Conjunto denso

Predefinição:Revisão Em topologia, um subconjunto S de um espaço topológico X diz-se denso em X, se o fecho de S é igual a X, isto é, todo ponto de X é um ponto limite de S, ou equivalentemente, S é denso em X se qualquer vizinhança de qualquer ponto de X contiver um elemento de S.

Definição

Seja X um espaço métrico, S um subconjunto de X. Se a topologia de X é induzida pela métrica, o fecho de S é definido pela união de todos os seus pontos limites $\bar{S}=S\cup \{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n\mid a_n\in A\text{ para todo }n\in \mathbb{N}\}$ e S é denso em X se $\bar{S}=X$

Para um espaço topológico X qualquer, o fecho de S pode ser definido como o menor conjunto fechado $\bar{S}$ tal que $S\cup \bar{S}$, e um conjunto S é denso em X se não existe um subconjunto C próprio fechado de X tal que $S\cup C$.

Propriedades

• Todo conjunto $X\subset {ℝ}^n$ contém um subconjunto enumerável denso em $X$.Predefinição:Sfn

• Densidade é uma propriedade transitiva, de forma que dados conjuntos A, B e C, com A denso em B e B denso em C, então A é denso em C.

• Seja $X\cup ℝ$ e $f:X\to ℝ$. Se f é nula em um subconjunto denso de X, f é dita nula em quase todo X.

Exemplos

• Qualquer espaço topológico é um subconjunto denso de si próprio.
• (0,1) é denso em [0,1]
• $\mathbb{Q}$ e $ℝ\mathrm{\setminus }\mathbb{Q}$ são ambos densos em $ℝ$, pois entre dois reais quaisquer, sempre existem, pelo menos, um racional e um irracional, do que podemos concluir que existe uma infinidade de racionais e outra de irracionais entre dois reais quaisquer.

Bibliografia

• Predefinição:Citar livro