Energia potencial gravitacional

A força gravitacional mantém os planetas em órbita ao redor do sol.

A energia potencial gravitacional ou energia gravitacional é a energia potencial que um objeto massivo tem em relação a outro objeto massivo devido à gravidade. É a energia potencial associada ao campo gravitacional, que é parcialmente convertida em energia cinética quando os objetos caem uns contra os outros. A energia potencial gravitacional aumenta quando dois objetos são separados.

Para duas partículas pontuais que interagem em pares, a energia gravitacional é determinada pelas massas das partículas, sua separação e a constante gravitacional (Predefinição:Math). Perto da superfície da Terra, o campo gravitacional é aproximadamente constante, e a energia potencial gravitacional $U$ de um objeto pode ser expressa por

$U=mgh$ .

Nessa expressão $m$ é a massa do objeto, $g$ é a gravidade da Terra e $h$ é a altura do centro de massa do objeto acima de um nível de referência escolhido.

Expressão genérica

Corpos pontuais

Sabe-se que o campo das forças gravitacionais entre dois corpos pontuais 1 e 2, cuja posição relativa e o vetor $\overrightarrow{r}$ é:

$\overrightarrow{F}\left(\overrightarrow{r}\right)=\frac{G\cdot m_1\cdot m_2}{{\Vert \overrightarrow{r}\Vert }^3}\overrightarrow{r}$

onde G representa a constante de gravitação universal, m₁ e m₂ representam as massas em interação, $\overrightarrow{r}$ representa o vetor que localiza uma das massas em relação à outra e $r=\Vert \overrightarrow{r}\Vert =\sqrt{\overrightarrow{r}.\overrightarrow{r}}$ representa o módulo (tamanho) do vetor $\overrightarrow{r}$, ou seja, a distância entre as massas.

Sendo o campo gravitacional um campo conservativo, é possível definir o seu potencial como uma função $U\left(\overrightarrow{r}\right)$ tal que:

$\mathrm{\nabla }U\left(\overrightarrow{r}\right)=-\overrightarrow{F}\left(\overrightarrow{r}\right)$

Partindo da definição e operando em coordenadas cartesianas tem-se que:

$\overrightarrow{F}\left(\overrightarrow{r}\right)=(-\frac{\partial U\left(\overrightarrow{r}\right)}{\partial x},-\frac{\partial U\left(\overrightarrow{r}\right)}{\partial y},-\frac{\partial U\left(\overrightarrow{r}\right)}{\partial z})$

Logo, a função potencial é:

$U\left(\overrightarrow{r}\right)=-\frac{G\cdot m_1\cdot m_2}{\Vert \overrightarrow{r}\Vert }$

Da expressão acima, é possível perceber que a energia potencial depende da distância entre os dois corpos sem contudo levar em consideração o vetor-posição de um em relação ao outro. Então pode ser escrita como:

$U\left(r\right)=-\frac{G\cdot m_1\cdot m_2}{r}$

Considerando que se saiba que o campo gravitacional é conservativo, também é possível determinar o potencial através da expressão:

$\mathrm{\Delta }U=-\int \overrightarrow{F}\left(\overrightarrow{r}\right)d\overrightarrow{r}$

cujo resultado é igual ao determinado anteriormente.

Corpos extensos

Para determinar-se a interação gravitacional entre corpos extensos é necessário proceder-se ao cálculo de um integral de volume sobre os dois corpos a fim de se determinar a soma das interações gravitacionais entre os infinitos diferenciais de massa nos quais se dividem os corpos. Tal cálculo é dependente da geometria dos corpos, podendo ser complexo em certos casos. Contudo Newton mostrou, com o uso do cálculo diferencial e integral, que pontos externos a uma esfera com distribuição simétrica de massa se encontram sujeitos a potenciais gravitacionais por ela determinados completamente análogos àqueles que seriam determinados por uma partícula pontual localizada no centro da esfera, desde que a essa partícula se associe uma massa igual à massa de toda a esfera original. Newton demonstrou também que a expressão geral acima é válida para corpos esféricos que apresentem distribuições de massa (densidades) com simetria esférica (formado por cascas homogêneas). Esta expressão pode assim, por exemplo, ser utilizada para aproximar com alta precisão a energia potencial armazenada no sistema Terra - Lua, sendo que a distância a considerar-se é, neste caso, a distância entre os centros dos astros em questão.

Mecânica newtoniana

Na mecânica clássica, duas ou mais massas sempre têm potencial gravitacional. A conservação da energia requer que a energia desse campo gravitacional seja sempre negativa, de modo que seja zero quando os objetos estão infinitamente distantes. A energia potencial gravitacional é a energia potencial que um objeto possui porque está dentro de um campo gravitacional.

A força entre uma massa pontual, $M$, e outra massa pontual, $m$, é dada pela lei da gravitação de Newton: $F=G\frac{mM}{r^2}$

Para obter o trabalho total realizado por uma força externa para trazer a massa pontual $m$ do infinito para a distância final $R$ (por exemplo, o raio da Terra) dos dois pontos de massa, a força é integrada em relação ao deslocamento :

$W=\underset{\mathrm{\infty }}{\overset{R}{\int }}G\frac{mM}{r^2}dr=$ $-G{\frac{mM}{r}|}_{\mathrm{\infty }}^R$

Como $\underset{r\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{r}=0$, o trabalho total realizado no objeto pode ser escrito como:

$U=-G\frac{mM}{R}$

Relatividade geral

Na relatividade geral, a energia gravitacional é extremamente complexa e não há uma definição única do conceito. Às vezes, é modelado por meio do pseudotensor Landau-Lifshitz, que permite a retenção das leis de conservação de energia-momento da mecânica clássica.

A adição do tensor tensão-energia-momento da matéria ao pseudotensor Landau-Lifshitz resulta em uma matéria combinada mais pseudotensor de energia gravitacional que tem uma 4-divergência de desaparecimento em todos os quadros - garantindo a lei de conservação. Algumas pessoas objetam a esta derivação alegando que os pseudotensores são inadequados na relatividade geral, mas a divergência do pseudotensor de matéria combinada mais energia gravitacional é um tensor.

Aproximação para campo gravitacional uniforme

Considerando o campo gravitacional próximo da superfície da Terra como uniforme (assumindo as linhas de campo paralelas e a gravidade sendo constante em todos os pontos), define-se o campo das forças gravitacionais como sendo:

$\overrightarrow{F}(x,y,z)=(0,0,-mg)$

Partindo da definição de potencial, calcula-se o potencial, nesse caso, como sendo:

$U(x,y,z)=mgz$

Ou seja, o potencial gravitacional pode ser calculado, nessa aproximação, pelo produto do peso (massa vezes gravidade) pela altura em que o corpo se encontra.

$U\left(h\right)=Ph=mgh$

Nessa aproximação, válida para pequenas variações de altura em torno de um nível de referência, geralmente a superfície da Terra, usa-se necessariamente um determinado nível como referência, sendo comum adotar-se o nível mais baixo no problema como o ponto de energia potencial zero, o nível do solo, a exemplo. Sendo a energia potencial gravitacional uma grandeza escalar cujo valor depende do nível de referência escolhido, é possível que a energia potencial gravitacional seja negativa, marca atingida se o objeto encontrar-se abaixo do nível adotado como referência, a exemplo.

A expressão para campos uniformes anterior pode também ser deduzida da expressão geral fazendo-se uma expansão em série da mesma e retendo-se apenas o termo em primeira ordem na altura.

Ver também

• Energia potencial mecânica
• Energia potencial elástica

Predefinição:Energias fisico-químicas