=\frac{3}{2},[1;1,1,1]=\frac{5}{3},[1;1,1,1,1]=\frac{8}{5},[1;1,1,1,1,1]=\frac{13}{8},\cdots$ É interessante observar que tanto os numeradores quanto os denominadores das frações parciais do número de ouro $(\frac{1}{1},\frac{2}{1},\frac{3}{2},\frac{5}{3},\frac{8}{5},\frac{13}{8},\dots )$ formam a sequência de Fibonacci $1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,\cdots$

• $\sqrt{3}=[1;1,2,1,2,1,2,\dots ]=[1;\overline{1,2}]$
• $\sqrt{7}=[2;1,1,1,4,1,1,1,4,\dots ]=[2;\overline{1,1,1,4}]$

Contribuições Importantes

Citamos a seguir alguns matemáticos que contribuíram para o desenvolvimento deste assunto.

• Rafael Bombelli (1526 - 1572) sabia (embora não com a notação usada hoje) que

$\sqrt{13}=3+\frac{4}{6+\frac{4}{6+\frac{4}{6+\dots }}}$

• William Brouncker (1620 – 1684) escreveu a expansão

$\frac{4}{\pi }=1+\frac{1}{2+\frac{9}{2+\frac{25}{2+\frac{49}{2+\frac{81}{2+\dots }}}}}$, que foi uma descoberta muito importante para a história do número $\pi$.

• Leonhard Euler (1707 - 1783) escreveu o primeiro texto abrangente em que

explicava propriedades de frações continuadas. Euler demonstrou que os racionais são escritos como frações continuadas finitas e provou que a representação dos irracionais na forma de fração continuada é infinita.

É interessante saber que o número $e$, definido por $e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1+\frac{1}{n}{)}^n$ cujo valor aproximado é 2,718281... se escreve como $e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,\cdots ]$

• Johann Heinrich Lambert (1728 – 1777) escreveu a primeira demonstração de que o número $\pi$ é irracional, usando frações continuadas para calcular $\tan (x)$ da forma

$\tan (x)=\frac{1}{\frac{1}{x}-\frac{1}{\frac{3}{x}-\frac{1}{\frac{5}{x}-\cdots }}}$ Lambert usou essa expressão para concluir que se $x$ é um número racional não nulo, então $\tan (x)$ não pode ser um número racional. Sendo assim, como $\tan (\frac{\pi }{4})=1$, então $\pi$ não pode ser racional.

• Joseph-Louis Lagrange (1736 – 1813) demonstrou que as raízes irracionais de equações quadráticas têm expansão na forma de fração continuada periódica.

Exemplos de frações contínuas

Alguns exemplos de frações contínuas:
$\sqrt{2}=[1;2,2,2,2,2,2,2,\dots ]$
$\sqrt{3}=[1;1,2,1,2,1,2,1,2,\dots ]$
$\sqrt{5}=[2;4,4,4,4,4,\dots ]$
$\sqrt{7}=[2;1,1,1,4,1,1,1,4,1,1,1,4,\dots ]$
$e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,\dots ]$
$\pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,\dots ]$
$\varphi =[1;1,1,1,1,1,1,1,1,\dots ]$

• COURANT, R., ROBBINS, H. , O que é matemática: uma abordagem elementar de métodos e conceitos, Rio de Janeiro, Ciência Moderna, 2000.
• DUNE, E., MCCONNELL, M. , Pianos and Continued Fractions, Mathematics magazine, Vol. 72, no. 2, 1999, 104-115.
• OLDS, C. D., Continued Fractions, Mathematical Association of America, v. 9, Nova Iorque, 1963.

Ligações externas

• Frações Contínuas - Mathemathika!
• Exemplos de Frações Contínuas - Mathemathika!