Campo conservativo

Predefinição:Mais notas Em cálculo de várias variáveis, um campo vetorial conservativo é um campo vetorial que é o gradiente de um campo escalar. Campos conservativos têm a propriedade de sua integral de linha apresentar independência de caminho, ou seja, a escolha de qualquer caminho entre dois pontos não altera o valor de sua integral de linha. Exemplos de campos conservativos são a gravidade e um campo elétrico fora da ação de campos magnéticos. Esse artigo descreve o caso matematicamente mais simples de campos vetoriais conservativos do ${ℝ}^3$ e a importância do potencial na descrição de sistemas físicos.

Campos vetoriais conservativos aparecem naturalmente na mecânica: são campos vetoriais que representam as forças de sistemas físicos onde a energia é conservada. Nesses sistemas, o trabalho realizado para mover uma partícula no espaço depende apenas dos pontos final e inicial. Em outras palavras, é possível definir uma energia potencial que seja independente do caminho utilizado.

Definição

Um campo vetorial $\overrightarrow{F}$é chamado de campo vetorial conservativo se e somente se existe uma função escalar $\phi$, chamada de potencial, de tal forma que o gradiente de $\phi$seja $\overrightarrow{F}$ ($\overrightarrow{F}=\mathrm{\nabla }\phi$). Isso implica que qualquer campo gradiente, da forma $\overrightarrow{F}=\mathrm{\nabla }\phi$, é um campo conservativo.

Demonstração

$$\phi (x_0,y_0,z_0)=\underset{0}{\overset{x_0}{\int }}{F}_1(x,0,0)dx+\underset{0}{\overset{y_0}{\int }}{F}_2(x_0,y,0)dy+\underset{0}{\overset{z_0}{\int }}{F}_3(x_0,y_0,z)dz$$ $$\frac{\partial \phi }{\partial z_0}=\frac{\partial \phi }{\partial z_0}\underset{0}{\overset{x_0}{\int }}{F}_1(x,0,0)dx+\frac{\partial \phi }{\partial z_0}\underset{0}{\overset{y_0}{\int }}{F}_2(x_0,y,0)dy+\frac{\partial \phi }{\partial z_0}\underset{0}{\overset{z_0}{\int }}{F}_3(x_0,y_0,z)dz$$ $$\frac{\partial \phi }{\partial z_0}=0+0+F_3(x_0,y_0,z_0)$$ (Teorema Fundamental do Cálculo) Analogamente: $$\frac{\partial \phi }{\partial y_0}=0+F_2(x_0,y_0,0)+\frac{\partial \phi }{\partial y_0}\underset{0}{\overset{z_0}{\int }}{F}_3(x_0,y_0,z)dz$$ onde $$\frac{\partial \phi }{\partial y_0}\underset{0}{\overset{z_0}{\int }}{F}_3(x_0,y_0,z)dz=\underset{0}{\overset{z_0}{\int }}\frac{\partial \phi }{\partial y_0}{F}_3(x_0,y_0,z)dz$$ e, usando que, para campos conservativos $$\mathrm{\nabla }\times 𝐅=0$$ temos que $\frac{\partial F_3}{\partial y_0}=\frac{\partial F_2}{\partial z_0}$ Logo: $$\underset{0}{\overset{z_0}{\int }}\frac{\partial \phi }{\partial y_0}{F}_3(x_0,y_0,z)dz=\underset{0}{\overset{z_0}{\int }}\frac{\partial \phi }{\partial z}{F}_2(x_0,y_0,z)dz=F_2(x_0,y_0,z_0)-F_2(x_0,y_0,0)$$ E $$\frac{\partial \phi }{\partial y_0}=F_2(x_0,y_0,z_0)$$ Agora, olhando para $x_0$ $$\frac{\partial \phi }{\partial x_0}=F_1(x_0,0,0)+\frac{\partial \phi }{\partial x_0}\underset{0}{\overset{y_0}{\int }}{F}_2(x_0,y,0)dy+\frac{\partial \phi }{\partial x_0}\underset{0}{\overset{z_0}{\int }}{F}_3(x_0,y_0,z)dz$$ Analogamente a $\frac{\partial \phi }{\partial y_0}$ $$\frac{\partial \phi }{\partial x_0}=F_1(x_0,0,0)+\frac{\partial \phi }{\partial y}\underset{0}{\overset{y_0}{\int }}{F}_1(x_0,y,0)dy+\frac{\partial \phi }{\partial z}\underset{0}{\overset{z_0}{\int }}{F}_1(x_0,y_0,z)dz$$ $$\frac{\partial \phi }{\partial x_0}=F_1(x_0,y_0,z_0)$$ Então, se $$\frac{\partial \phi }{\partial x_0}=F_1(x_0,y_0,z_0),$$ $$\frac{\partial \phi }{\partial y_0}=F_2(x_0,y_0,z_0)$$ e $$\frac{\partial \phi }{\partial z_0}=F_3(x_0,y_0,z_0)$$ $$\mathrm{\nabla }\phi =F$$

Se $\phi$ é uma função explícita de x,y,z então F(x,y,z) = $\frac{\partial \phi }{\partial x}$i+ $\frac{\partial \phi }{\partial y}$j + $\frac{\partial \phi }{\partial z}$k. Se $\phi$ é uma função implícita de x,y,z através de r = $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ , isto é, $\phi$(r) = $\phi$(r(x,y,z)) então é necessário usar a regra da cadeia para calcular o gradiente do potencial $\phi$. Potenciais desta forma são ditos potenciais centrais.

