Representação de uma álgebra

Em matemática, uma representação de uma álgebra é um módulo sobre a álgebra ou, equivalentemente, um homomorfismo de álgebras entre a álgebra e o anel de endomorfismos de um espaço vetorial.

Definições

Dado um homomorfismo de álgebras $\rho :A\to \text{End}V$, a notação abreviada para $\rho (a)v$ é $av$ para módulos à esquerda e $va$ para módulos à direita. Então, pode-se escrever um tipo de lei associativa: $(ab)v=a(bv)$ para módulos à esquerda, e $(va)b=v(ab)$ para módulos à direita.

Uma subrepresentação de uma representação $V$ de uma álgebra $A$ é um subespaço $W\subset V$ o qual é invariante sobre todos os operadores $\rho (a):V\to V,a\in A$.

Sejam $V_1,V_2$ duas representações sobre um álgebra $A$. Um homomorfismo (ou operador intertwining) $\varphi :V_1\to V_2$ é um operador linear o qual comuta com a ação de $A$, isto é, $\varphi (av)=a\varphi (v),\mathrm{\forall }v\in V_1$. Um homomorfismo $\varphi$ é dito ser um isomorfismo de representações se for um isomorfismo entre espaços vetoriais.

Proposições

Lema de Schur

Sejam $V_1,V_2$ representações irredutíveis de uma álgebra $A$ sobre um corpo qualquer $𝔽$. Seja $\varphi :V_1\to V_2$ um homomorfismo entre representações não identicamente nulo. Então $\varphi$ é um isomorfismo.

Lema de Schur para corpos algebricamente fechados

Seja $V$ uma representação irredutível de dimensão finita de uma álgebra $A$ sobre um corpo algebricamente fechado $𝕂$, e $\varphi :V\to V$ é um operador interwinning. Então $\varphi =\lambda \text{Id}$ (o operador escalar).

Referências

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