Grado (ângulo)

Transferidor marcado em grados.

Bússola com escala de azimutes em grados.

Grado é uma unidade de medida de ângulos planos equivalente a Predefinição:Frac do radiano ou Predefinição:Frac do grau, ou seja a Predefinição:Frac de uma rotação completa (revolução). O símbolo internacional para esta unidade é gon (do grego: γωνία = gōnía; "ângulo"). No passado foram utilizados, entre outros, os símbolos gr, grd e g, este último algumas vezes como sobrescrito, de modo similar ao símbolo de grau (p. ex.: 50^g = 45°).

Origem e descrição

O termo grado tem origem no termo francês grade e foi proposto para uso em conjunto com o sistema métrico, embora não fazendo parte do Sistema Internacional de Unidades (SI). O termo original não foi bem aceito no norte da Europa devido à potencial confusão com outras unidades preexistentes que se designavam por grad(e), daí resultando a posterior adopção do símbolo gon, primeiro naquela região, depois como símbolo padrão internacional. Em alemão, a unidade foi originalmente designada como Neugrad (novo grau), o que foi seguido em algumas línguas escandinavas (Nygrad em dinamarquês e norueguês e Nýgráða em islandês). Na Europa continental, o termo de origem francesa centigrado foi utilizado para designar a centésima parte de um grado (Predefinição:Frac gon) e o termo miriogrado para a décima milésima parte do grado (Predefinição:Frac gon). Esta foi uma das razões que, para evitar a confusão com a unidade de temperatura, foi o termo Celsius foi adoptado para substituir centígrado como o nome da escala de temperatura homónima.Predefinição:Carece de fontes

Foram feitas tentativas para a introdução generalizada do grado como unidade de ângulo plano, mas a unidade foi adoptada apenas por alguns países e em áreas especializadas, como a topografia e a artilharia. A artilharia francesa usa o grado há décadas. O grau, Predefinição:Frac do círculo, ou o matematicamente conveniente radiano, Predefinição:Frac do círculo, são geralmente usados em lugar do grado. Nas décadas de 1970 e 1980, a maioria das calculadoras científicas oferecia o grado em alternativa ao radiano e ao grau para operações com funções trigonométricas, mas nos anos mais recentes o grado foi abandonado. Predefinição:Carece de fontes.

Uma vantagem do grado como unidade é tornar os ângulos rectos fáceis de somar e subtrair na aritmética mental. Outra vantagem, decorre da definição original do metro, de 1889, que estabelecia que 1 metro é o comprimento equivalente a décima milionésima parte de um quarto do meridiano terrestre. Portanto, 1 grado, quando medido sobre um círculo máximo terrestre, equivale a aproximadamente 100 km sobre a superfície da Terra, pelo que 1 centigrado do arco terrestre equivale a 1 km.

Quando se utiliza o grado como unidade angular em geometria bidimensional, cada quadrante corresponde a 100 gon, o que facilita o reconhecimento dos quatro quadrantes e a aritmética que envolva ângulos perpendiculares ou opostos. Dessa relação resulta:

0°	=	0 gon
90°	=	100 gon
180°	=	200 gon
270°	=	300 gon
360°	=	400 gon

Uma vantagem adicional da relação atrás exposta é tornar os ângulos rectos fáceis de adicionar ou subtrair em aritmética mental, o que pode ser útil em navegação e orientação geográfica. Por exemplo, quando a viajar numa rota de 117 gon (medidos no sentido horário a partir do Norte), então a direcção perpendicular para a esquerda é 17 gon, para a direita 217 gon e para trás 317 gon.

A utilização do grado é também conveniente quando se trabalha com vectores no plano complexo. Nessas circunstâncias, o expoente da unidade imaginária em qualquer vector é igual ao seu ângulo (argumento) em hectogrados (100 gon) medido a partir do semieixo x positivo: $i^n$ tem um argumento de $100n$ grados.

Em muitas regiões, em operações topográficas, o grado é usado por padrão como a unidade angular. As subdivisões do grado usadas em topografia são o centigon (1^c = 1/100 gon = 0,01 grado) e o 0,1 mgon (1^cc = 1/10 000 gon = 0,1 mgon = 0,0001 grado).

1c = 0,54′	1′ = $\frac{10000}{5400}{}^{\mathrm{c}}=\frac{50}{27}{}^{\mathrm{c}}=1,\overline{851}{}^{\mathrm{c}}$
1cc = 0,324″	1″ = $\frac{1000000}{324000}{}^{\mathrm{c}\mathrm{c}}=\frac{250}{81}{}^{\mathrm{c}\mathrm{c}}=3,\overline{086419753}{}^{\mathrm{c}\mathrm{c}}$

Como principal desvantagem, a utilização de grados leva a que os ângulos comuns de 30° e 60° tenham valores fraccionários em grados (33,33(3) gon e 66,66(6) gon, respectivamente), o que dificulta as operações trigonométricas. Do mesmo modo, a velocidade angular da Terra, de 15°/hora, passa a ser 16,66(6) gon/hora (ou 16Predefinição:Frac gon/hora), dificultando o cálculo mental dos ângulos solares e da hora.

Conversão de alguns ângulos comuns

A conversão entre graus, radianos e grados obedece às seguintes relações:

$1\mathrm{g}\mathrm{o}\mathrm{n}=\frac{1\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{c}}{400}=\frac{2\pi \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}{400}=\frac{\mathrm{3}\mathrm{6}{\mathrm{0}}^{\mathrm{\circ }}}{400^{}}=0,9^{\circ }$

pelo que:

Unidade	Valor
Rotação	0	$\frac{\tau }{12}$	$\frac{\tau }{8}$	$\frac{\tau }{6}$	$\frac{\tau }{4}$	$\frac{\tau }{2}$	$\frac{3}{4}\tau$	$1\tau$
Graus	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
Radianos	0	$\frac{\pi }{6}$	$\frac{\pi }{4}$	$\frac{\pi }{3}$	$\frac{\pi }{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi }{2}$	2$\pi$
Grados	0g	$\frac{100^g}{3}$	50g	$\frac{200^g}{3}$	100g	200g	300g	400g

Ver também

• Frequência angular
• Mil angular (por mil de artilharia)
• Análise harmónica
• Esterradiano
• Trigonometria

Ligações externas

• Radiano no MathWorld
• Radiano em Ask Dr Math.
• grade
• gon
• centigrade
• Gradian :Dictionary of Units