Campos vetoriais irrotacionais

Pode-se mostrar facilmente que, para qualquer campo conservativo:

$\mathrm{\nabla }\times 𝐯=\mathrm{\nabla }\times \mathrm{\nabla }\phi =\overrightarrow{0}$

isto é, todo campo vetorial conservativo é irrotacional. Na linguagem de formas diferenciais isso é uma consequência da nilpotência da derivada exterior $d^2=0$ nos mostra que toda forma exata é fechada.

A recíproca desse teorema sempre vale localmente, como provado pelo Lema de Poincaré, mas globalmente depende do primeiro grupo de cohomologia de de Rham:

$H_{dR}^1=\frac{\mathrm{Nuc}\{d:{\mathrm{\Omega }}^1\to {\mathrm{\Omega }}^2\}}{\mathrm{Im}\{d:{\mathrm{\Omega }}^0\to {\mathrm{\Omega }}^1\}}$.

No caso considerado aqui, $H_{dR}^1({ℝ}^3)=0$ e toda forma fechada é exata ou, todo campo vetorial irrotacional é conservativo. Numa região de ${ℝ}^3$ que não seja simplesmente conexa, isto é, que não seja homotopicamente equivalente ao todo ${ℝ}^3$, isso não é mais verdade. Um caso interessante é a corda de Dirac ${ℝ}^3-\{(0,0,z)|z\in ℝ\}$ que está relacionada ao conceito de monopolo magnético e quantização de carga elétrica.

Independência de caminho

Seja $\overrightarrow{F}$ um campo vetorial conservativo, ou seja , $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{▽}\phi$, definido em uma região R do espaço e uma curva C, dada por $\overrightarrow{r}(t)=x(t)\overrightarrow{i}+y(t)\overrightarrow{j}+z(t)\overrightarrow{k}$, contínua por partes em R, com início em $p_0(x_o,y_o,z_o)$e extremidade em $P(x,y,z)$, então:

$\underset{C}{\overset{}{\int }}{\overrightarrow{F}}_{cons}\cdot d\overrightarrow{r}=\phi (x,y,z)-\phi (x_o,y_o,z_o)$

Demonstração

Partindo-se da expressão:

${\overrightarrow{F}}_{cons}=\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\phi =\frac{\partial \phi }{\partial x}\overrightarrow{i}+\frac{\partial \phi }{\partial y}\overrightarrow{j}+\frac{\partial \phi }{\partial z}\overrightarrow{k}$

Dada a curva C

$\overrightarrow{r}(t)=x(t)\overrightarrow{i}+y(t)\overrightarrow{j}+z(t)\overrightarrow{k}$

Então

$d\overrightarrow{r}=(\frac{dx}{dt}\overrightarrow{i}+\frac{dy}{dt}\overrightarrow{j}+\frac{dz}{dt}\overrightarrow{k})dt$

Aplicando a Regra da cadeia

${\overrightarrow{F}}_{cons}\cdot d\overrightarrow{r}=\frac{\partial \phi }{\partial x}\frac{dx}{dt}dt+\frac{\partial \phi }{\partial y}\frac{dy}{dt}dt+\frac{\partial \phi }{\partial z}\frac{dz}{dt}dt$

Logo:

${\overrightarrow{F}}_{cons}\cdot d\overrightarrow{r}\equiv d\phi$

E,

$\underset{C}{\overset{}{\int }}{\overrightarrow{F}}_{cons}\cdot d\overrightarrow{r}=\underset{C}{\int }d\phi =\underset{P_o}{\overset{P}{\int }}d\phi =\phi (P)-\phi (P_o)$

Sempre que o campo for conservativo, o Trabalho será dado pela diferença de potencial, ou seja , o trabalho é independente do caminho realizado e dependerá apenas dos pontos inicial e final que unem a curva C.

Caso a curva C seja uma curva fechada, o ponto inicial coincide com o ponto final e o trabalho será nulo.

