Número complexo hiperbólico

Conjuntos de números

$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset ℝ\subset ℂ\subset ℍ\subset \cdots$ $𝕀\subset ℝ\subset ℂ\subset ℍ\subset \cdots$

Na matemática, os números complexos hiperbólicos são uma extensão bidimensional dos números reais definidos de forma análoga aos números complexos. A diferença geométrica principal entre os dois é que enquanto a multiplicação de números complexos respeita a norma euclidiana (quadrada) padrão (x² + y²) em R², a multiplicação de números complexos hiperbólicos respeita a norma (quadrada) de Minkowski (x² − y²).

Algebricamente os números complexos hiperbólicos têm a propriedade interessante, ausente nos números complexos, de ter idempotentes. Além disso, a coleção de todos os números complexos hiperbólicos não dá forma a um corpo, mas, em vez disso, essa estrutura está na mais larga categoria de anéis.

Definição

Um número complexo hiperbólico é um número na forma:

$z=x+hy$

onde x e y são números reais e a quantidade h satisfaz:

$h^2=+1$

Escolhendo h² = − 1 resulta nos números complexos. É esta mudança do sinal que distingue os números complexos hiperbólicos dos complexos. A quantidade h aqui não é um número real mas uma quantidade independente; isto é, não é igual a ± 1.

A coleção de todo z é chamado de plano complexo hiperbólico. A adição e a multiplicação de números complexos hiperbólicos são definidas por:

$(x+hy)+(u+hv)=$ $(x+u)+h(y+v)$

$(x+hy)(u+hv)=$ $(xu+yv)+h(xv+yu)$.

Essa multiplicação é comutativa, associativa e distribuitiva em relação à adição.

Conjugado, norma e produto interno

Exatamente como para aos números complexos, pode-se definir a noção de conjugado de um número complexo hiperbólico. Se

$z=x+hy$

o conjugado de z é definido como

$\bar{z}=x-hy$

O conjugado satisfaz a propriedades similares às do conjugado do número complexo usual. A saber,

$\overline{(z+w)}=$ $\bar{z}+\bar{w}$

$\overline{(zw)}=$ $\bar{z}\bar{w}$

$\overline{(\stackrel{‾}{z})}=$ $z$

Essas três propriedades implicam que o conjugado número complexo hiperbólico é um automorfismo de ordem 2. A forma quadrática de um número complexo hiperbólico z = x + hy é dada por:

$|z|$ $=z\bar{z}=$ $\bar{z}z=$ $x^2-y^2$.

Há uma propriedade importante que está preservado pela multiplicação complexa hiperbólica:

$|zw|=|z||w|$

Entretanto, essa forma quadrática não é positiva-definitiva mas tem ,em vez disso, a assinatura (1.1), então ela não é uma norma.

Aplicação

Os números complexos hiperbólicos são a linguagem natural para tratar da Relatividade Especial em duas dimensões; os divisores de zero representam o cone de luz da relatividade.

Ver também

• Número complexo
• Quaterniões
• Quaterniões hiperbólicos

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