Usando o teorema de Stokes, pode-se ver que a integral de linha de um campo conservativo não depende do caminho entre os pontos inicial e final. Mais especificamente, conclui-se que:

${\oint }_{𝒞}𝐯\cdot d𝐱={\oint }_{𝒞}\mathrm{\nabla }\phi \cdot d𝐱=0$

Exemplo

Dado o campo

$\overrightarrow{F}(x,y)=2x{y}^3\overrightarrow{i}+(1+3x^2{y}^2)\overrightarrow{j}$

calcular o trabalho ($W$) realizado para deslocar uma partícula de $P_1(1,4)$ até $P_2(3,1)$:

Primeiro, verificamos se $\overrightarrow{F}(x,y)$ é conservativo.

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{F}=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ & & \\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ & & \\ 2x{y}^3& 1+3x^2{y}^2& F_z\end{array}\right|=\overrightarrow{0}$

Como $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\times \overrightarrow{F}=\overrightarrow{0}$, o campo é conservativo, logo, permite uma função potencial dada por $\overrightarrow{F}=-\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\phi$

$2x{y}^3\overrightarrow{i}+(1+3x^2{y}^2)\overrightarrow{j}=-\frac{d\phi }{dx}\overrightarrow{i}-\frac{d\phi }{dy}\overrightarrow{j}$

$-\frac{d\phi }{dx}=2x{y}^3$

$-{\phi }_x=x^2{y}^3+C(y)$

$-\frac{d\phi }{dy}=3x^2{y}^2+C^{\prime }(y)=1+3x^2{y}^2$

$C^{\prime }(y)=1$

$C(y)=y$

Logo, ${\phi }_x=-x^2{y}^3-y$

Como o campo é conservativo, o $W$ realizado para deslocar uma partícula independe do caminho C, e é calculado pela diferença de potencial entre $P_1$ e $P_2$

$W=\phi (P_2)-\phi (P_1)$

$W=(-3^2.1^3-1)-(-1^2.4^3-4)=-10+68$

Logo, $W=58$

Interpretação física

Mecânica

Se, em mecânica newtoniana, um campo de forças for um campo vetorial conservativo, então, partindo da segunda lei de Newton e usando a regra da cadeia, podemos escrever:

$𝐅=m\frac{d^2𝐱}{d{t}^2}\Rightarrow -\mathrm{\nabla }V=m\mathrm{\nabla }\left[\frac{1}{2}{\left(\frac{d𝐱}{dt}\right)}^2\right]\Rightarrow \mathrm{\nabla }(V+T)=0\Rightarrow E=cte.$

onde $T=\frac{m}{2}{\left(\frac{d𝐱}{dt}\right)}^2$ é a energia cinética e $E=T+V$ é a energia total, que a igualdade acima mostra ser constante.

O conceito de independência de caminho mostra que o trabalho realizado por uma força conservativa em qualquer circuito fechado é sempre igual a zero e que num caminho qualquer só depende dos pontos inicial e final:

$W=-\mathrm{\Delta }V$

Alguns exemplos de forças conservativas são:

• Gravitação universal de Newton

A força gravitacional sobre um corpo pontual de massa $m$ em $𝐫$ devido a um corpo pontual de massa $M$ em ${𝐫}^{\prime }$ é:

$𝐅=-GmM\frac{𝐫-{𝐫}^{\prime }}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }{|}^3}\Rightarrow V=-GmM\frac{1}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}$

A força coulombiana, que tem a mesma dependência funcional, também é conservativa, como discutido abaixo.

• Força elástica

Uma deformação elástica que obedeça à Lei de Hooke apresenta uma força de restauração conservativa:

$𝐅=-k𝐱\Rightarrow V=\frac{1}{2}k|𝐱{|}^2$

Eletromagnetismo

As equações de Maxwell, especificamente $\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\frac{\partial 𝐁}{\partial t}$, mostram que o campo eletroestático é irrotacional e então, nas condições descritas acima, é um campo conservativo, ou seja, $\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\frac{\partial 𝐁}{\partial t}=0$. As curvas de nível do potencial elétrico $V=cte$ são chamadas de curvas equipotenciais. Em particular, a força elétrica $𝐅=q𝐄$ é uma força conservativa.

A relatividade restrita nos mostra que, mesmo abandonando a hipótese de campos estáticos, os campos elétricos e magnéticos podem ser descritos como uma forma fechada. Mas localmente não como a derivada de uma 0-forma e sim de uma 1-forma do espaço de Minkowski. Efeitos como o efeito Aharanov-Bohm mostram que o conceito de potencial é fisicamente mais fundamental que o da sua derivada (neste caso, o campo eletromagnético; para o caso de forças, veja abaixo).

Mecânica quântica

Em mecânica quântica, o conceito de força é abandonado em detrimento do conceito de potencial. Nesse sentido, o potencial passa a ter um papel mais fundamental que a força e todas as interações são consideradas conservativas. Interações dissipativas passam a ser descritas através de sistemas quânticos abertos. A função de onda é calculada através da equação de Schrödinger

$i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2\psi +V\psi$

A função de onda para os dois casos de forças potenciais vistas acima são as famosas soluções do átomo de hidrogênio e do oscilador harmônico.

Ver também

• Força conservativa

Bibliografia

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